当前课程知识点:Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 9、Finite element analysis of continuum structure (2) > 9.4Numerical integration > Video 9.4
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前面我们讲参数单元的时候
涉及到刚度矩阵的计算
我们再看看,对于平面问题
4节点的等参元,我们看看
在(x,y)坐标系里面,刚度矩阵的计算
它是需要计算ξ,η,偏ξ,偏η
这么一个很复杂的,在(ξ,η)坐标系里面进行一个积分
也就是从-1到1这么一个域的积分
我们具体把4节点等参元的这些关系代进去后
我们就可以得到每一个刚度矩阵里面的元素的具体表达
那么我们看看kij
也就是ij这个位置的元素,我们看看
它是一个
再乘上一个同样也是一个线性函数的表达
这样乘起来再除一个线性函数
这样的话函数就非常复杂
所以这个函数是一个非线性函数
对它在dξdη在-1到1这么进行积分
往往我们要用数值积分
数值积分我们看看一维问题的,也就是
这么一个数值积分
它的基本思想就是用函数本身再乘上一个加权系数
然后把它Σ起来
当然这涉及到用多少个点的函数
同样用多少个点的加权系数来进行组合以后把它Σ起来
这里面涉及到积分的权系数和积分点的位置
最佳数值积分的思想就是
对于f(ξ)这个函数,我们希望构造一个多项式
当然构造的多项式是一个已知的
是比较简单的、已知的
也就是说我们在积分点上要和
原来的复杂的f(ξ)这个函数要相等
在这些点上要相等
那这样的话我们用构造的这个函数来代替原来的f(ξ)
这样我们就对构造的这个ψ(ξ)函数来进行精确积分
关键的技术就是怎么来构造多项式ψ(ξ)
使得对f(ξ)有最好的逼近
比较好的一种方法就叫高斯数值积分
1点高斯积分,我们看看
就是取1个点,就是说ξ1是它的积分点
A1是它的权系数
那么高斯积分怎么来确定ξ1和A1这两个参数
使得这个积分有一个最佳的逼近
我们把f(ξ)这个函数假定从低阶到高阶
比如取最低阶就是常数
另外还可以取一个一次项
对这两种情况使得刚才这个1点高斯积分是一个精确积分
比如我们把f(ξ)取为a0,这是一个常数
在这种情况下,我们来精确计算上面这个积分
左边精确计算这个积分,算出来就是2乘上a0
右边这个我们同样把A1放在这里
把ξ1这一点的位置代进这个函数
它本来是一个常数,所以它也是a0
对第二种情况,也就是取一次项的时候
也就是说取a1ξ的情况
我们对上面这个高斯积分的左端先作一个精确积分
它的精确积分出来就是0
右端我们来看看
这个时候A1这个加权系数放在这
f(ξ1)这个函数在这个位置点的函数
刚才已经说了取的是a1ξ
所以把这个位置点代进去就是a1乘上ξ1
由这两个方程来求a1和ξ1
那我们求出来就是A1=2,ξ1=0
这样我们就得到1点的高斯积分为
它的权系数为2,它的积分点为0
我们看看这个图形,从-1到1积分
假定原来的函数是一个复杂的函数f(x)
现在我们用高斯积分来做
就是取0点的这个函数值再乘上一个2,也就是它的宽度
我们可以看看,相当于用了这么一个矩形的面积
来计算它原来的这个面积
那对于2点的高斯积分
我们取两点,那就是ξ1,ξ2,这是积分点的位置
那分别前面的A1,A2是它的权系数
就是高斯积分公式的系数
那么我们看看,这里面有ξ1,ξ2,还有A1,A2
这4个是我们两点高斯积分中间的4个系数
我们怎么来确定这4个系数
一个是构造刚才所提到的正交多项式
最佳的逼近,这样来做他
这可以参考有关的数值分析的书籍
另外还有一个方法就是直接来构造
来做这个A1,A2和ξ1,ξ2这个系数
怎么来求取
我们用直接法来求取
按照前面的思想
我们要使得这个积分公式
对于从低阶到高阶的多项式是一个精确成立的
那么我们基于这个假定确定A1,A2和ξ1,ξ2
我们分别取
当这个被积函数f(ξ)分别为常数,也就是取1
一次ξ,ξ的平方,ξ的三次方时
使得这个积分是一个精确的
那么我们分别把这4种情况代到这个积分公式
左端我们就把它精确积分出来
右端就把这个函数放进去
分别用高斯积分的公式写出来
这样我们由这4个方程就可以求出
ξ1,ξ2,A1,A2这4个数
前两个数ξ1,ξ2就是积分点的位置
A1,A2就是权系数
这样我们就把两点高斯积分的公式就写成
由于它的权系数是1
所以就写成
这就是2点的高斯积分
对于多点高斯积分
同样,我们假定是n点
n点的位置就是ξ1一直到ξn
对应的权系数就是A1到An
同样怎么确定刚才说的ξ1到ξn以及A1到An这些系数
我们数学手册里可以查询
同样,如果还用刚才直接法来进行构造的话
那它的难度就比较大了
因为它涉及到高次的非线性方程
这个一般很难求出来
那么基于Legendre多项式构造来进行求取
这样就比较简单一些
那么数学手册里面我们可以查出来
分别积分点为1、2、3、4时
积分点的位置及积分的权系数我们都把它列出来
我们需要的时候就可以查询
刚才是一维的高斯积分问题
我们真正要做的时候要用到二维的高斯积分
和三维的高斯积分
我们看看二维的高斯积分
它是关于ξ和η的-1到1的积分
我们把它分别分解成两个方向
也就是说沿着ξ,η分别用相应的高斯积分点来进行积分
那么我们就可以得到i,j从1到n的这么一个点阵的
也就是说平面点阵的高斯积分的这么一个公式
其中高斯积分点ξj和ηi
这就是我们一维高斯积分的积分点
Ai,Aj这两个分别是一维高斯积分的权系数
乘起来过后也就是说我们二维的权系数
对于三维的高斯积分也一样
分别沿着3个方向都按照一维的高斯积分来进行
分别可以得到Am,Aj和Ai这3个方向的权系数
同样在这3个方向也是用高斯积分点ξi,ηj,ζm
同样我们来用一维高斯积分来做
这样我们得到的合成以后的高斯积分点就是
3个方向的一维高斯积分点
前面这个权系数就是这3个方向的权系数相乘
就可以得到三维的高斯积分的权系数
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics:particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem