当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1 > 3.6 Construction of constitutive relations for plane problems > Video 3.6
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下面我们构建平面问题的物理方程
这个物理方程实际上就是广义虎克定理
一维的问题我们已经做过实验了
我们做过一个单拉实验，在线弹性
我们可以得到应力和应变的关系
也就是说ε等于σ除上E
注意一下我们应力和应变都是两个下标εxx，σxx
它两个下标相同的时候有时候就简写成εx
σxx呢往往我们也可以简写是σx
不要看成一个下标就是一阶张量
实际上它就是两阶张量，也就是两个下标
那么我们要构建平面问题的物理方程呢
还是基于实验
那么这个实验呢应该是个广义的
除了沿拉伸方向构建的虎克定理以外
我们还要考虑另外一个方向的变化
那么同样我们也来做一个拉伸实验
那么主方向上的伸长，就是刚才提到的单拉实验
它就是这么一个线性关系
那么我们在主方向拉长的情况下
另外一个方向，一定要缩短
我们把这个缩短的比例，就是应变
相对伸长量的这个变化比例呢定义为泊松效应
它的两个之比，一个伸长一个缩短的之比呢
加个负号，我们把它定义为泊松比
那么有了主伸长和另外方向的缩短用泊松效应来描述以外
我们就可以给出平面问题在任意情况下的虎克定理
我们叫广义虎克定理
那我们看一下平面的受力情况
每一个侧面分别有两个力
一个是正应力，另外一个是剪应力
我们把这么几组力分解成x方向上的一组拉伸也叫σxx
y方向上的一组拉伸，σyy
还有四个剪切，我们分成这三组情况
那我们看看x方向的拉伸就相当于是个单拉实验
主方向相对伸长
那么伸长力和应变的关系，比例系数就是我们的弹性模量
这就是我们单拉主方向的虎克定理
另外它拉长以后，另外一个方向它就缩短
在y方向上的缩短量呢，我们用泊松系数来表达
它就是主方向拉伸量的泊松比相乘，再加个负号
因为它是缩短
那么我们把σxx拉伸引起的两个应变
就是一个伸长一个缩短，分别写到这儿
另外y方向应力σyy，在y方向的主伸长拉长
这是εyy，和σyy，这个弹性模量比例系数
另外它同样也有一个在x方向的泊松效应
因为y方向是主方向
所以x方向就是它的泊松效应的方向
那我们同样也可以用泊松比来写
得到εxx等于负的μσyy除上一个E
另外剪切，也就是τxy
这四个剪应力分量引起的变形的情况
我们考察一下
这个剪切呢，它只会引起夹角的变化
不会引起两个方向伸长的变化
所以说呢它只有剪切角的变化
我们都知道剪切角α加β我们用剪应变γxy来表达
所以它呢和剪应力之间也是满足一个线性关系
这个线性关系呢它的比例系数就是我们的剪切模量
那把这三种情况叠加
分别沿着x方向的伸长量、y方向的伸长量还有夹角的变化
分别找到对应的位置进行叠加
我们就可以得到合成以后的平面问题的本构方程
也就是广义虎克定理
它分别等于εxx，等于E分之一（σxx-μσyy）
那么我们把所得到的平面问题的物理方程进行一个汇总
就得到这样的方程
注意这里面的材料系数
E为弹性模量，G为剪切模量，μ为泊松比
这三个材料当中呢，只有两个是独立的
所以还要满足三个材料系数之间的一个关系
那么我们把这个物理方程写成一个逆形式
也就是说把应力写到前面，把应变写到这个关系式里面
那么同样我们可以得到逆形式的物理方程
那么前面我们得到的是应力和应变之间的关系
那一维情况最简单
二维情况我们得到的是一个方程组
那么按照指标形式来写
我们可以把应变写成εij
把应力呢也写成一个指标形式σkl，就是两个下标
两个下标不同
那么按照指标的运算规则
就两个二阶下标的指标形式的物理量之间
一定通过一个四阶下标的物理量建立它的关系
这就是我们指标规则里所得到的这么一个关系
那么下面我们来看看如果用指标形式来写
那么我们怎么来写出这个比例系数Cijkl
也就说是四阶张量，四个下标
那么我们怎么来确定这个Cijkl的这个系数呢
我们还是对应着前面所构建的平面问题的物理方程
我们看看第一项
第一项的物理方程呢是εxx，xx我们取1、1
那这样就是i=1、j=1
那么我们第一项这个系数呢是对应着σxx
σxx呢我们也是x对应着1
那这样就是k等于1，l等于1
那这样我们就可以得到ijkl分别等于1的情况
就是c1111它的对应的值就是E分之一
同样我们来写σyy的这一项
那同样xx还是1、1，也就是i等于1，j等于1
那么这个yy呢，y是表明是2，对应着x2轴
这样就是分别对应着k等于2，l等于2
那么这一项写出来就是i等于1，j等于1
k等于2，l等于2
对过来这个系数呢就是E分之负μ
所以写出来这个系数呢是C1122
就是负的E分之μ
那么其他的对应关系也是一样
我们分别来变下标
然后找出这两个下标分别对应的关系
来找出C这个对应下标的关系
那同样，这个物理方程的另外一个的逆形式
也是这样写的
那么σij要和εkl建立关系
同样有一个四阶张量的系数，我们叫Dijkl
同样我们用σxx，也就是i等于1、j等于1对过来
那么kl分别对应εxx也是等于1
1、1对应的是k等于1、l等于1
这样的话我们就对应着D1111
它对应的系数就是1减μ平方分之E
那同样，我们要做第二项
第二项对过来是εyy，也就是y呢对应的是2
那这样就是k等于2，l等于2
这样我们得到的系数就是i等于1，j等于1
k等于2，l等于2
D系数呢就是1122
它对过来这个系数就是1减μ平方分之μE
那么其它的参量也可以按照这种方式找出对应的关系
可以看出如果用指标形式来写
它是二阶张量之间通过一个四阶张量来进行转换
非常的复杂
要写出这个系数，要变这个下标都是非常的复杂
那这个时候我们就可以用Voigt的这个规则
把它这个阶次降低，来写出它的矩阵形式
那这样的话就是，对于σij等于Dijkl εkl
这么一个指标形式的物理方程
我们把ij，压缩成一个下标
也就是说通过Voigt这个规则
把一个两阶的矩阵变成一个列阵
那么同样对于εkl，把kl也变成一个下标，变成q
那这样D里面的ij就变成p，kl就变成q
那这样的话我们就得到了一个方程就是σp和εq之间的关系
那这样的话前面的系数原来是四阶的张量
就变成这么一个两个下标的降阶以后的张量
那么我们来写出四阶张量四个下标的
和两个下标的矩阵之间的对应关系
那么我们可以看，我们把pq分别变1、2、3
我们可以得到D一横11、12、13
D一横21、22、23
注意一下，这里面下标的第一个，表明是p的变化
第二个，表明是q的变化
那么p的变化又对着D矩阵前面的两个ij
这个q的变化又对着原来这个D下标的后面两个kl
也就是前面两个对着p，后面对着是q
那这样我们来做相应的变化
那么p取1的时候
也就是说我们σp，第一个叫σ1
也就是σxx、σyy、τxy
也就是说，σ1就对着σxx
也就是p取1的时候，就意味着ij分别取1、1
那么q呢，也要取1，对应着ε1
我们是这个εq
那么q要取1，也就对应着ε1，也就对应着εxx
也就是说，这个时候的kl也是取1、1
那么这个数就是D1111，它对着我们前面的D一杠11
这两个是一个对应关系
那我们看看第二项
我们的p还是取1
也就对应着σx，也就是说ij分别为1、1
然后q呢这个时候要取2，也就在这儿
这个时候q要取2
q取2就意味着εq等于2
εq等于2就对应着εyy，这个yy就对应着kl分别取2、2
那这个时候，我们所对应过来，D呢就是1122
这就是我们所对应的关系
那么我们第三项也是一样
我们的p还是取1，对应着σ1，也就说i等于1，j等于1
第二项呢就是q等于3
我们来看看εq等于3，就相当于是第三项
ε就是γ12，就对应着k等于1，l等于2
那这样的话就是第三项D，前面是11，后面就是12
那么我们就得到了这么一个对应的
四阶张量和二阶张量Voigt变换以后的这么一个对应关系
那么其它的，也都可以写出来
那么这个降阶的这九个量，分别对过来，就是这么具体的数字
这个是D1111，也就是这个降阶以后的D一杠11
这个呢对过来，是D1122，也对着我们这个D一杠12
那么其他也是这样的
那这就是用Voigt ij把它降为p一个下标和kl降成一个下标以后
就可以把原来很复杂的指标形式的本构关系
可以写成一个矩阵表达的这么一个形式
但注意一点，我们只是上工程上表达成矩阵
但是用指标形式可不能写成这个矩阵形式
因为指标形式一定是二阶张量的指标
这本来就是一个二阶矩阵
那么四阶的这个的话应该是一个四个下标变化的
那么这个矩阵是在纸面上是写不出来的
只能用下标来进行表达
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
