当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 8、Finite element analysis of continuum structure (1) > 8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming > Video 8.2
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平面4节点矩形单元
首先进行节点的描述
我们看一下这个单元
我们把这个矩形单元规范化
它的长度2a，宽度是2b
我们把坐标建到这个单元的中间
这样我们也可以用一个无量纲的参数
这样我们这4个节点的几何节点的坐标
就可以直接给出数来
比如1号节点就是ξ1=1，η1=1
这是无量纲的表达
2号节点分别是-1，1
3号节点是-1，-1
4号节点是1，-1
对于节点位移来说
每一个节点有两个位移分量
也就是u和v
所以说4个节点
分别有2X4，就是8个自由度
那么它就组成一个8X1的节点位移列阵
那对应着这些节点位移，同样我们也有节点力的列阵
单元上的场的描述
同样也是三大类变量的场描述
我们的目标是把所有三大类变量都要表达成
基于节点位移q的描述
对于位移场，首先一样
我们把节点位移分成两类
一个是x方向，一个y方向
我们4个节点，所以分别有4个待定系数
一共是8个待定系数
那么同样从低阶到高阶，唯一性确定原则
这8个待定系数分别由4个节点的8个节点条件
就是x方向、y方向分别等于对应的节点位移
可以分别求出这8个待定系数
把这8个待定系数表达成
节点位移u1,v1一直到u4,v4的表达
重写位移场的函数
我们可以把x方向的位移场函数写为
y方向的位移同样也是
上面我们是完全按照节点条件来确定的
其实对于矩形的单元，4个节点
由于它比较规整
所以我们完全可以用插值条件直接写出形状函数
比如对于N1(x,y)
我们看一下，N1(x,y)实际上就是
在N1(x,y)这一点的位置
也就是说在x=a,y=b这个位置
或者说无量纲的参数ξ=1，η=1这个位置
其它的量都为0
只有u1前面这个N1(x,y)要等于1
那么同样对于N2，N3，N4也是这样的
由插值条件我们可以直接写出矩形单元的形状函数矩阵
它的每一个函数
比如N1(x,y)这个函数就等于
对于N2(x,y)，也就是说
针对节点2的形状函数，它等于
我们可以验证一下
这4个形状函数它刚好符合我们节点的插值条件
也就是说x,y坐标在这个节点的位置
它正好等于这个节点的值
而在其它的位置，这个N函数都等于0
我们把位移场的x方向和y方向写成一个矩阵形式
这样我们分别把N1，N2，N3，N4写在前面
把节点位移写在后面
这样就是一个N矩阵2X8的
乘上一个节点位移的列矩阵
或者是叫列向量，8X1的
由几何方程我们可以得到应变场的描述
那几何方程和刚才3节点的三角形单元一样
由于是二维问题
我们也把几何方程写成一个算子矩阵
作用在位移场的这么一个形式
我们再把位移场等于N矩阵乘上一个节点位移
把它代进去
这个算子矩阵就作用在N矩阵上面
所以说就得到一个B矩阵乘上一个节点位移
对于应力场函数我们由物理方程
我们在应变场函数前面乘上一个弹性系数矩阵D
这样就可以得到一个应力函数矩阵S
S就等于D乘上B
由最小势能原理
我们要计算矩形单元的应变能还有外力功
应变能的计算就是
我们也表达成矩阵的形式
外力功也是一样，体积力乘上相应的位移
面积力乘上相应的位移，再积分
我们把三大类变量都表达成基于节点位移的描述
这样我们代入以后
所有的都可以表达成基于节点位移q的表达
这样我们就得到
这个K矩阵就是单元的刚度矩阵
它等于B矩阵的转置乘上D
再乘上B矩阵，对这个单元的几何域进行积分
它是一个8X8的矩阵
对于平面问题
几何域的积分就变成一个面积域再乘上厚度
同样，节点的等效载荷如果是有分布的体积力
还有分布的表面力
同样可以前面乘上一个形状函数矩阵的转置
这样也可以得到一个等效的载荷
由最小势能原理对所构建的应变能减外力功
这么一个势能取极小值
也就是说对qe取一个一阶导数，让它为0
这样我们就可以得到单元的刚度方程，它是
对于所得到的矩形单元的刚度阵，它是8X8的
那么我们具体来计算它的一些系数
那么我们得到的分块的这个kij的系数
这个krs是一个2X2的
它的每一个系数k1,k2,k3,k4分别由
我们4个节点的几何坐标的位置来确定
基于前面平面4节点矩形单元的刚度阵
我们分别计算它的积分
这样就可以得到这个单元刚度阵的8X8的显式表达
这个显式表达具体它是与弹性模量有关
与单元的厚度有关
与我们这个单元的半长a，以及半宽b有关
为什么可以写出显式表达
是因为我们这是矩形单元
它是一个非常规范的单元
每一个几何参数它都是确定的
是由a和b来确定的
所以它就可以表达成a和b这么一个关系
讨论一下平面4节点矩形单元的性质
首先位移场
我们看一下这个位移场4个待定系数确定的函数
它有常数项、一次项，还有一个交叉项
就是xy的交叉项
所以说它的性质是完全的线性项
加上一项交叉项函数
对于应变场，我们把前面的这个位移场函数
代入应变里面，分别进行计算
我们可以得到
我们可以看到，εxx它关于y是一个线性的
关于x不变化
εyy是关于x线性变化
关于y是不变化的
γxy是关于x,y有一个线性变化
这说明我们的应变场为不完全的线性函数
应力场函数实际上和应变场函数类似
它只是前面要乘上一个弹性系数矩阵
简单归纳一下这个单元的性质
第一是位移场完全线性加上交叉项函数
在x,y方向呈线性变化
所以它称为双线性位移模式
应变场和应力场为不完全的线性函数
平面4节点的矩形单元比
3节点的三角形单元的精度要高
矩形单元的几何形状
由于它是一个非常规范和标准的矩形单元
在实际应用中间还应该变换为任意的四边形
这样才具有更好的几何适应的描述
下面给出4节点矩形单元的MATLAB编程
同样，有3个函数分别来计算
刚度矩阵、单元组装，还有应力
对于Stiffness这个函数，它是计算单元的刚度矩阵
需要输入弹性模量、泊松比，还有厚度
需要输入4个节点的坐标
需要输入平面问题性质的指标参数
比如1是平面应力，2是平面应变
它输出单元刚度矩阵k是8X8的
对于Assembly这个函数
它是进行单元刚度矩阵的组装
需要输入单元刚度矩阵k
以及单元的节点编号i,j,m,p
它输出整体刚度矩阵KK
Stress函数它是计算单元的应力
需要输入弹性模量、泊松比、厚度
输入4个节点的坐标
需要输入平面问题性质的指标参数
比如平面应力还是平面应变
还需要输入单元的位移的列阵
它输出的是单元的应力Stress
它是一个3X1的列阵
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
