当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body > 5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam > Video 5.4
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频课程列表
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频列表
能量原理主要包含虚功原理还有最小势能原理
我们下面先讲解一下虚功原理
虚功原理里最主要的概念就是虚位移
那么我们假定有一个平衡的杠杆的力系
在a点作用有PA
在b点作用有PB
那么它又是平衡的
所以它有一个力矩的平衡
那么这个方程就是
这是平衡方程
假定我们这个杠杆的平衡力系有一个微小的扰动
这个扰动假定是微小的
它不影响整个的平衡
所以说它要满足一个几何方程
这个几何方程就是
也就是说它是一个几何协调的一个关系
这样才满足平衡
那么我们称任意扰动的位移
所满足平衡条件的这些位移成为许可位移
我们把这个条件，也就是这个几何方程
称为许可位移的条件
我们把满足许可位移条件的任意微小位移称为虚位移
当然这个虚位移是一个假想的
我们把平衡方程和由于微小扰动引起的几何方程把它代入
也就是说把lB和lA代掉，我们就得到
那么我们分析一下这两项
第一项是
这一点呢就是我们都知道，功是力乘上位移
由于位移是假想的虚位移
所以我们称这点力在位移上所做的功称为A点的虚功
那么在B点，同样PB也是有一个位移
这个位移是ΔB
那么我们可以看，这个时候的ΔB是向上的
这个力FB是向下的
所以说我们B点的虚功就是
那么这个方程我们就可以理解为
对于一个处于平衡状态的体系
当作用有满足许可位移条件的虚位移时
系统上的所有虚功总和恒为零
那对于弹性体，我们弹性力学里面
我们同样引入虚位移和虚功的概念
那么我们知道变形体上的受力状态有外力、内力
内力实际上就是应力
那么假定也有一个微小的扰动
这个扰动同样会引起
我们把这个扰动叫虚位移
由于虚位移引起外力所做的功我们叫外力虚功δW
同样，整个系统的内力也要做功
当然这也是在虚位移作用下的虚功
我们把内力虚功叫-δU
这个δU实际上就是虚应变能
由于它是内力也就是应力，在变形体内部
所以它是弹性体在变形过程中克服变形所产生的
所以它的方向总与变形的方向相反
所以说内力虚功是取为负
那么我们由虚功原理，虚功总和为零
也就是说δW-δU=0
那么我们把它移项得δU=δW
那么左边这一项δU就是虚应变能
右边这一项叫虚外力功，也叫外力虚功
那么我们以梁的弯曲问题
简支梁问题为例
我们用虚功原理来进行求解
同样，这是控制方程，这是边界条件BC(u) BC(p)
和前面的加权残值法一样
我们设试函数，基底函数是
待定系数是c1
我们可以验证，这个位移它是满足边界条件的
我们称为许可位移
我们对待定系数c1进行一个微小的变化
那么由此引起的整个的挠度也有一个微小的变化
那么这个就叫作虚位移场
对于简支梁，我们要算一下它的虚应变能
虚应变能的计算是内力，也叫应力
乘上应变，当然这个应变是虚应变
是由于虚位移引起的
我们对整个几何域进行积分
这样我们就可以得到虚应变能
那么我们把应力和应变
我们通过粱的弯曲问题的几何方程乘上一个弹性模量
这个就是物理方程
我们来计算它的应力和应变
注意，我们这个地方由于是虚应变
所以虚应变一定要作用于虚的挠度上面
所以δ要作用在挠度上
我们进行积分计算
我们把对于横截面的这个积分定义为I
它就是我们梁的横截面的截面的惯性矩
那么剩下这些呢对于0到l进行积分
我们最后算出来的积分就得到
前面是系数
另外就是关于c1，还有一个δc1
也就是刚才提到的由于虚位移引起的待定系数的微小变化
那么简支梁的外力虚功δW
同样，这个外力是均匀的分布力P0，挠度是v
虚位移是在v前面加一个δ，也就是说它有一个微小变化
同样我们把前面设定的v这个函数代进来以后进行积分
就得到这个系数乘上一个δc1
这个δc1也是系数的微小变化
由虚功原理δU=δW
也就是说虚应变能等于虚外力功
那么我们把前面计算得到的结果代入
我们就得到这么一个方程
这个方程由于两边都有δc1
我们把它提出来，这样我们就得到这个方程等于零
大家注意一下，δc1刚才说了
它是虚位移引起的待定系数的微小变化
由于是虚位移，它具有任意性
也就是说它不恒为零
所以说要使得这个式子恒为零
只有让前面这个系数项恒为零
由此我们可以得到这么一个方程
由这个方程解出c1等于这么一些系数
我们把这个c1代到我们设定的位移模式中间
就可以求出满足虚功原理的位移
我们就得到这个解
我们可看出这个结果，得到的这个系数c1
它和前面Galerkin方法得到的结果是一样的
主要原因是我们取了相同的基底函数
从这个过程就可以看出
虚功原理和加权残值法也是类似的
只是在试函数的范围内寻找最好的解
都是基于这么一个原理
当然由于取的这个基底函数不一定是精确的
所以说这个结果一般来说也不是精确的
所以这个精度主要是取决于事先所假定的位移的模式
也就是试函数
如果事先假定的试函数模式中包含有精确解的基底
那么由虚功原理求得的解一定是精确的，也就是解析解
所以对于试函数的选取是个关键
试函数直接影响我们的求解精度
那么我们用最小势能原理来求解一下简支梁的问题
同样我们设有满足位移边界条件的许可位移场v(x)
那么最小势能原理呢它是要计算一个总势能
总势能等于应变能减外力功
其中的应变能是U等于1/2应力乘应变
在定义域里积分
外力功呢对于我们这个梁的弯曲问题
我们是均布载荷，那就是P0乘上一个我们所设定的挠度
同样在这个力的分布范围内进行一个积分，这是外力功
那势能等于这两个部分，就是说应变能减外力功
那最小势能原理就是说
我们在所设定的许可位移场中间
也就是说v(x)上面带一个三角
真实的解使得系统的势能取极小值
那么我们具体对受均布载荷的简支梁
用最小势能原理来进行求解
同样这是控制方程，这是边界条件BC(u) BC(p)
我们取两项试函数
同样c1,c2是待定系数
那么我们首先计算这个简支梁系统的应变能
应变能等于1/2应力乘应变，在整个域积分
那么我们前面已经得到应力和应变
都可以表达成挠度的二阶导数
应力乘应变，所以它有一个平方
那么我们把前面所设定的试函数
这两项都把它代进来，我们来作积分
最后作出来是关于c1和c2的平方项的
这么一个应变能的表达
同样我们来计算外力功
我们把试函数代进来再乘上一个P0
同样我们来作这个积分
也得到一个关于c1和c2的表达
那么系统的总势能Π
是等于应变能减外力功
我们把前面算出来的应变能和外力功代到总势能里
为了使得系统的势能取极小值
所以我们对c1和c2分别求偏导
让一阶导数等于0
这样的话我们就等到关于c1和c2的方程组
分别解出c1和c2这两个系数
再代到我们的挠度函数，也就是试函数里去
我们就得到最后的这个结果
那么这个结果和虚功原理求出的结果实际上是相同的
这也是因为我们两种方法都取了相同的试函数
那么这个求解方法呢
也就是说最小势能原理的求解方法也叫瑞利-里兹方法
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
