当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1 > 3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem > Video 3.4
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好，下面我们来具体构建平面问题的平衡方程
按照刚才说的建模的思路
对于平面的任意的复杂几何形状的变形体
我们从内部取出一个微小的面元
我们叫dxdy
也就是它的x方向的宽度是dx
y方向上的长度是dy
注意这一点的坐标，角点的坐标是x,y
那么这个厚度呢是t
平面问题我们叫等厚度
我们把这个微小面元叫dxdy_t
刚才也提到了，在这个微小面元上
每一个侧面，都有任意的力的作用
我们把它分解以后，两个方向进行分解
并且除上相应的面积
我们就定义相应的应力
那么我们现在把坐标标上
对于最左边的这个侧面，坐标是x,y
那么它的应力呢σxx
沿着y方向，向下的这个呢
第一个下标呢，是表示力的方向是y
然后这个面的法线方向呢是x
所以我们叫σyx
或者叫τyx
那么对应着右边这个侧面
垂直于这个面的力，我们叫σxx
第一个下标表示力的方向
第二个下标表明这个力所作用的面的法线方向是x
注意这一个应力它是有坐标的
它的坐标呢是在右边的这个面
也就是说它的x坐标是x+dx
当然y，还是y的变化
同样呢，沿垂直方向的分解
我们的下标，力呢是y
这个面呢法线方向是x
所以是叫τyx
那么它的坐标是x+dx
也就是说最右边的这个面的坐标
同样y方向的坐标是y
对于下表面
它的应力呢，同样
沿着y方向的这个应力
第一个下标是y
第二个是由于这个侧面它的法线方向是y
所以说它是σyy
那么它的坐标呢是x和y
那么同样呢，沿着x方向的力的分解
我们得到的这个应力，也就是剪应力
它就是τxy
它的坐标呢是x和y
对于上表面，一样
我们得到了σyy
那同样它的坐标要注意一下
x不变，y那就是y+dy的这个表面
另外沿着x方向的这个分力
我们得到的相应的应力呢是τxy
那它的坐标呢是x,y+dy
另外呢我们还要考虑
这个物体呢，它有体积力
那么体积力呢在这个微小的面元里面
我们同样用两个方向的分量来表达
有bx，上面一横，还有by，上面一横
刚才的这些呢，我们简单归纳一下
我们有一个约定
正面正向为正，关于力
负面的负向为正
所以说这样的话，大家在画力的方向的时候呢
我们统一按照这个约定来画
这样就比较简洁一些
另外呢后面我们在构建平衡方程的时候
要注意这么几个点
一个呢是四个侧面
在平衡方程中间一定是考虑合力的平衡
注意，合力就是
刚才的应力一定要乘上相应的面积才能得到合力
那么我们按照合力平衡来构建力的平衡方程
这也是非常重要的一点
另外还有一点要注意的
所有的应力，在不同的侧面，它的坐标不同
由于坐标有dx或者dy的变化
那么它有相应的增量变化
这一点一定要注意
增量怎么表达，我们后面给大家再具体的写出来
另外呢由于我们取出来是dxdy_t的微小的面元
所以说在每个侧面上，这个应力
不管是剪应力还是正应力
我们都认为它是均匀分布
因为dxdy，用极限的概念来说，我们总可以取得很小
那么在很小的范围内，它的变化是非常小
我们可以认为它是均匀分布
那么对于我们所得到的dxdy_t的微小的面元
我们需要建立它的合力的平衡
那么对于一个面元，他实际上也是一个体
也就是说它的厚度为t
那对于体来说，在平面上的一个体
那么我们需要建立它的平衡关系
有三个
一个是x方向所有的合力平衡
还有沿y方向所有合力的平衡
另外所有的合力
关于这个体里面任意一点都有一个力矩的平衡
这是我们三个平面问题的平衡方程
那么我们在构建这个三个平衡方程的时候
要注意一下，刚才提到了
在不同的侧面它由于有dxdy它的坐标的变化
所以说要算力学变量的增量
这个增量呢要用泰勒级数进行展开
我们要计算它的展开项
另外呢就是要算它的合力平衡
关于力学变量的增量的计算
我们要用泰勒级数来展开
我们举个例，比如
σxx这个正应力
它的坐标呢是x+dx，然后这边是y
在最右侧面
我们怎么来算它的这个增量变化引起的应力分量的变化
我们用高等数学的泰勒级数展开
大家要知道，这个x只有一个dx的增量变化
所以说呢我们这个泰勒级数
就针对x做一个针对dx的泰勒级数展开
那这样的话，我们第一项，就是σxx，σxy
这第二项呢就是由于dx的增量变化引起的增量
那这个增量变化由于是x方向的增量变化
所以说它是一个偏x的偏导乘上dx的微量的增量
那二阶的增量变化就是针对x二阶偏导
再乘上一个dx的二次方
同样还可以有高阶的
那么为了简化，刚才我们前面也提到了
就是我们小变形，还有一些这种基本的假定
实际上我们就是要忽略高次的这个级数的增量变化
也就是我们把二阶增量以上的量忽略掉
我们就取一阶的增量
这样的话，我们就可以得到
由于坐标的变化所引起的应力，或者是各个力学分量
它的增量的变化值
好了我们再具体看这个微元体
它呢我们把所有的各个分量都写出来以后
我们来建立x方向的合力平衡
y方向的合力平衡
还有针对任意一点的力矩平衡
那么以x方向的合力平衡为例
我们来看看所有x方向的合力，我们把它标出来
在最右边的这个侧面，我们有σxx
当然呢它的坐标呢是x+dx,y
我们把第一项应力乘上相应的面积，把它写在这儿
这是第一项的合力
沿着x方向的正方向，我们把这个合力为正
第二项是最左边的这个侧面
它也是σxx，它的坐标是x,y
那么它就直接乘上所作用的侧面的面积，叫dy乘上t
由于这是最左边，它是向负的y方向指向的
所以说我们这个力呢是一个负的
那我们再看看最上面的这个剪力
也就是τxy，那么它的坐标呢是x,y+dy
就是在最上面的这个面
那么我们把这个剪应力乘上相应的最上面的这个侧面的面积
叫dx乘t，这个是作为最上边的合力
最底边的这个面，沿着x方向
它的应力呢是τxy，它的坐标是x,y
所以说它乘上相应的最底边的侧面的面积，dx乘t
那么它是负的x方向
所以说这个地方我们取得是这么一个负的合力
另外呢我们还有体积力bx杠
bx杠呢这个乘上相应的体积
我们叫dxdy再乘上厚度t
这样的话就是体积力的合力
我们把这五项加起来，它应该平衡
那么再把刚才说到的基于坐标轴的增量变化
就是说x+dx，这边还有y+dy
用前面提到的泰勒级数展开
把它展开到一阶增量项
这样的话我们重写一下这个平衡方程
那么我们就可以看见有两项
前面σxx（x,y）这两项抵消了
后面这个τxy也抵消了
所以最后剩下三项
我们把这三项再同时除一下这个体的体积dxdyt
这样的话我们就得到这个偏微分方程
我们叫偏σxx，偏x
偏τxy，偏y，加上bx一杠等于零
大家可以看看，这是x方向的合力平衡
我们验证一下
我们前面说了
第一个下标表明是这个应力的力的方向
我们看看第一个下标都是x
表明我们这个方程就是关于x方向的力的平衡方程
同样，我们在y方向
用同样的方式进行所有合力的平衡构建
那么我也可以得到ΣFy等于零
也就是说是y方向的合力为零
也按照刚才的处理方式
由于有坐标轴的增加的面的增量
用泰勒级数展开，我们展开到一阶增量项
然后同样来进行一个处理以后
我们可以得到一个沿着y方向的这么一个平衡方程
我们也做一个验证
这个里面的应力分量的第一项，下标是y
那这表明我们这个方程它是y方向的合力平衡
当我们再看一看这两个偏导，我们也可以解释一下
这个比如第一项，偏yy，偏y
那么第一个下标呢是y方向
第二个呢是对y方向求一个增量
那么后面第二项呢是τyx
这是在yx方向，有一个增量的梯度变化
最后是在y方向有一个力的平衡
这表面前面两项是由于面的增量的变化引起的梯度变化
和我们的体积力要达到一个平衡
就是说这个偏导的含义是由于
不同的面坐标轴引起的梯度变化
所得到的这么一个增量关系
同样，关于合力，也有一个力矩的平衡
也就是说第三个平衡方程
我们叫ΣM0等于零
同样呢，你可以取任意一点
作为简单一点，我们可以取到面元的中心位置
来取它的力矩的平衡
同样呢我们也可以得到四项力矩、两项体积力
因为正好是过这个面元的几何的形心
所以说呢，它的力臂为零
力臂为零么，它的力矩就为零
所以我们只有四个侧面剪应力求矩的这么一个平衡
那么四个面的正应力
我们假设正应力都是均匀的
所以说它的合力也是通过面元的质心的
所以说它的力臂也是为零
所以说也没有力矩
所以说只有四个剪应力的这么一个力矩
那么我们四个剪应力得到的这么一个方程
同样也用泰勒级数展开
关于不同的面的增量用泰勒级数展开
再把展开过后的高阶量给它消掉
剩下的最后就得到τxy等于τyx
这个学过材料力学的同学应该都很清楚
它就是剪应力互等定理
实际上我们关于力矩的平衡就是得到剪应力互等定理
那么这个关系呢以后我们在平衡方程中间可以直接把它代入
就可以用了
综合以上三个平衡方程
也就是说x方向上的合力平衡、y方向上的合力平衡
力矩的平衡
我们就可以写出这三个平衡方程
刚才说到了我们有剪应力互等
我们在应力分量里面有四个
σxx、τxy、σyy、τyx
那么我们注意一下
这个剪应力互等，就可以把这两项代入以后就写一项
这样的话我们把这个方程用一下
把这三个方程变成两个方程
变成两个方程以后呢，剪应力我们就写一个
就是τxy或者τyx
因为剪应力互等，它是相等的
这样我们就比较简单的把平衡方程写成两个
那这个时候的独立的应力分量就是三个了
也就是σxx、σyy，还有一个就是τxy
另外一个τxy呢就是剪应力互等
实际上就是张量对称，它也是对称的这么一个分量
那么我们也可以把它写成指标形式
那怎么写呢？我们看一看
首先第一个下标，表明力的方向
那么第一个方程呢是x方向
第二个方程呢是关于y的方向
那么导数这个也是关于x坐标求一个导数
关于y坐标求一个偏导
那么我们把这个方程呢，就可以写成
σij偏导j加上bi一横等于零
那么我们注意一下
大家可能第一次碰见这么一个偏导的记号
我们这个地方注明一下
也就是说在下标里面带有逗号的这个我们叫作偏导
那么对于这个变量σij,j
就表明σij针对j的方向求偏导
那么写成完整来说应该写成σij偏导xj
那么我们用ij偏导j这个下标来表达
那么由于它要求和
由于jj是哑指标，它要求和
求和的话实际上就对应着前面这两项展开
在平面问题里面就是这两项
那么i呢分别变1、2也就是变x方向y方向
所以说是两个方程
那么这个呢就是我们用指标形式写出来的
比较简单的平衡关系
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
