当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1 > 3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems > Video 3.5
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下面我们构建平面问题的几何方程
那么这是变形前的取出来的一个微元
叫dxdy，那么这一点的坐标叫x,y
那么它受力以后它会变形
变形以后，变成像这样一个菱形一样
我们分别定义它的几个位置
A点、P点、B点
变形以后，A’、P’、B’
也就是说对应点它相对移动了一个位置
那么移动的前提条件就是有一个位移场
u（x,y)、v（x,y）
那么这个位移场是表明这个变形体任何一个位置
它移动的位移，x方向上的分量和y方向上的分量
那就是u和v
那么如果变化x、y这个坐标就可以得到这个变形体
任意一个位置它沿两个方向的位移分量
好，我们要构建几何方程，就是要考虑两个问题
一个呢就是考虑变形以后的长度变化
也就是相对伸长量
另外还有一个，它形状改变以后有一个夹角的变化
那么我们定义沿着x方向的相对伸长量
定义为εxx，也叫x方向的正应变
那么我们来看
这个定义叫相对伸长量
也就是变形以后的绝对长度P'A'，这个长度
减去原来这个长度PA，就是绝对伸长量
再除上一个原长PA
这样的话就是我们的相对伸长量
那么我们具体已知它的位移场
怎么来做它的相对伸长量
我们来推导一下
我看一看，P一点是xy这个坐标
由于变形的描述
也就是说它的位移描述是u和v
那我们把这一点的坐标代进去
我们就得到了P'
也就是移动位移在x方向上的分量就是u
y方向上的分量就是v
这一点的位移，我们就得到了
A这一点的变形前变形后的移动量
同样把A这一点的坐标应该是x坐标是x+dx
y坐标就是y
我们把这个坐标代到u和v的这个函数里面去
就可以得到A一点的x方向的位移移动量和y方向的移动量
因为我们这个位移场么，不管你把什么坐标代进去
它都要满足这个位移场，用函数来表达
那同样，在x方向由于它有增量
所以说呢我们用泰勒级数展开
按照前面的展开方式，它就有一个
沿x方向的位移加上x方向的一阶梯度变化乘上增量
这就是A点的x方向的由于dx这一点的
坐标变化引起的x方向的位移的增量变化
那同样，A这一点变到A'这一点在y方向的位移量
把这一点的坐标，代到这个位移场函数里面去
那么在y方向的这个分量呢，用泰勒级数展开
写出它的一阶增量
就得到了A这一点它变形以后的y方向的分量
B这一点相对于P这一点呢
它是在y坐标有一个dy的变化
那同样呢我们把这一点的坐标
也就是说x,y+dy代入到位移场函数里面去u和v
那么也同样用泰勒级数展开
我们保留一阶增量项
同样也可以得到
B这一点变到B'这一点，x方向的位移
x方向的位移量就是u加上偏u偏ydy
y方向上的分量呢就是v加偏v dy，偏y dy
好，有了这三个点具体的位移的描述
那我们下面我们来计算P’A'
当然我们这个角度比较小
虽然是斜的，但我们就认为是一个沿x方向的水平段
那么P'A'我们怎么算呢
就用这个大的长段，减去前面这个小段
就可以得到P'A'
这个大的长段怎么做呢
就是用前面这一段PAdx，再加上这一段，就是大的长段
这一段大的长段我们做出来就是dx加上u
加上个偏u偏x dx
然后减去PP'
PP'就是u
那么我们做一个化简就是u和u消掉了
我们就得到了dx加上偏u偏x dx
这就是P'A'
然后还要减去一个PA
PA呢就是dx，就是原来的原长
所以说把dx去掉
所以说我们这一段上面的绝对伸长量就是偏u偏x dx
原长呢就是dx
那么把dx消掉以后就是偏u偏x
那同样，在y方向，我们定义相对伸长量
也是按照刚才的这种方式
就是P'B'减去PB，再除上一个PB
同样我们也可以最后得到一个偏v偏y
好了我们两个方向的相对伸长量，我们就得到了
下面我们来定义一下夹角的变化
我们看一下，原来是一个直角
现在变形以后，变成一个相当于菱形一样的东西
那么我们和x轴的这个夹角呢叫α角
和y轴的这个夹角呢我们叫β角
那同样我们来算一算α角和β角
那么我们看看α角
α角怎么算呢
我们来算这一段长度减去原来的这段长度
也就是说这一条边，再比上一个原长
这个dx变化以后的这个长度
和变形以前的这个长度应该是接近的
也就是说，可能它加上一个高阶小量
那么它呢可以去掉
那么上面v和v消掉以后
剩下的dx/dx去掉
我们就得到一个偏v偏x
由于这个角度比较小，所以tanα就是α
同样，β角最后得到的是偏u偏y
我们把这两个角度加起来，得到一个总的角度
也就是α加β
我们把它写成剪应变，这个剪应变就是γxy
基于位移场来表达它呢就是偏u偏y和偏v偏x
我们归纳一下上面所建立的几何方程
也就是说x方向的相对伸长量我们定义为εxx
y方向的相对伸长量定义为εyy
原来是个直角，变化以后的角度变化就是α加β
我们定义为剪应变γxy，它是偏u偏y，偏v偏x
那同样我们把它写成指标形式
可以写成εij等于二分之一ui偏导j加上uj偏导i
那这个地方注意两点
一个是ui偏导j这个偏导，这个下标
还是前面应力的偏导记号一样
我们这个逗号表示偏导
比如ui,j就表明是偏ui对xj进行求偏导
那么另外呢，由于我们写成指标形式的这个量
要和原来的分量形式要完全对应
那么我们可以验证一下
当i和j相等的时候
也就是i等于j分别等于1的时候
那我们就是εxx
当i等于j分别等于2的时候，就是εyy
当i和j不相等，分别等于1、2
也就是对应着x和y的时候
那这个时候我们得到的是两个的偏导呢
和上面γxy这个偏导呢差了二分之一
那么这个地方我们就要约定一下
我们由于是用的εij
所以说εij要等于二分之一γij
这样的话就可以把我们的指标形式和分量形式完全的对应起来
那么我们在构建几何方程的时候是基于位移分量
对于我们平面问题就是两个位移分量
就是uxy，vxy
我们分别构造了三个形变分量，也就是应变分量
也就是x方向的相对伸长量、y方向的相对伸长量
还有夹角的变化γxy
也就是说有两个独立的位移分量
我们给出了三个形变分量，也就是应变分量
这是由前面的公式可以进行计算的
那反过来，如果我们已知三个形变分量或者应变分量
能不能唯一的确定两个位移分量
从理论上来讲不可以唯一确定
除非这三个分量有一个相关条件
也就是说这三个分量里面
只有两个是独立的，另外一个是相关的
所以这相关条件我们就叫做变形协调条件
由这三个分量来推出变形协调条件
那么我们来看，εxx，εyy，还有γxy
分别都是基于u和v表达出来的
那么我们分别把εxx对y方向求两阶偏导数
把εyy对x方向求两阶偏导数
把它加到一块儿
同样呢把它写出关于u和v的偏导的表达（此处2应为偏导符号）
就可以把这个加起来的偏导呢
可以写成对γxy的两阶偏导，分别对偏x和偏y
这样的话我们构建的这个方程
就是三个应变分量必须满足的这么一个关系
也就是三个应变分量只有两个是独立的
其中要满足一个协调方程，也就是一个耦合方程
是一个非独立方程
那么这个方程呢，我们叫变形协调条件
那么变形协调条件从物理上来解释的话
就是说它只有满足变形协调方程所得到的位移
u和v才是真实的变形场的位移场，也就是u和v
如果是不满足变形协调方程得到的这个应变
所确定出来的u和v
它是不协调的，也就是不是真实的
那么在工程上或者在物理上我们来看
真实的协调的变形
那么这个是变形协调，这是变形前的情况
变形以后的协调方程应该是连续的
变化是无缝的
如果出现中间有间隙，有缝
甚至出现材料之间的搭接
那就说明三个应变分量出现了不协调
也就是说三个应变分量不满足变形协调方程
这样的话就不是真实的变形场
那么由它不能够确定出真实的位移场u和v
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
