当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 7、Finite element analysis of bar and beam structures > 7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure > Video 7.6
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下面对门型框架结构的有限元分析
给出完整的有限元的计算的流程
我们看一下
这是一个门型的框架结构
三个梁，我们分两个垂直梁，上面一个横梁
横梁上面作用一个均布载荷
我们把这个节点分为
1号节点、2号节点、3号节点、4号节点
在1号节点还作用有水平方向的力
3号节点和4号节点是固定的
结构的参数有
弹性模量、惯性矩、横截面面积
这三个梁都一样
首先对这个结构进行离散化和编号
我们对这个门型结构
首先把最上面这个分为①号单元
左边这个是②号单元，右边这个是③号单元
那么①号单元对应的节点编号是1、2
②号单元是3、1
③号单元是对应着4、2
首先我们对①号单元，由于它是分布力
我们把这个分布力作一个等效
按照我们上一个知识点所讲的
我们可以分别得到1号节点、2号节点
y方向的等效力和它的力矩
这样我们就可以来看看节点的位移列阵
它是一个由4个节点组成的
每一个节点3个自由度
所以它是由12个自由度组成的一个位移列阵
分别是u1,v1,θ1一直到u4,v4,θ4
对于节点外载荷列阵
我们把刚才的分布力已经等效到节点上
所以我们这样列出来就是
1号节点它有x方向的力、y方向的力还有一个力矩
2号节点同样也是这样的，我们列出来
那3号节点、4号节点
因为它是约束，所以没有外力
但我们还有一个支反力的列阵
我们全部把它列出来
当然1号节点、2号节点肯定没有支反力
那3号节点、4号节点分别有x方向和y方向的支反力
还有转角，也就是力矩
那这样的话我们就有6个支反力
我们把节点的外载和支反力合到一块
写一个总的节点载荷列阵
列出来就是这样的
下面对各个单元进行描述
单元①局部坐标和整体坐标是一致的
它的刚度矩阵是一个6X6的
因为它是一般平面问题的梁单元
我们查询一下前面梁单元的刚度矩阵的一些元素
那么我们分别算出来
②号单元和③号单元实际上情况相同
它们都是垂直的，只是节点编号不同
所以它的局部坐标系下的单元刚度矩阵也是一个6X6的
它们的各个元素都是相同的
坐标转换矩阵
由于它是垂直的一般的梁单元
所以我们把②号单元和③号单元的方向余弦分别来做一做
我们把这个6X6的转换阵也写出来
那么对②号单元和③号单元
我们分别前乘一个坐标转换阵的转置
后乘一个坐标转换阵
这样得到的是在整体坐标系下的②号单元和③号单元
各个矩阵里面的元素的系数
但是要注意，对于单元②
它对应的节点位移是u3,v3,θ3,u1,v1,θ1
对于单元③来说
它是对应着u4,v4,θ4,u2,v2,θ2
也就说它的节点是不相同的，元素是相同的
我们把这三个单元进行组装
就可以得到整体的刚度方程
那么我们得到的刚度方程是
其中总体刚度阵分别由三个单元的刚度阵进行组装
对于节点位移实际上也是由三个单元的节点位移
把它写成一个总的
虽然我们表达成一个Σ的关系
实际上写成一个总的
对于总体坐标系下的所有的节点的载荷
包括施加的外力和支反力
同样我们也把它写成一个总的
装好以后的总的刚度方程
我们在这个基础上要处理边界条件
我们看一下这个结构
节点3和节点4它是固定的
也就是说u3,v3,θ3以及u4,v4,θ4
是等于0的
那么对应着总体刚度阵的
这几个自由度的行和列我们把它划掉
剩下的就是我们处理边界条件以后的刚度方程
这个时候得到的刚度方程就是这样的
这个节点位移是
节点1是u1,v1,θ1
节点2是u2,v2,θ2
所有的这些载荷都是所施加的外载荷
所有的支反力都和刚才的位移边界条件约束对应的地方
都已经去掉了
我们先求这个节点位移
我们求出来后就得到了u1,v1,θ1,u2,v2,θ2
相应的这些值
按照我们前面的流程
这个时候我们就可以求支反力
还可以求单元的其它物理量
那么这个地方我们省略
基于MATLAB编程
我们对这个门型框架结构进行分析
同样，节点的离散化和编号也和前面一样
各个单元的描述
我们在MATLAB环境下
需要输入弹性模量、横截面面积、惯性矩、长度
由于单元②和单元③的刚度矩阵相同
所以我们针对单元①，还有单元②和单元③
分别调用两次Stiffness来计算单元的刚度阵
那么每个单元的刚度阵都是6X6的
分别计为K1和K2
这是MATLAB窗口的输入和输出情况
这是弹性模量、这是惯性矩、横截面面积、长度
然后调用两次，k1、k2，这样得到的刚度矩阵
那么我们还需要对单元②和单元③进行一个转换
把它转成整体坐标下的形式
这样我们来组装整体刚度方程
由于这个结构一共有4个节点
总的自由度是12个
所以我们要构建的总的刚度矩阵KK是12X12的
我们首先对KK进行清零
然后3次调用Assembly进行刚度矩阵的组装
那么我们看看，这个T是坐标转换矩阵
我们对k2前乘一个T矩阵的转置
后乘一个T矩阵，就得到k3
那么我们对总的刚度矩阵，12X12的先清零
然后对k1调用一次
因为k3是单元②和单元③相同的刚度阵
所以我们对k3分别调用两次
但是它的组装的位置有所不同
这样就得到组装以后的刚度阵12X12的情况
边界条件是3号节点和4号节点固定
也就是相应的x,y方向还有转角都为0
我们只要针对1号节点和2号节点的自由度进行求解
我们从总体刚度矩阵里的前6列和前6行
我们把它取出来
取出来后置给k
然后再生成对应的载荷列阵
采用高斯消元法进行求解
那么我们看一看
首先这个总体刚度阵的kk
我们把它前6行和前6列取出来
取到k里面
同样我们生成一个载荷的矩阵
然后对取出来的这个k矩阵
进行高斯消元法
就是k\p
这就是对k矩阵进行高斯消元
最后我们得到的u就得到了节点的位移
将前面得到的1号节点和2号节点的节点位移
以及3号节点和4号节点为0的情况
也就是说它们是固定的BC(u)的情况
我们把它写到一块，写成12X1的
再代回原来的整体刚度方程
这样算出来就是所有力的节点力
也就是P（12X1）的
这样我们计算的结果就是这样的
我们就可以按照总节点位移和支反力对应的关系
也就是说在哪个位置就可以找到我们支反力的情况
在下一个知识点
我们将基于ANSYS平台
对于门型框架结构进行一个分析
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
