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Video 3.2课程教案、知识点、字幕

由于我们要针对复杂的几何形状的变形体来进行研究

主要是针对三维问题

我们还有一些很多的力学的表征

都是要用一些分量来表达

比如,我们假定有一个力的向量

我们都知道在三维空间里有三个分量

F1、F2、F3

那么它是一个力矢量

它是在三维坐标系里面分解后的三个分量

我们常规的表达呢就是用分量形式

分别把它的分量写出来

还有一种呢我们就是用下标来写

这样比较简单

比如用Fi

这个i呢,我们可以用变化1、2、3来表达

当然这个地方的1、2、3应该说我们有些特指

特指什么呢?

特指x1、x2、x3的这个三维空间的三个坐标轴

也就是说这个i呢

分别变化对着三个坐标轴的分量

由于我们在指标记号里面

我们一般来说都是针对坐标轴来写分量

所以说我们完全可以把这个下标变化的量

进行一个默认

只要是写了这个指标的变化

它默认自然地就要变坐标轴的分量

这样就使得我们这个表达更简单

这样我们用指标来表达向量

用分量来写就是Fi就可以了

不用再写下标的变化i等于1、2、3

好了基于这么一个下标变化的默认

我们有几个约定

或者我们有几个指标记法的基本概念

第一个叫自由指标

就是说每一项变量

如果下标里面只出现一次

我们就认为它是自由指标

那么自由指标就意味着

它自然地会沿着坐标轴进行变化

如果针对二维问题

那么自由指标就变化1和2

就分别对着x1、x2的坐标轴

如果是三维空间里面

那自由指标它就要变化1、2、3

分别对x1轴、x2轴、x3轴

也就是说三个直角坐标的三个轴

那对于哑指标,我们也有一个约定

假定在一个表达式里面

在一项有指标重复

我们就把它定义为哑指标

这个哑指标呢我们后面还有一个约定

约定叫做求和约定

也叫作爱因斯坦求和约定

我们举一个例

假定有一个针对三个坐标轴的线性方程组

那么它的系数呢是a(ij)

也就是a11、a12分别变化

它的自变量是x1、x2、x3

那这三个自变量呢表示三个坐标轴的某个分量

那么我们要求解这个方程组

我们要把这个方程组呢用指标形式来写

当然我们先用一个求和的方式来写

那么我们常规的求和方式写就是∑a(ij)x(j)

那么其中j呢,变化1到3

∑表示是求和

那么这个i呢分别等于1、2、3

那大家可以看出来i和j分别变化以后

就可以等价为上面这个方程组的表达

按照我们的指标记法

就是自由指标、哑指标

以及哑指标的爱因斯坦的求和约定

我们可以很简单的写出下面这个表达式

也就是说自由指标分别变1、2、3这个是默认的

不用写了

求和的这个呢

因为是有重复的指标也叫哑指标

它是默认的爱因斯坦求和约定

也可以不写了

所以把这两项不写以后,都是默认的

就可以非常简单地写出这么一个表达式

刚开始看这个表达式可能还不是太习惯

那么看时间长了之后你就非常习惯

它就等价于上面这个求和的方程组的表达

那么针对指标呢我们还有一个叫Voigt的标记

作为呢就是把高阶的自由指标的张量写成低阶的

也就是降维,把高阶变成低阶

那么这个变的规则,我们叫Voigt移动的规则

比如二阶张量应力σ(ij)

它有两个下标,也就是有两个自由指标

那么如果二维的情况写出来

它就是有四个分量,σ11,σ12,σ21,σ22

那么我们用Voigt标记

就可以把这个二阶的张量

也就是说是一个矩阵

写成一个一维的列阵

这样的话就可以简化问题

由于应力张量是对称的

所以我们可以写一半

那么按照Voigt标记呢先写对角线的元素

然后呢按照逆时针这么转上去

把它写下来

那么我们写一半

就是先写σ11,σ22

然后再写σ12

那么我们就可以写出这三个量

把这三个量排成一列

相当于是一个一维的列阵

这样就对应着σxx,σyy,或者σxy

有时候我们也写成τxy

那这样就是我们二阶的张量就写成一个一维的列阵

这就是Voigt记号的一个用处

对于三维问题,同样

二阶应力张量它i和j是自由指标

分别变1、2、3,也就是对应着三个坐标轴

那么我们可以分别写出σ11、σ12、σ13

全部写完,写到σ33

那么它是一个对称张量,我们就写一半

按照Voigt的规则

我们先写对角线σ11、σ22、σ33

按照逆时针的次序往上写

那就是写σ23、σ13、σ12

那这样我们Voigt写出来的这个次序

再把它表达成一个列阵

那这个时候的这个下标p,就是变1、2、3、4、5、6

因为我们写了一半,只有6个

那分别对应着元素呢就是σ11、σ22、σ33

σ23、σ13、σ12

这是对应着分量

这6个分量就写成一列的列阵

有时候我们为了习惯

我们先把三个所谓的主应力

就是前面的对角线先写

后面这个呢我们习惯写σ12

或者是τxy,或者是τyz,或者是τzx

这个次序好像和这个不一样

没关系

这个Voigt规则呢它只是一个规则

就是把二维变一维的一个规则

那么如果是按照这个规则的次序写完全一样

只要满足前后一致的准则

就都按照这个位置来写

它情况是一样的

Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications课程列表:

0、Course summary

-Finite element, infinite capabilities

--Video

1、Introduction

-1.1 Classification of mechanics:particle、rigid body、deformed body mechanics

--Video 1.1

--1.1 Test

-1.2 Main points for deformed body mechanics

--Video 1.2

--1.2 Test

-1.3 Methods to solve differential equation solving method

--Video 1.3

--1.3 Test

-1.4 Function approximation

--Video 1.4

--1.4 Test

-1.5 Function approximation defined on complex domains

--Video 1.5

--1.5 Test

-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains

--Video 1.6

--1.6 Test

-1.7 History and software of FEM development

--Video 1.7

--1.7 Test

-Discussion

--Discussion

-Homework

2、Finite element method of bar system based on direct stiffness method

-2.1 Principles of mechanic analysis of springs

--Video 2.1

--2.1 Test

-2.2 Comparison between spring element and bar element

--Video 2.2

--2.2 Test

-2.3 Coordinate transformation of bar element

--Video 2.3

--2.3 Test

-2.4 An example of a four-bar structure

--Video 2.4

--2.4 Test

-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure

--Video 2.5

--ANSYS

-Discussion

--Discussion

3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1

-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body

--Video 3.1

--3.1 Test

-3.2 Index notation

--Video 3.2

--3.2 Test

-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations

--Video 3.3

--3.3 Test

-3.4 Test

-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem

--Video 3.4

-3.5 Test

-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems

--Video 3.5

-3.6 Test

-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems

--Video 3.6

-3.7 Test

-3.7 Two kinds of boundary conditions

--Video 3.7

- Discussion

-- Discussion

4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2

-4.1 Test

-4.1 Discussion of several special cases

--Video 4.1

-4.2 Test

-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics

--Video 4.2

-4.3 Test

-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending

--Video 4.3

-4.4 Test

-4.4 Complete description of 3D elastic problem

--Video 4.4

-4.5 Test

-4.5 Description and understanding of tensor

--Video 4.5

-Discussion

--Discussion

5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body

-5.1 Test

-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation

--Video 5.1

-5.2 Test

-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method

--Video 5.2

-5.3 Test

-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function

--Video 5.3

-5.4 Test

-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam

--Video 5.4

-5.5 Test

-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending

--Video 5.5

-5.6 Test

-5.6 The general energy principle of elastic problem

--Video 5.6

-Discussion

--Discussion

6、Classic implementation and finite element implementation based on trial function method

-6.1Test

-6.1 Classic method and finite element method based on trial function

--Video 6.1

-6.2 Test

-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method

--Video 6.2

-6.3 Test

-6.3 Basic steps in the finite element method

--Video 6.3

-6.4 Test

-6.4 Comparison of classic method and finite element method

--VIDEO 6.4

-Discussion

--Discussion

7、Finite element analysis of bar and beam structures

-7.1 Test

-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system

--Video 7.1

-7.2 Test

-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste

--Video 7.2

-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system

--Video 7.3

-7.4 Test

-7.4 Beam element coordinate transformation

--Video 7.4

-7.5 Test

-7.5 Treatment of distributed force

--Video 7.5

-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure

--Video 7.6

-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure

--Video 7.7

8、Finite element analysis of continuum structure (1)

-8.1 Test

-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming

--Video 8.1

-8.2 Test

-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming

--Video 8.2

-8.3 Test

-8.3 Axisymmetric element

--Video 8.3

-8.4 Test

-8.4 Treatment of distributed force

--Video 8.4

-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate

--Video 8.5

-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar

--Video 8.6

-Discussion

--Discussion

9、Finite element analysis of continuum structure (2)

-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming

--Video 9.1

-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming

--Video 9.2

-9.3 Principle of the isoparametric element

--Video 9.3

-9.4Test

-9.4Numerical integration

--Video 9.4

-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems

--Video 9.5

-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem

--Video 9.6

-Discussion

--Discussion

10、Basic properties in finite element method

-10.1Test

-10.1Node number and storage bandwidth

--Video 10.1

-10.2Test

-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix

--Video 10.2

-10.3Test

-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces

--Video 10.3

-10.4Test

-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function

--Video 10.4

-10.5Test

-10.5C0 element and C1 element

--Video 10.5

-10.6 Test

-10.6 Patch test of element

--Video 10.6

-10.7 Test

-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis

--Video 10.7

-10.8Test

-10.8 Error and average processing of element stress calculation result

--Video 10.8

-10.9 Test

-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method

--Video 10.9

-Discussion

--Discussion

11、High-order and complex element

-11.1 Test

-11.1 1D high-order element

--Video 11.1

-11.2 Test

-11.2 2D high-order element

--Video 11.2

-11.3 Test

-11.3 3D high-order element

--Video 11.3

-11.4 Test

-11.4 Bending plate element based on thin plate theory

--Video 11.4

-11.5 Test

-11.5 Sub-structure and super-element

--Video 11.5

12、Introduction to the application of finite element analysis (1)

-12.1Test

-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle

--Video 12.1

-12.2 Test

-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration

--Video 12.2

-12.3 Test

-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle

--Video 12.3

-12.4 Test

-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations

--Video 12.4

-Discussion

--Discussion

13、Introduction to the application field of finite element analysis (2)

-13.1 Test

-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle

--Video 13.1

-13.2 Test

-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer

--Video 13.2

-13.3 Test

-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle

--Video 13.3

-13.4 Test

-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation

--Video 13.4

-Discussion

--Discussion

14、Project

-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate

--Video I-1

-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck

--Video I-2

-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge

--Video I-3

-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur

--Video I-4

-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process

--Video I-5

-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure

--Video I-6

-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame

--Video I-7

-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem

--Video I-8

Video 3.2笔记与讨论

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