当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2 > 4.1 Discussion of several special cases > Video 4.1
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同学们好
首先简单回顾一下上一讲的基本内容
上一讲我们介绍了
力学描述的思路及变形体材料的基本假设
介绍了三大类变量及三大类方程
同时也介绍了复杂变形体描述的建模思路
最后介绍了位移和力的边界条件
这一讲我们重点要介绍
平面问题的几种特殊情况的讨论
针对1D也就是一维的拉杆问题
及平面纯弯曲问题的梁进行描述和求解
还要介绍空间弹性问题的完整描述
最后我们对张量的描述和理解进行一个讨论
那么简单回顾一下
我们在二维建模里面
我们给定的几何Ω
在Ω里面我们给定体积力bi一横
同样我们在Ω的表面
也就是偏Ω呢，我们有两类边界条件
一个是Su，还有一个是Sp
在Su上面我们给定了位移的这个值
我们叫位移边界条件Ui一横
同样在Sp上面，在力的边界条件上呢
我们给定了边界的外力值Pi一横
这就是我们给定的情况
那么我们基于内部的建模和表面的描述呢
要定义三大类变量
第一呢就是位移变量
我们在二维问题里面有x方向的位移
和y方向的位移u和v
还有呢我们独立的应力的变量
我们有三个分量σxx，σyy，τxy
应变呢我们也一样
我们有三个独立的应变分量εxx，εyy，γxy
那么所有的三大类变量呢都是坐标点的函数
也就是说xy的函数，在二维问题里面
那么我们构建的相应的平衡方程呢
独立的平衡方程呢有两个
一个是x方向的合力平衡，还有y方向的合力平衡
几何方程呢，我们得到了三个
一个是x方向的相对伸长量的表达
还有y方向的相对伸长量的表达
以及夹角的变化
那么我们也构建了材料的物理方程
我们可以写出来应力和应变之间的相对的关系
这个关系呢是一个线性关系
下面，我们还有呢是两类边界条件
关于位移的边界条件
就是在Su上面给出u一横，还有v一横
那么在Sp上面呢，我们给定了力的分布
Px一横，还有Py一横
同样我们有两个的边界上的力的平衡方程
下面要就几种情况来进行讨论
这几种情况是一些特殊情况
比如平面应力、平面应变，还有刚体位移
那么平面应力问题呢，我们首先看一下对象
这个对象首先是个二维问题
是xy坐标系里面的一个平面问题
它是一个很薄的等厚度的薄板
那么所有的变量呢在z方向都不变化
z方向板的厚度是t
那么我们可以看出来
在薄板的内表面和外表面
也就是说在z等于正负二分之t的两个内外表面上
所有应力都为零，它是自由表面
所以说σzz，还有τxz，τyz
在两个内外表面上都是为零的
那么由于板比较薄，所以t呢很小
所以我们就近似的认为在板的中间
刚才的这三个分量也都为零
也就是σzz，τxz，τyz处处为零
当然这是一个近似的假定
那么由此呢我们看看
所对应的剪应力的这一块我们可以得到剪应变为零
也就是γxz，还有γyz等于零
那么对应着σzz的对应它的应变
比如εzz，是不是等于零
或者它不等于零，它等于多少
那么这个需要由物理方程来进行确定
也许大家会想，σzz等于零
那应力为零了，那这个方向的应变也应该为零呀
但是要知道，我们广义虎克定理里面两个特点
一个是主方向拉长，另外一个方向上会有一个泊松效应
也就是说，它会收缩
所以说，由于泊松效应会引起这个方向
也就是z方向的应变有可能不为零
所以说我们要用物理方程来进行推导
那么简单归纳一下我们平面问题的基本变量
也就是说我们的位移是
u(x,y)，v(x,y)两个分量
应力呢，σxx(x,y)，σyy(x,y)，τxy(x,y)
应变呢是εxx(x,y)，εyy(x,y)，γxy(x,y)
由于近似认为z方向处处为零
那么我们由z方向的物理方程
当然这个物理方程式三维的物理方程
这个三维的物理方程就是[方程]
可以明显看出来，这是z方向施加的力引起的应变
同样还有x方向和y方向作用力引起的泊松效应
在这个地方
那么刚才σzz等于零
我们看看由这个方程就可以得到[方程]
那么我们可以看出来，确实是在平面应力问题里面
z方向的应变是不为零的
它是等于由σxx、σyy泊松效应引起的
另外反方向的一个应变
那么第二个特殊情况讨论呢就是平面应变问题
那么我们同样也看一看平面应变问题的对象
它的对象是一个无限长得等截面的柱形体
比如这个水坝，当然我们是要等截面
并且所有的外载荷都不随着z变化
当然理想化的这种无限长的是没有的
我们一般来说，相对于横截面的尺寸
它比较长，我们就可以近似认为它是一个平面应变问题
那么从中间呢我们可以任意取出一个截面
这个截面也是一个薄片
那么它呢也可以看成是一个平面问题
但是在z方向，它和刚才的平面应力问题完全不一样
也就是说，由于它是一个无限长的等截面的柱形体
并且所有的外载荷不随z变化
那么任何一个在z任意位置上截下来的截面
它都是对称面
那么对称面就意味着它z方向的位移和应变都为零
也就是说w，就是z方向上的位移它是为零的
那同样呢，和z相关的应变它也是为零
γyz，γxz，它也是为零
那么由z方向的相对伸长量的计算
也就是说三维问题的我们计算它的应变
由于它的位移为零，就是说它完全被限制死了
它z方向不能任何的移动
那么同样，z方向的相对伸长量也就是应变它也为零
那么从应力上我们来看看找对应关系
由于和z相关的这些剪切应变为零
那么得到的和z方向相关的相应的剪切的应力它也是为零
那么在z方向的应力是不是为零
那我们要用物理方程来进行讨论
好，我们把平面应变问题的三大类变量稍微归纳一下
首先所有的力学变量都是xy的函数
不随着厚度z方向的变化而变化
那么我们可以得到位移同样也是x方向的位移u(x,y)
还有y方向的位移分量v(x,y)
同样呢也有σxx(x,y)，σyy(x,y)，τxy(x,y)
应变呢也是εxx(x,y)，εyy(x,y)，γxy(x,y)
由于刚才我们提到的平面应变的特征
就是z方向的应变相对伸长量为零
那么我们由z方向的物理方程我们来看εzz等于零
那么我们用物理方程就可以得到
σzz等于μ乘上σxx加上σyy
那么明显能看出来，在平面应变问题
z方向的主应力，我们也叫正应力，它是不为零的
σzz是不为零的
那么我们进行两个平面问题的比较
从前面的基本变量和方程我们可以看
我们把三维问题就平面问题进行简化
就是说z方向的变化我们不考虑
我们都可以得到相应的平面应力和平面应变的三大类方程
应该说平衡方程和几何方程式完全一样的
那么在物理方程有一些不一样
那么我们看平面应力问题的特征
就是z方向的特征是平面应力它的z方向的应力为零
有σzz为零，但是应变不为零
它有泊松效应，εzz等于负的μ除上E
然后乘上σxx加上σyy（此处有误，字幕为准）
那么平面应变呢，z方向的特征是应变为零，应力不为零
正好这两个是互补的，一个应力为零一个应变为零
那么我们分别由三维问题由这两个特征
分别得到相应的物理方程
我们平面应力得到的方程是这样的
那么平面应变得到的是这样的
我们比较一下这两个物理方程
我们就发现，将平面应力问题里面的弹性模量E
换为E除上1减μ平方
把平面应力问题里面的μ泊松比换成μ除上1减μ
这样我们就从平面应力问题的物理方程转化为
平面应变问题的物理方程
反过来，也可以由平面应变问题的物理方程转化成
平面应力问题的物理方程
我们第三个特殊问题的讨论就是平面刚体位移
什么叫刚体位移
也就是说这个物体只有刚体的移动或转动
它不会产生任何内部的应变或应力
那么这样的位移是什么样子，它怎么表达
那首先，我们基于前面的三大类变量
描述变形
我们有应变分量
我们都知道平面问题三个应变分量
它的物理含义，就是x方向的相对伸长量εxx
y方向的相对伸长量εyy
还有夹角的变化γxy
那么我们让这三个变形分量
就是描述变形的分量为零
也就是它不产生变形
这就是刚体运动的情况
那我们看看这个时候确定出来的刚体位移
也就是u和v，是什么样的形式
那我们得到的这三个应变为零的方程
我们分别来求一下
我们对第一个，它是偏u偏x等于零
那这样的话，我们就可以说
u函数，因为它本身是xy的函数
那么它要满足偏x等于零，它一定是一个y的函数
我们把这个函数取为f1（y）
那同样，对于v函数，它对y偏导为零
也就是说
这个v(x,y)的这个函数呢它一定是一个关于x的函数
我们把这个函数设定为f2(x)
把u函数和v函数对应的f1和f2
代到γxy这里面的u和v里面去
由于这个里面的偏导因为我们都变成
这两个函数都成为一个自变量的函数
所以我们就可以得到一个不是偏导的微分方程
也就是[方程]
也就是说剪应变要为零
这两个呢我们把它移一下项
我们把第一项移到右边去
最后我们就可以得到这么一个方程
我们分析一下，这个方程，左边是一个导数，一阶导数
但是我们看看它的自变量就是x
右边呢也是一个导数，但是它的自变量是y
那么是一个x的函数要等于一个y的函数
而且在我们所分析的对象Ω这个物体里呢要处处满足关系
由于它是刚体运动么，处处都要满足这个关系
它是一个恒等式
那一个x的函数要等于一个y的函数，要处处满足
那只能说让它们这个函数分别等于一个常数
这样才能做一个恒等式
那我们令它等于一个常数ω0
这样我们就可以分别就
f2和f1这两个一阶的常微分方程
来进行求解
这个求解结果非常简单[方程]
那么这个f1和f2实际上
和我们前面设定的这个一看一对照
我们就知道，它就是关于u和v的刚体位移的函数表达
也就是说u(x,y)它的函数表达是这样的
v(x,y)，就是y方向的位移分量的函数表达就是ω0x加v0
这就是我们平面刚体位移的函数表达式
注意这里面的三个常数
一个是u0 v0加ω0
它是表征平面刚体位移的常数
好，我们对这三个表征平面刚体位移的常数
分别要分析一下它的物理含义
那么我们分别看一看这三个表示平面刚体位移的常数
那么如果我们令ω0等于0，v0等于0
这个时候的u(x,y)就等于u0
那表明什么意思呢
表明处处x方向的位移等于一个常数
所以说u0的物理含义就是为
整个物体在x方向的刚体平移量
同样，v0也是，为整个物体在y方向的刚体平移量
那我们看看ω0，它的物理含义是什么
那么我们分别来分析一下
那么对于物体里面的任意一点这个坐标
这个坐标是xoy坐标系
对于它任意一点，xy这个坐标在这儿
这个坐标呢有刚体位移
刚体位移的描述呢，我们先不考虑u0和v0
把这两个去掉
那我们看看x方向的位移，就是负的ω0乘上y
也就是说，它是负方向的负ω0y，这是u
那么这一点的y方向的移动量是ω0x
那么这是两个分量
那么真正这一点的移动是这两个分量的合成
那么合成以后就等于这么一个我们叫d
那么d的这两个平方和相加再开根号
得到的呢就是r乘上ω0
那么这个r正好就是从原点到这一点的坐标的距离
这就可以看出来，那么它的位移量
就正好是距离r的这一点乘上一个ω0
小变形、转动的情况下乘上的一个转动的刚体位移
所以呢，ω0就是整个物体刚体转动的角度
已知u和v同样根据这个关系呢
可以求出来它的刚体的转动量
那么我们由前面这两个方程
我们u0和v0都不考虑的情况下、等于零的情况下
我们就可以u(x,y)对于y求偏导
它就等于负的ω0
对于v函数呢，对于x求偏导
它就等于ω0
把这两个一减再除个2刚好就是刚体位移的转动量
也就是说我们已知u和v
可以通过这么一个求偏导相减的关系呢
可以把刚体位移的转动把它求出来
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
