当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 8、Finite element analysis of continuum structure (1) > 8.3 Axisymmetric element > Video 8.3
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频课程列表
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频列表
轴对称单元是来处理轴对称问题的
实际上轴对称问题是一个三维问题
但是由于轴对称
也就是说它的几何形状、约束条件，还有载荷
它对称于某一个固定的轴
所以使得这个问题大大简化
轴对称问题使用的是柱坐标，也就是r,θ,z
取出来的微小dr,dθ,dz
我们来看一下，这是一个轴对称问题
一个回旋体
它任意一个截面取出来
我们把它划成单元
这个单元很像平面问题里的单元
所以轴对称问题和我们平面问题的单元
有很多相似的地方
我们看看基本变量
轴对称问题的三大类变量
位移，它本来有三个位移分量
也就是说r方向的位移
z方向的位移以及转角的位移uθ
由于是轴对称，所以uθ=0
它非零的变量就是ur和w
对于应变，本来有6个分量
关于θ相关的应变γ都为0
所以它只有4个应变分量
对于应力也是这样的
关于和θ相关的剪切应力都等于0
所以说只留下4个非零的应力分量
我们看看它的平衡方程
平衡方程构建出来是这样的
几何方程是
这三个分量和我们平面问题里的几何方程非常类似
当然它还有一个εθθ，这个没有偏导，它是
这三个带偏导的分量和我们平面问题基本一样
物理方程
它完全按照3D问题的物理方程来的
同样主伸长量还有一个泊松效应
我们看看3节点的三角形轴对称单元
轴对称问题我们画出来
在一个横截面上它是一个3节点的单元
但它实际上是一个环形的单元
因为它对称于z轴
所以它绕z轴要转一圈
一定要注意轴对称单元一定是环形单元
节点变量
我们把一个截面取出来
同样我们3节点问题也有3个节点的坐标叫ri,zi
每一个节点沿着r方向有一个分量
沿着z方向有一个分量
所以一共3个节点6个分量
这样我们写出来的节点位移的分量也是6个
节点力的分量对着我们节点位移的分量
有个对应关系
有了节点的描述，我们来进行位移场的描述
对于3节点的三角形轴对称单元
我们按照r方向和z方向把它分成两组
同样我们分别用三个待定系数进行描述
它的位移模式也是从低阶到高阶
唯一确定性
这样的话一共有6个待定系数
它的位移模式和我们平面问题的三角形单元位移模式
完全一样
同样用节点的插值条件我们可以写出
位移场的描述，我们写成矩阵形式
一样也是一个N矩阵乘上一个节点位移的列向量
对于应变场
我们要用轴对称问题的应变分量的具体的表达
那么它分别对于r方向的位移分量
和z方向的位移分量分别有这么一个算子矩阵的作用
同样我们把算子矩阵作用在位移场的函数上
我们把位移场用前面已经表达的
形状函数矩阵乘上一个节点位移来表达
这样我们就得到了B矩阵乘上一个q矩阵
其中B矩阵就是几何方程的算子矩阵
作用在形状函数矩阵上
我们看一下，这就是一个4X2作用在2X6上面
它是一个4X6的矩阵
对于应力场也是这样的
我们用物理方程
我们应力的分量也是4个
应变的分量也是4个
那么在轴对称问题里面
我们有相应的应力应变关系的弹性系数矩阵
这个D矩阵，它是一个4X4的
同样我们也可以得到基于节点位移描述的
这么一个应力场函数的描述
其中这个S矩阵等于D矩阵乘上一个B矩阵
它叫应力函数矩阵
有了应力、应变还有位移的描述
我们可以来计算这个单元的应变能和外力功
应变能可以表达成
外力功就是
由最小势能原理
我们对单元的势能取极小值
也就是说让П对于我们节点位移取一阶导数
让它等于0，我们就可以得到刚度方程
这个刚度方程是
这个K矩阵是个6X6的
我们看看这个K矩阵等于
对整个环形单元进行积分
我们看看这个环形单元的微小体
它是等于rdθdrdz
对横截面面积，再对一个环形0到2π进行积分
我们对dθ在0到2π进行积分，它就是2π
这样我们就得到
对于横截面的3节点的三角形面积进行积分的这么一个表达
同样，对于单元的等效节点载荷
一样的，本来是一个体积分加一个面积分
那么体积分和面积分我们分别用
轴对称问题环形的这么一个环形体
或者环形的一条线来进行积分
同样也可以得到
对于4节点矩形环形单元
同样，我们取出任意一个截面，它是一个矩形
也是由4个节点组成
这4个节点分别有ri,zi，i分别是1,2,3,4…
同样，每个节点有两个自由度
或者说两个位移分量
一共有8个位移分量
也就是说我们的节点位移是8X1的
对应着节点位移我们有节点力，也是一个8X1的
位移模式，由于是4个节点
所以关于r方向的位移和z方向的位移
分别取4项
从低阶到高阶，一样
我们可以取出关于r和z的完全的线性项
加上一个交叉项
和前面的平面问题的矩形单元完全一样
我们也可以构建出类似的单元刚度方程
那么在轴对称问题的4节点矩形环形单元里
我们看看，单元刚度矩阵是关于dΩ的计算
同样它写成
这个dθ是关于整个环，也就是0到2π进行积分的
所以我们把它写出来就是
关于横截面的环形单元的面积进行积分
对于等效的节点载荷也是这样的
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
