当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body > 5.6 The general energy principle of elastic problem > Video 5.6
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一般弹性问题的能量原理
同样也是，主要是两个
一个是虚功原理，一个是最小势能原理
那么我们首先介绍一下一般弹性问题的虚功原理
虚功原理呢，同样也是
对于处于平衡状态的变形体
当有一个满足位移边界条件的微小虚位移的时候
外力所做的总虚功等于物体内的总虚应变能
那么我们表达就是δW-δU=0
或者是δU=δW
那么我们具体来稍微推导一下
设我们有满足位移边界条件BC(u)的许可位移场ui
那么它的虚位移也就是说有一个微小的变化
也就是增量，叫δui
由于δui引起的应变，我们称为虚应变
这是由几何方程来确定的
那么在虚应变上，由虚应力所做的功
我们叫虚应变能
那么在外力，我们有两类外力
一个是体积力bi
那么它所做的虚功，也就是说乘上一个δui
在体积域上做积分
另外还有一类的力就是分布力pi
那么pi同样乘上一个虚位移δui
那么在外力所作用的这个面上进行积分
把这两部分加起来就是外力虚功
那δU=δW，也就是说虚应变能等于虚外力功
那么我们表达成这个表达式
那么对于最小势能原理
同样也是满足BC(u)的许可位移场ui
那么真实的解使得该系统的势能取极小值
也就是说使得这个系统的势能取极小
那么势能怎么表达的呢
它等于应变能减外力功
那么应变能它又等于1/2应力乘应变，对整个域积分
那么外力功也是一样的
体积力乘上位移，面积力乘上位移
那么最小势能原理，我们写成一个紧凑的形式就是
那么我们这个地方要看一看
这个应变能给大家写了一个式子是1/2应力乘应变
注意一下下标，ij分别是自由指标，分别变1,2,3
对于三维问题，它有很多项
那么关于它的计算原理，我们稍微给大家讲解一下
应变能，我们看看一点的应力状态
我们独立的应变分量有
对应的应力分量
我们看看应力和应变这两个对应
从本质上分就是两类
一个是对应于正应力和正应变的
一个是对应着剪应力和剪应变
我们看看在这个状态下它由于变形引起的变形能是什么
我们怎么计算
那么我们从第一类，正应力和正应变
我们来进行分析一下
假定我们分析一组σxx，εxx
我们取出这个微元体，同样是dxdydz
那么我们看看，在x方向作用σxx
我们乘上它所作用的这个面
我们就得到一个合力，这个合力叫F
那么这个F就等于应力乘上这个作用面的面积
那么再看看它被拉长的这个位移
这个位移我们叫Δu
Δu就等于x方向的相对伸长量εxx乘上它的原长dx
就是它的绝对伸长量
那么力乘上绝对伸长量，这就是它做的功
由于这个做的功是从零开始到最大
它是一个线性变化的
所以真实的功是只有一半
所以它是1/2力乘上位移
那么这样出来的结果就是
这是关于一组正应力σxx，εxx
所产生的微体上的应变能也叫形变能
那么我们看看，对另外一组
我们叫剪应力和剪应变τxy和γxy
我们来分析一下
那剪应变呢，它要产生剪切的角度
也就是说它形状的改变就是角度的改变
我们把这个剪应力分成两组
一个是上下的一组，一个是左右的一组
那么上下的一组，我们可以看见
它由于错动，产生一个角度β
这个β角引起的上边的伸长量就等于偏u偏y乘dy
也就是说原来我们在定义应变的时候那个β角
那么同样，左右这一组，右边往上错动
那产生一个α角，这个α角的计算
同样也是偏v偏x dx
那么我们把这两个加起来
就得到剪应力和剪应变产生的微体上的形变能
同样它也是从零变到最大，所以也有1/2的关系
那我们把上下这一组，把τxy乘上它作用面的面积
把它变成一个合力乘上它错动的量
同样，左右这个呢
我们把右边这个τyz乘上它作用的这个面的面积
就成为一个合力
那这个时候再乘上它所移动的距离Δv
我们把这两项加起来
加起来后我们就得到
由于τxy和τyx这两个值是相同的
所以我们把这两项提出来
那这里面就是偏u偏y，偏v偏x，乘上dxdydz
那么这一项，大家都知道，就是γxy
所以说它最后结果是
那么我们同样对于其它正应力和正应变
以及其它的剪应力和剪应变分别进行类似的计算
我们把它合到一块，我们就得到
这就是应变能的计算公式
好了，我们要对最小势能原理或者虚功原理
同样也要证明它和原始的变量和方程的对应关系
我们简单回顾一下我们一般弹性问题的描述
那么这是一个任意形状的变形体
当然这个变形体是已知的，我们有Ω
Ω上面作用了体积力
那么Ω的表面，也就是说偏Ω有Su和Sp组成
Su上面有我们施加的位移的边界条件
也就是说给定的位移
我们在Sp上面作用有分布力pi，这个也是给定的
那么这是一个给定的已知的变形体
我们的目的是要获取它任意一个位置上
三大类变量ui,σij,εij
那么这三大类变量需要由三大类方程来进行求解
我们把平衡方程称为1
几何方程称为2
物理方程我们有两个表达
一个是εij表达成σkl
那么σij同样也可以表达成εkl
我们把这个物理方程称为方程3
那同样两类边界条件
我们位移边界条件Su，我们叫关系4
Sp上面的力的边界条件我们叫关系5
那么我们最小势能原理就是
设定许可位移场ui满足BC(u)
真实的解使得势能取极小值
也就是说刚才我们定义的势能泛函等于应变能减外力功
应变能是这样计算的，外力功是这样的
那么实际上就是说，我们已经满足了关系4
关系4就是BC(u)
那么我们应用方程2和方程3
也就是说把应力和应变表达成位移
也就是说这两个方程都是满足的
那么我们需要证明的就是方程1和关系5
也就是说平衡方程和力的边界条件
那么我们下面这个证明过程也是和前面梁的弯曲问题类似
它也是一个变分的过程
那首先我们把这个势能泛函称为复合函数
它是关于应力和应变以及位移的函数
我们把应力和应变都表达成位移的函数
那么我们把应力首先用物理方程代入
那这样我们就得到系统的势能泛函
那这边这个应变能是关于应变的
大家可以看，它是两项
那这是关于位移的
那么我们要关于试函数
也就是关于位移要求它的增量变化
也就是求变分，而且要求极值
我们先求变分
由于这个应变，它也是关于试函数的函数
所以要对它进行求，也要对位移进行求
那么对应变先求一下
原来相当于是两次项
就变成一次，再乘上一个增量项
那么关于位移的这部分呢就直接求一阶导数过后
这个增量项就直接作用在位移上面
我们再用物理方程把前面这一项写成应力的关系
也就是σij就得到了势能泛函关于增量的表达
也就是说势能泛函变分的表达
那么我们对上面这个表达式的
右端项的第一项进行一些处理和简化
我们看一下，也就是说我们要计算σij乘上应变的增量
这个增量实际上就是虚应变
那么我们首先把虚应变表达成虚位移的关系
也就是说用几何方程把它代进来
代进来以后，σij分别要作用在这两项上
那么我们看一看
由于σij是等于σji，它是对称的
所以它分别乘进去以后，这两项是相等的
那么这两项就可以合到一块，这个1/2就没有了
就变成这一项
那么这一项，我们用高斯-格林公式
我们前面在梁的弯曲问题里面
我们在证明最小势能原理的时候
这个变分过程中间，用了两次分部积分
因为它是一维问题，所以我们叫分部积分
对于二维问题和三维问题
类似的分部积分就叫作高斯-格林公式
高斯-格林公式的具体表达是这样的
比如一个u函数乘上一个v函数关于xi的偏导
它可以写成v乘上u再乘上这个定义域表面的方向余弦
再减去v函数乘上u关于xi的偏导
它相当于把这个偏导转移了，作了一个转移
所谓分部积分就是让这个偏导进行转移
那么我们用高斯-格林公式就可以得到这两项
我们把得到的σij乘上δεij
用高斯-格林公式得到的这个表达代入到势能泛函的增量中间
把这第一项代掉
代掉以后，我们就得到这么一个表达
注意，这个就是我们定义域的表面
这个表面是由Sp和Su组成
所以说它要写成两项
由于在Su上面，它已经满足边界条件
所以说它的增量应该也是为零
这虽然是两项，它就变成只在Sp上面这么一项表达
把这一项放进来，再把后面这两项合到一块
我们把上面这个变分过程最后就写成这么一个表达
由最小势能原理让势能泛函取极值
那么我们让前面得到的这个δП等于0
我们看看，这第一项是关于定义域Ω上的积分
第二项是关于Sp，也就是说力的边界上的积分
这两项是不同的定义域
也就是说这两项加起来等于零
那么就要求每一项均为零
我们看看第一项
第一项里面的δui
这是我们试函数的增量，也就是试函数的变分
它具有任意性，它不恒为零
所以要使得这一项恒为零
那就必然要使得前面这一项为零
那这一项我们就得到
后面这一项一样，δui不恒为零
那么前面这一项要恒为零
所以我们就得到
那么我们进一步看看
由于我们的弹性系数矩阵或者是张量是正定的
所以进一步得到的这个泛函П的二次变分
也就是说两阶的增量关系它是恒大于零的
所以说我们试函数可以使得势能泛函取极小值
那么我们看看这两个方程
第一个方程实际上就是我们前面所需要证明的平衡关系
也就是说平衡方程
第二项也是我们所想要证明的力的边界条件
也就是说BC(p)
我们再作进一步的讨论
第一个讨论就是我们要考查一下
最小势能原理和虚功原理之间是什么关系
前面实际上最小势能原理的证明过程就是我们的变分过程
我们看看前面得到的一个（c）式
我们把这个（c）式写出来是这样的
如果在这种情况下我们让势能泛函取极值
也就是说让δП=0，这一项它等于0
那这个时候我们再把这两项移到右边去
我们就可以看看
左边这一项就是δU，也就是说它就是虚应变能
右边这一项就是外力，包括体积力和面积力
它在虚位移上面所做的功
所以它是δW，这一项就是虚外力功
由此可以看出来，最小势能原理和虚功原理完全是等价的
只是在表达方式上有所不同
我们第二个讨论呢，我们看看
在势能泛函取极值的时候，也就是δП=0
就是这个表达式等于零的时候，我们看一看
由于这一项就是我们的平衡方程
我们把它看成一个控制方程
这一项呢实际上就是力的边界条件
它也是我们前面所提到的BC(p)
这两项δui我们实际上可以把它看成权函数
也许可能要问这不是我们试函数的增量项么
那么我们看一看
假定我们这个试函数取为c乘上一个φ(x,y)
这个φ是基底函数
我们对它取增量，也就是取变分
给它加了一个δu
那么我们的增量就作用在我们的待定系数上，即δc
大家可以看看，我们把δu(x,y)等于δc乘上一个基底函数
我们把它代进去
那δc它是不恒为零，是可以去掉的
所以剩下的就是这个φ(x,y)
这个φ(x,y)实际上就是权函数，就是基底函数
所以我们就可以认为这一项就是
加权函数里面的权函数，就是基底函数
所以说可以看出来，这个方程就是
针对控制方程、平衡关系以及力的边界条件
加权残值意义下等于零这么一个表达
那么可以看出来，前面的这些关系
应变能、外力功都是经过了高斯-格林积分
也就是说进行分部积分处理以后得到的这么一个表达
那么这个表达就是针对
控制方程和力的边界条件的一个加权残值意义下的逼近
所以说最小势能原理和加权残值法
它实际上在经过分部积分处理以后它是等价的
那最后我们把基于试函数方法
主要是能量原理进行一个简单的汇总
首先这个原始问题的描述，刚才已经提到了
我们给定的Ω，在Ω上面作用有体积力
Ω的表面Su,Sp
Su上面有给定的位移，Sp上面有给定的分布力
我们的目标是获取三大类变量
在Ω中间任何一个位置上的三大类变量
那么我们实际上是通过三大类方程来获取这三大类变量
那么我们能量原理呢
最小势能原理实际上就是假定有许可位移场满足BC(u)
那么真实的解来求一个泛函极值
也就是说让应变能减外力功
这么一个泛函极值取极小的试函数
或者是许可位移场
就是我们的解
对于虚功原理也一样
对于许可位移场，真实的解使得虚应变能等于虚外力功
那么我们表达成这么一个表达
能量原理的特点就是
它是满足几何方程2，物理方程3，还有关系式4
也就是说BC(u)
在满足这三个条件的基础上对方程1
也就是说平衡关系以及力的边界条件5
对1和5进行一个加权残值意义下的逼近
实际上是这么一个数学逻辑关系
那么特点就是要取基于全域的试函数
也就是说基于BC(u)的试函数
同时我们对试函数的导数的要求
前面我们已经看到了
它是与Galerkin方法和其它的加权残值法来说
它对试函数导数的要求降低到一半
同学们，这一讲的内容就是这些
我们下一讲再见
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
