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Video 10.1课程教案、知识点、字幕

同学们好

首先回顾一下上一讲的主要内容

上一讲我们学习了

空间4节点四面体单元及MATLAB编程

空间8节点正六面体单元及MATLAB编程

参数单元的原理

数值积分

典型空间问题的分析实例

这一讲我们将学习

节点编号与存储带宽

形状函数矩阵与刚度矩阵的性质

边界条件的处理与支反力的计算

位移函数构造与收敛性的要求

C0型单元与C1型单元

单元的拼片试验

有限元分析数值解的精度与性质

单元应力计算结果的误差与平均处理

最后我们将介绍

控制误差和提高精度的h方法和p方法

节点编号与存储带宽

我们首先看一下有限元方法的基本步骤及处理流程

第一步是离散化

也就是把Ω分成很多Ωe

在每一个Ωe里面我们要进行单元研究

也就是要得到单元的刚度方程

在每一个单元的刚度方程得到以后

我们要进行单元的组装

得到整个系统的刚度矩阵

这个单元的刚度矩阵就是各个单元的刚度矩阵

把它加起来

当然单元的节点位移、节点力

同样我们来进行一个组装

第4步就是处理边界条件

处理边界条件也是在我们所组装的单元刚度方程里面

来进行处理

第5步是求支反力

它同样也要用到我们组装过后的单元刚度方程

进行其它力学量的计算

比如要计算应变和应力

也要从整体的单元的刚度方程里面

把相应的信息调用出来

我们看看,整个有限元方法的流程里面

核心就是有一个单元的整体刚度方程

这个方程是通过组装得到的

我们看看组装的过程

这是一个例题,我们看看第i号单元

它的节点是3、5、6号节点

对于二维问题,每个节点两个分量

我们有u3,v3,u5,v5,u6,v6

这个结构一共有8个节点

所以有16个自由度

我们把总体的刚度矩阵表达成16X16的

分别是u1,v1一直排到u8,v8这么一个矩阵

这个i单元的刚度矩阵

它涉及到u3,v3,u5,v5还有u6,v6

我们把它装到这里面来

也就是说这块区域它是我们单元刚度矩阵

把这些元素装进来

我们可以认为它是一个非零元素

这是非零元素的区域

我们看看,由于这个矩阵是一个对称的

我们从对角线算起

我们看看它的半带宽

半带宽它是这个单元节点编号的最大差值

加上1,再乘上2

因为我们这是二维问题

所以每个节点是两个自由度

所以我们这样一算

半带宽是8

也就是说从中心这个位置数到边上一共有8列

这是第i个单元的

那么第i个单元其它的部分相对来说是没有的

不相干的,所以就是0元素

我们把每一个单元的半带宽都算一算

我们看看,第i个单元刚才已经算了

如果是对于三维问题

那么这个λ就要把它变成3

对于二维和三维问题

我们半带宽的计算公式就是这样

那么整个把所有的单元全部进行组装以后

最大的半带宽

那就是从每一个单元的半带宽里挑最大的

这样就得到整个刚度矩阵的最大半带宽d

那么我们需要对这个整体刚度矩阵进行存储

当然你可以把所有自由度的

不管是0还是非0

把这个总刚度矩阵nXn的方阵全部存储起来

这也是个办法

当然有很多非0元素你都要存进去

所以我们为了节省空间

一般采取两种存储方法

一种是等带宽存储

也就是说把二维半带宽非0元素的矩阵

从带宽里把它划出来

虽然这个区域里面也有很多0元素

但是我们把这个区域存出来

我们叫等带宽的存储

另外还有,对于一些0元素

也就是说在半带宽以内还有一些0元素

我们也把它剔除

这个叫一维变带宽的存储

当然你必须定义每一行

它对应的主对角元素定位的辅助数组

也就是从哪一个非0元素的位置开始

其它元素都是0元素

必须要进行一个定位

这样看起来,节点编号对带宽的影响非常大

当然我们简单问题

单元不多、节点不多,所以影响不是太大

当我们的计算规模很大

比如达到几万个甚至几十万个自由度这么一个大矩阵

那么它节约的空间就是相当可观的

以前有学者专门研究

就是整体刚度矩阵的最优的存储方法

那么现在很多软件里面在初始编号以后

还要对带宽进行一个优化

也就是说把节点编号重新进行一个优化计算

使得所得到的带宽尽量小

这样我们的存储量就可以大大降低

Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications课程列表:

0、Course summary

-Finite element, infinite capabilities

--Video

1、Introduction

-1.1 Classification of mechanics:particle、rigid body、deformed body mechanics

--Video 1.1

--1.1 Test

-1.2 Main points for deformed body mechanics

--Video 1.2

--1.2 Test

-1.3 Methods to solve differential equation solving method

--Video 1.3

--1.3 Test

-1.4 Function approximation

--Video 1.4

--1.4 Test

-1.5 Function approximation defined on complex domains

--Video 1.5

--1.5 Test

-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains

--Video 1.6

--1.6 Test

-1.7 History and software of FEM development

--Video 1.7

--1.7 Test

-Discussion

--Discussion

-Homework

2、Finite element method of bar system based on direct stiffness method

-2.1 Principles of mechanic analysis of springs

--Video 2.1

--2.1 Test

-2.2 Comparison between spring element and bar element

--Video 2.2

--2.2 Test

-2.3 Coordinate transformation of bar element

--Video 2.3

--2.3 Test

-2.4 An example of a four-bar structure

--Video 2.4

--2.4 Test

-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure

--Video 2.5

--ANSYS

-Discussion

--Discussion

3、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 1

-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body

--Video 3.1

--3.1 Test

-3.2 Index notation

--Video 3.2

--3.2 Test

-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations

--Video 3.3

--3.3 Test

-3.4 Test

-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem

--Video 3.4

-3.5 Test

-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems

--Video 3.5

-3.6 Test

-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems

--Video 3.6

-3.7 Test

-3.7 Two kinds of boundary conditions

--Video 3.7

- Discussion

-- Discussion

4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2

-4.1 Test

-4.1 Discussion of several special cases

--Video 4.1

-4.2 Test

-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics

--Video 4.2

-4.3 Test

-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending

--Video 4.3

-4.4 Test

-4.4 Complete description of 3D elastic problem

--Video 4.4

-4.5 Test

-4.5 Description and understanding of tensor

--Video 4.5

-Discussion

--Discussion

5、Principle of trial function method for solving mechanical equations of deformed body

-5.1 Test

-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation

--Video 5.1

-5.2 Test

-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method

--Video 5.2

-5.3 Test

-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function

--Video 5.3

-5.4 Test

-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam

--Video 5.4

-5.5 Test

-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending

--Video 5.5

-5.6 Test

-5.6 The general energy principle of elastic problem

--Video 5.6

-Discussion

--Discussion

6、Classic implementation and finite element implementation based on trial function method

-6.1Test

-6.1 Classic method and finite element method based on trial function

--Video 6.1

-6.2 Test

-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method

--Video 6.2

-6.3 Test

-6.3 Basic steps in the finite element method

--Video 6.3

-6.4 Test

-6.4 Comparison of classic method and finite element method

--VIDEO 6.4

-Discussion

--Discussion

7、Finite element analysis of bar and beam structures

-7.1 Test

-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system

--Video 7.1

-7.2 Test

-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste

--Video 7.2

-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system

--Video 7.3

-7.4 Test

-7.4 Beam element coordinate transformation

--Video 7.4

-7.5 Test

-7.5 Treatment of distributed force

--Video 7.5

-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure

--Video 7.6

-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure

--Video 7.7

8、Finite element analysis of continuum structure (1)

-8.1 Test

-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming

--Video 8.1

-8.2 Test

-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming

--Video 8.2

-8.3 Test

-8.3 Axisymmetric element

--Video 8.3

-8.4 Test

-8.4 Treatment of distributed force

--Video 8.4

-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate

--Video 8.5

-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar

--Video 8.6

-Discussion

--Discussion

9、Finite element analysis of continuum structure (2)

-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming

--Video 9.1

-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming

--Video 9.2

-9.3 Principle of the isoparametric element

--Video 9.3

-9.4Test

-9.4Numerical integration

--Video 9.4

-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems

--Video 9.5

-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem

--Video 9.6

-Discussion

--Discussion

10、Basic properties in finite element method

-10.1Test

-10.1Node number and storage bandwidth

--Video 10.1

-10.2Test

-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix

--Video 10.2

-10.3Test

-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces

--Video 10.3

-10.4Test

-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function

--Video 10.4

-10.5Test

-10.5C0 element and C1 element

--Video 10.5

-10.6 Test

-10.6 Patch test of element

--Video 10.6

-10.7 Test

-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis

--Video 10.7

-10.8Test

-10.8 Error and average processing of element stress calculation result

--Video 10.8

-10.9 Test

-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method

--Video 10.9

-Discussion

--Discussion

11、High-order and complex element

-11.1 Test

-11.1 1D high-order element

--Video 11.1

-11.2 Test

-11.2 2D high-order element

--Video 11.2

-11.3 Test

-11.3 3D high-order element

--Video 11.3

-11.4 Test

-11.4 Bending plate element based on thin plate theory

--Video 11.4

-11.5 Test

-11.5 Sub-structure and super-element

--Video 11.5

12、Introduction to the application of finite element analysis (1)

-12.1Test

-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle

--Video 12.1

-12.2 Test

-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration

--Video 12.2

-12.3 Test

-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle

--Video 12.3

-12.4 Test

-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations

--Video 12.4

-Discussion

--Discussion

13、Introduction to the application field of finite element analysis (2)

-13.1 Test

-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle

--Video 13.1

-13.2 Test

-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer

--Video 13.2

-13.3 Test

-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle

--Video 13.3

-13.4 Test

-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation

--Video 13.4

-Discussion

--Discussion

14、Project

-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate

--Video I-1

-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck

--Video I-2

-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge

--Video I-3

-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur

--Video I-4

-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process

--Video I-5

-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure

--Video I-6

-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame

--Video I-7

-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem

--Video I-8

Video 10.1笔记与讨论

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