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Video 5.3课程教案、知识点、字幕

对于梁的弯曲问题用试函数的方法进行求解

我们看一下,有Galerkin法

有残值的最小二乘法

那么里面都有一个试函数的问题

那么我们看一看对于梁的弯曲问题

我们的控制方程是关于自变量函数

也就是说我们的挠度是四阶导数

边界条件有两类,BC(u)和BC(p)

那么我们在刚才不管是Galerkin加权残值法

还是最小二乘法里面,我们都要设定试函数

首先试函数都要满足所有的边界条件

也就是说我们在这个问题里面就是

BC(u)和BC(p)都要满足

这是第一个问题,满足所有的边界条件

第二个问题

我们设定的试函数要代入到控制方程里面去

要定义一个残差函数R(x)

那么我们可以看一看

我们的控制方程里面是关于v

也就是挠度函数是四阶导数

所以说这就要求我们的试函数在四阶导数一定要存在

否则的话代进去过后就没意义了

这就是问题二

就是如何降低试函数对高阶导数的要求

我们前面的例子里这个问题还不突出

为什么?因为我们取的都是sin函数

φ1是sin,φ2也是sin函数

那么sin函数大家都知道

它是无穷多阶的导数都连续的都存在的

所以不存在这个问题

对于复杂的问题

要取这个试函数满足高阶导数连续往往是非常困难的

那同样对于一般的弹性问题

有三大类变量、三大类方程

那么三大类变量呢涉及到我们的位移、应力、应变

方程有平衡方程、几何方程、物理方程

另外还有两类边界条件

那么我们同样要基于前面所说的用试函数的方法来进行求解

那么试函数我们前面举的例子呢是关于梁的弯曲问题

因为它只有关于挠度的

我们就化简为关于挠度的控制方程

那么我们一般弹性问题呢,三大类变量就非常复杂了

变量比较多,所以我们要用试函数方法来做

我们需要把三大类变量代换一下

也就是说把三类变量代换成一类变量

我们先求出一类,再求出其它两类

这样的话使得问题简化一些

那么我们看一看,如果我们以位移函数作为最基本的变量

那么这样的话就是应力函数和应变函数要通过代换的方式

把它化为位移的函数

那么我们可以通过几何方程把应变可以化为位移的表达

这个表达是一个偏导的表达,是比较复杂的

它不是一般的线性组合的表达

那同样,我们用物理方程可以先把应变化为应力

或者是把应力用应变来表达

那么应变再通过刚才的几何方程再用位移来进行表达

这样的话我们就可以把应力和应变都通过位移来进行表达

也就是我们先基于位移这一类变量来进行求解

然后再来求其它的变量

那通过几何方程和物理方程的代换以后得到的平衡方程

这个时候的平衡方程的表达呢

都是基于位移进行表达的

我们把这类问题

当然我们现在是针对平面弹性问题

所以说是两个控制方程

这两个控制方程实际上就是平衡方程

但是它是通过位移来进行表达的

我们看一下,关于位移的导数

最高的导数的要求是有两阶的导数要求

就是偏u有两阶导数,不管是对x方向还是y方向

同样对于边界条件我们都表达成位移的边界

那么本身的BC(u)呢它本来就是位移的表达

那BC(p)呢,我们把应力通过位移进行代换

那么我们也可以得到基于位移表达的BC(p)

那么如果我们用这个试函数的方法来进行求解

那就是说平面问题,我们对于x方向的位移

也就说u(x,y)要设定试函数

同样对y方向的位移也要设定试函数

那么按照我们前面的基本的思路

也就是说要设定基底函数φ关于u的

也就说x方向位移的基底函数

同样也要设定关于y方向位移v的基底函数

分别进行线性组合,我们就可以得到这个试函数的表达

那么这个里面的cui和cvi就是待定系数

这个φui和φvi就是基底函数

当然如果是用前面说到的Galerkin方法或者是最小二乘法

那么基底函数要满足所有的边界条件

那么我看看,代入到控制方程里面去

我们把这个控制方程,也就是残差方程写出来

因为它肯定是不为0的

所以它再对基底函数进行加权

对整个域进行积分

那么同样对y方向的位移也就是v作同样的处理

我们就有两组Galerkin方程

那么问题一呢就是试函数

我们设定的试函数要满足两类边界条件

问题二就是我们在控制方程里面

也就是做这个残差函数的时候

也就是说要求我们试函数在一般弹性问题里面

至少两阶导数要存在

所以说怎么降低试函数对高阶导数的要求

那么我们简单归纳一下弹性问题加权残值法的难点和特点

前面提到了,试函数首先要满足所有的边界条件

也就是说要满足BC(u)和BC(p)

这是难点一

另外在积分中间的试函数

也就是我们在做残差函数的时候

它的最高阶导数比较高

那么前面提到的

对梁的弯曲问题它的最高阶导数要求是四阶

对一般弹性问题最高阶导数要求是两阶

因些对试函数的连续性要求是比较高的

这就是难点二

那么整个加权残值法应该说是计算一个全场

也就是说几何域Ω全场的积分

物理含义就是整个区域的误差的计算

这是特点一

由求取积分问题的最小值

也就说是误差最小

将原方程的求解化为线性方程的求解

那么这是特点二

那整个方法处理的流程是比较规范的

这是特点三

我们看看,难点一和难点二是需要我们进一步解决的

特点一、特点二和特点三是需要我们保留的

那么现在我们就提出刚才提到的两个难点

也就是说能不能对试函数满足两类边界条件

也就是说BC(u)和BC(p)这个问题能不能降低它的要求

能不能只满足一类边界条件

比如只满足位移边界条件BC(u)

这是针对难点一

针对难点二

也就是说怎么降低试函数对高阶导数的要求

那么我们刚才提到了

梁的弯曲问题要求我们的试函数至少四阶导数必需存在

对于一般弹性问题要求试函数至少两阶导数存在

那么这个难点二

我们能不能把试函数对高阶导数阶次的要求降低一半

梁的弯曲问题能不能试函数只要求两阶导数存在

对于一般弹性问题试函数只要求一阶导数存在

这就是我们后面要研究的问题

那实际上对难点一、难点二

就是边界条件和最高阶导数要求的降低

这两个难点呢我们后面又发展能量原理

就可以处理这两个问题

能量原理呢又包含虚功原理还有最小势能原理

其中的数学思想就包含有分部积分和变分方法

为什么要提一下数学思想呢

就是通过分部积分和变分方法

可以使得我们对试函数的导数阶次的要求降低

就是通过分部积分来实施的

Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications课程列表:

0、Course summary

-Finite element, infinite capabilities

--Video

1、Introduction

-1.1 Classification of mechanics:particle、rigid body、deformed body mechanics

--Video 1.1

--1.1 Test

-1.2 Main points for deformed body mechanics

--Video 1.2

--1.2 Test

-1.3 Methods to solve differential equation solving method

--Video 1.3

--1.3 Test

-1.4 Function approximation

--Video 1.4

--1.4 Test

-1.5 Function approximation defined on complex domains

--Video 1.5

--1.5 Test

-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains

--Video 1.6

--1.6 Test

-1.7 History and software of FEM development

--Video 1.7

--1.7 Test

-Discussion

--Discussion

-Homework

2、Finite element method of bar system based on direct stiffness method

-2.1 Principles of mechanic analysis of springs

--Video 2.1

--2.1 Test

-2.2 Comparison between spring element and bar element

--Video 2.2

--2.2 Test

-2.3 Coordinate transformation of bar element

--Video 2.3

--2.3 Test

-2.4 An example of a four-bar structure

--Video 2.4

--2.4 Test

-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure

--Video 2.5

--ANSYS

-Discussion

--Discussion

3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1

-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body

--Video 3.1

--3.1 Test

-3.2 Index notation

--Video 3.2

--3.2 Test

-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations

--Video 3.3

--3.3 Test

-3.4 Test

-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem

--Video 3.4

-3.5 Test

-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems

--Video 3.5

-3.6 Test

-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems

--Video 3.6

-3.7 Test

-3.7 Two kinds of boundary conditions

--Video 3.7

- Discussion

-- Discussion

4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2

-4.1 Test

-4.1 Discussion of several special cases

--Video 4.1

-4.2 Test

-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics

--Video 4.2

-4.3 Test

-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending

--Video 4.3

-4.4 Test

-4.4 Complete description of 3D elastic problem

--Video 4.4

-4.5 Test

-4.5 Description and understanding of tensor

--Video 4.5

-Discussion

--Discussion

5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body

-5.1 Test

-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation

--Video 5.1

-5.2 Test

-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method

--Video 5.2

-5.3 Test

-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function

--Video 5.3

-5.4 Test

-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam

--Video 5.4

-5.5 Test

-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending

--Video 5.5

-5.6 Test

-5.6 The general energy principle of elastic problem

--Video 5.6

-Discussion

--Discussion

6、Classic implementation and finite element implementation based on trial function method

-6.1Test

-6.1 Classic method and finite element method based on trial function

--Video 6.1

-6.2 Test

-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method

--Video 6.2

-6.3 Test

-6.3 Basic steps in the finite element method

--Video 6.3

-6.4 Test

-6.4 Comparison of classic method and finite element method

--VIDEO 6.4

-Discussion

--Discussion

7、Finite element analysis of bar and beam structures

-7.1 Test

-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system

--Video 7.1

-7.2 Test

-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste

--Video 7.2

-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system

--Video 7.3

-7.4 Test

-7.4 Beam element coordinate transformation

--Video 7.4

-7.5 Test

-7.5 Treatment of distributed force

--Video 7.5

-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure

--Video 7.6

-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure

--Video 7.7

8、Finite element analysis of continuum structure (1)

-8.1 Test

-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming

--Video 8.1

-8.2 Test

-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming

--Video 8.2

-8.3 Test

-8.3 Axisymmetric element

--Video 8.3

-8.4 Test

-8.4 Treatment of distributed force

--Video 8.4

-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate

--Video 8.5

-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar

--Video 8.6

-Discussion

--Discussion

9、Finite element analysis of continuum structure (2)

-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming

--Video 9.1

-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming

--Video 9.2

-9.3 Principle of the isoparametric element

--Video 9.3

-9.4Test

-9.4Numerical integration

--Video 9.4

-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems

--Video 9.5

-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem

--Video 9.6

-Discussion

--Discussion

10、Basic properties in finite element method

-10.1Test

-10.1Node number and storage bandwidth

--Video 10.1

-10.2Test

-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix

--Video 10.2

-10.3Test

-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces

--Video 10.3

-10.4Test

-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function

--Video 10.4

-10.5Test

-10.5C0 element and C1 element

--Video 10.5

-10.6 Test

-10.6 Patch test of element

--Video 10.6

-10.7 Test

-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis

--Video 10.7

-10.8Test

-10.8 Error and average processing of element stress calculation result

--Video 10.8

-10.9 Test

-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method

--Video 10.9

-Discussion

--Discussion

11、High-order and complex element

-11.1 Test

-11.1 1D high-order element

--Video 11.1

-11.2 Test

-11.2 2D high-order element

--Video 11.2

-11.3 Test

-11.3 3D high-order element

--Video 11.3

-11.4 Test

-11.4 Bending plate element based on thin plate theory

--Video 11.4

-11.5 Test

-11.5 Sub-structure and super-element

--Video 11.5

12、Introduction to the application of finite element analysis (1)

-12.1Test

-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle

--Video 12.1

-12.2 Test

-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration

--Video 12.2

-12.3 Test

-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle

--Video 12.3

-12.4 Test

-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations

--Video 12.4

-Discussion

--Discussion

13、Introduction to the application field of finite element analysis (2)

-13.1 Test

-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle

--Video 13.1

-13.2 Test

-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer

--Video 13.2

-13.3 Test

-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle

--Video 13.3

-13.4 Test

-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation

--Video 13.4

-Discussion

--Discussion

14、Project

-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate

--Video I-1

-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck

--Video I-2

-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge

--Video I-3

-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur

--Video I-4

-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process

--Video I-5

-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure

--Video I-6

-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame

--Video I-7

-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem

--Video I-8

Video 5.3笔记与讨论

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