当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2 > 4.5 Description and understanding of tensor > Video 4.5
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前面我们都用指标来描述
我们的三大类力学的变量
还有三大类力学的方程
关于张量呢我们再做进一步的描述
给出更深刻的一些理解
首先谈一谈张量的概念
张量其实就是用指标表示法来表示的物理量
并且呢这些物理量要满足坐标变换的关系
那么张量又分0阶张量
也就是说它没有自由指标的量，就没有下标
它是与坐标系选择无关
比如温度、质量、能量这些标量
1阶张量，也就是有1个自由指标的量
比如坐标xi，位移ui这些矢量
2阶张量，它是由2个自由指标的量
比如应力σij，还有应变εij
n阶张量，具有n个自由指标的量
比如前面我们在建立广义虎克定理的时候
里面提到了用指标形式来写的话
其中它的弹性系数
应该是一个四阶的弹性系数张量
也就是Dijkl，它有4个下标
那么张量的性质应该它是描述客观存在的物理量
具有坐标不变性
但是它在不同的坐标系里面，它还有不同的分量
那么分量之间要满足坐标系的变换
那么下面我们具体来讨论一下它的一些变换的性质
那么张量，我们考察一个平面的力张量
我们也叫一阶张量
一个力张量呢它是具有方向性的物理量
比如这个F，它是平面的
那么我们要基于坐标来描述它
那么我们坐标系选第一个坐标系x(1)Oy(1)
在这个坐标系里面，那么这个矢量
这个力矢量在这个坐标系里有两个分量
一个是Fx，Fy，它是在第一坐标系里面有两个分量
那同样呢，在第二个坐标系里面，也可以得到两个分量
也就是说第二个坐标系是x(2)Oy(2)，这个坐标系
同样得到的分量是Fx(2),Fy(2)
那么我们基于两个坐标系的基矢量
也就是1号坐标系的xy的基矢量
把它的分量乘上它的基矢量
可以写出这个力矢量的表达
同样在第二号坐标系里面
它的基矢量上面，我们也可以写出它的分量形式的表达
它有两个分量
这两个坐标系之间有一个变化的关系
那么这个转换关系呢
在这个地方我们给出来就是第2号坐标系的x和y
和第1号坐标系的x和y
这中间存在一个cos的转换关系
这就是一个转换矩阵T
这个转换矩阵T呢假定我们用
两个坐标系之间转动的角度α来表达
那么我们可以相应的cosα，sinα的表达
也可以说，用l和m来进行表达
实际上它也是两个基矢量之间的一个点积
这么一个交叉的点积
那么力矢量分量的转变
有了这个坐标系的转变
同样我们也可以计算，在2号坐标系的分量
和1号坐标系的分量之间
它存在这么一个投影转换的关系
最后写出来也是基于坐标变换矩阵T的
这么一个相乘的变换关系
那么如果有更多坐标系的转换
那么这些分量之间都存在由坐标系的转换矩阵T
来进行相乘的这么一个转换关系
那么这个就表明了，一个客观的物理量F
那么选取不同的坐标系，它就有不同的分量
那么这些分量呢，应该说它还要满足一定的关系
也就是说它们的平方和再开方，最后呢都是相等的
那么这个量，我们就称为这个矢量的特征量
那么这个量是不变的量
也就说是一阶张量的不变量，就是它
它不随着坐标系的转变而转变
那么这个大家容易理解
也就是说它的模的长度
它不随着坐标系的变化而变化
但坐标系里面的分量
不同的坐标系它有不同的分量，它是变化的
往往这些不变量，或者是特征量，就是我们要寻找的量
由于它不随着坐标系变化而变化
它将反映物理量的一些本质特征
那么利用这些本质特征的特征量
往往可以来定义或者构建相应的物理准则
比如等效应力啊，强度准则啊这些
那么我们再考察一个平面的应力张量这个情况，σ
那么在1号坐标系里面
我们有应力张量的分量，也就是说有σ(1)
这个里面有四个分量，然后它是对称的
然后在2号坐标系里面
同样我们也有相应的σ(2)的分量表达
那么我们分别写到微元体上，我们可以看
这个呢是1号坐标系的分量
这个旋转的这个是2号坐标系的分量
那同样这两个坐标系之间存在一个角度的变换
也就是说α的变换
那么我们在不同坐标系之间张量的分量的转换
我们同样也可以进行计算，就得到2号坐标系的分量
等于1号坐标系的分量，前乘一个坐标变换矩阵
再后乘一个坐标变换矩阵的转置
那么对于2D问题的应力张量的变换
刚才已经得到，前乘一个，后乘一个
那么我们也可以用莫尔圆来进行表达
也就是说在这个莫尔圆上
任意一点都满足坐标变化的规则
那么我们可以看出来，在莫尔圆的最右端，P1点
可以得到这个转换得到的最大的主应力
在最左端P2点可以得到最小的主应力
也就是说这两个量，就是两个特征量
我们把σ1，最大的这个主应力，叫做第一特征量
第二个最小的这个量呢叫第二特征量
这两个特征量往往可以作为材料的强度准则的一个自变量
所以它呢是不随着坐标系的变化而变化的
它是客观的量
那么下面我们再给出张量的一般性表达
那么一阶张量
它可以说是基于一个下标的基矢量的表达，如矢量
那么我们在3D坐标里面，这个ei
就是3个坐标轴的基张量
所以说我们写成Fi乘上ei
那么e1、e2、e3就是三个坐标轴的基张量
那么F1、F2、F3就是三个基张量上的分量
那这就是我们基于基张量来表达的一阶张量
同样，我们对于二阶张量σij
那么我们也构建相应的二阶张量的基张量
也就是说两个坐标轴ei和ej
这两个可以构成分别的基张量
这样我们可以交叉组合，这样出来9个基张量
所以说我们的σij，三维的二阶张量
它有9个基张量，有9个应力的分量
当我们的基张量有一个坐标转换的情况
也就是说ei和e'i'，存在一个T这么一个转换
也就是说前面我们给出的
二维和一维的这么一个转换的情况
基张量有这么一个转换的情况
那么一阶张量的分量，就有这么一个基张量的转换
也就是说它的分量形式存在一个
前乘一个基张量转换的转换矩阵，这么一个转换关系
那么二阶张量，一样
由于二阶张量里面有两个
有一个ei乘上ej的这么一个基张量
它实际上是两个一维的基张量组成的二阶基张量
所以说每一个基张量，都有一个坐标变化
所以它会出来两个转换矩阵
这样的话，我们转换以后得到的二阶张量的分量的转换
就有两个转换的张量乘在前面
这样就可以进行坐标变换
那么我们把各阶张量的分量的转换关系稍微归纳一下
并给出相应的矩阵的表达
一阶张量，就是说
有一个基张量的转换矩阵的一个的相乘
我们叫一阶张量，对应的矩阵就是乘上一个转换矩阵T
二阶张量就是两次基张量的转换阵
转换张量相乘
也就是对应的矩阵要乘两次，前乘一个，后乘一个转秩
那么三阶张量的话，它的坐标变换的规则
就是要乘三次基张量的坐标变换的变换阵
或者变换张量，要乘三次
那么如果是n阶张量，大家也可以想
它就要乘n次的基张量坐标变换的那个变换的张量
这就是我们关于张量的变换的一些规则
同学们，这一讲的内容就是这些
我们下一讲再见
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
