当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body > 5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending > Video 5.5
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我们对最小势能原理和虚功原理要进行一个证明
证明过程实际上要用到变分的一些基本的知识
我们还是以梁的弯曲问题为例，这么一个简支梁
控制方程，这是关于挠度的四阶导数
同样BC(u)和BC(p)
我们把这个三个方程分别标为
控制方程我们叫1号方程
BC(u)我们叫2号，BC(p)我们叫3号
我们能量原理呢，不管是虚功原理还是最小势能原理
首先要设定满足BC(u)也就是位移边界条件的许可位移场
那么这个试函数满足BC(u)也就是方程2
当然只需要两阶导数就可以了
那么由能量原理的虚功原理，就是δU=δW
最小势能原理就是系统的势能
也就是应变能减外力功，让它取极值
这个能量原理，我们可以看看
也就是说我们在满足边界条件
也就是说表达示2的基础上
通过虚功原理和最小势能原理来进行求解
那么我们就得问
原来的问题的控制方程，也就是方程1和BC(p)
我们的表达示3
这两个条件和我们虚功原理或者最小势能原理是什么关系
因为我们整个原问题应该是说
在满足边界条件也就是说2和3的基础上求控制方程1
我们能量原理有这么一个问号
就是关于1和3与我们虚功原理和最小势能原理有什么关系
我们看看加权残值法
加权残值法首先是试函数要满足BC(u)和BC(p)
也就是说前面所提到的条件2和3都要先满足了
那么加权残值法是处理残值函数
比如Galerkin方法就是让残值函数对基底函数加权后等于零
它相当于是间接针对控制方程1进行处理
也就是说使得对原控制方程误差最小，有一个逼近
那么我们下面要证明一下
最小势能原理，刚才提到的
我们已经满足了BC(u)
也就是说许可位移场满足位移边界条件
那么系统的的势能最小和原控制方程1及原边界条件3
也就是BC(p)，它是一个什么关系
那么我们要证明
使得这个系统最小能不能等价于方程1和方程3
我们这个证明过程实际上就是数学的变分过程
那么我们具体推导一下
设有许可位移场v(x)它满足BC(u)
那么我们最小势能原理就是说
真实的一组，也就是说它真实的解使得以下的泛函
也就是说我们定义的势能取最小
为什么叫泛函呢
实际上泛函就是一个复合函数
也就是说它是关于挠度的函数
当然挠度又是关于坐标x的函数
我们主要是要求关于挠度函数
怎么确定出挠度函数使得这个系统的Π
也就是说我们的势能取最小
具体我们推导一下求极值的过程
这个势能是关于v(x)的函数
我们对它求极值实际上是对泛函求变分的过程
这个变分实际上就是一个复合函数求导的过程
我们把势能表达成挠度的函数
它实际上是关于挠度的二阶导数
由于势能是由应力乘应变
所以它一定有一个平方的关系
对它求v的一阶的增量，也就是说变分
那么就可以得到这么一个表达
那么外力功一样，我们对挠度求变分
我们就得到这样的表达
对右端的第一项我们分别用两次分部积分
那么我们就可以得到这么一个表达
那么这第一项，我们就可以看看
前面这个EI关于v的两阶导数
它实际上是我们的弯矩
所以它是0和l关于弯矩的
要乘上一个相应的变分的端点条件的这么一个值
这个三阶导数乘上EI我们前面已经推导过
它实际上是剪力，我们用Q来表达
后面这一项我们就直接放在这儿
我们把右端项的第一式
刚才两次分部积分的结果呢代到
我们对势能的一阶变分里面去
最后我们就得到这么一个结果
前面四项我们前面已经说了
那么这一项呢就多了一个分布力P这么一项
由于我们是许可位移场
也就是说我们的位移是满足位移边界条件的
位移边界条件在我们这个问题里面
左端点和右端点是固定的
那么它由于是已经满足了
所以说关于位移边界条件它的虚位移
也就是说它的变分或者说它的微小的变化也是等于0
应该说是没有变化
所以这两项就自然为0
这两项为0，我们就得到这两项，写下来
然后这还有一项关于0到l积分的这么一项
那么由变分方法，也就是最小势能原理
对泛函Π要取极值，也就是令δΠ=0
那么我们前面得到的这个式子要等于零
由于挠度的一阶导数，它的变分
这一项不恒为零
那同样，在右端点x=l的时候
它的一阶导数，也就是变分，也不恒为零
所以要使得前面第一项恒为零
那M一定要恒为零
第二项要恒为零，M一定要等于零
同样，这第三项它是关于0到l积分的这么一项
要使得它恒为零
同样δv它也是不恒为零
所以只有里面中间这一项要为零
那么这三项为零我们写出来
前两项实际上就是BC(p)
也就是说左端点x=0，右端点x=l
它的弯矩要为零
那么第三项要为零呢
就是在0到l这个区间域里它要为零
这实际上就是我们的平衡方程也就是控制方程
那进一步，我们对势能泛函做两次变分
实际上就是做广义的复合函数的求两次导数
那么求了以后，我们发现
E大家知道是弹性模量
I是惯性矩，它始终是为正的
再加上这个平方项，平方项的积分也为零
所以这个两次变分，它是大于零的
由此我们所确定的这个试函数
使得泛函Π可以取极小值
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
