当前课程知识点：高等数学（上） > 第四章 不定积分 > 4.1 不定积分的概念与性质 > 4.1.1 原函数与不定积分的概念
同学你好
从本讲开始
我们进入第4章
不定积分
今天我们先学习
不定积分的概念和性质
那么我们先介绍原函数的概念
如果在区间I内
可导函数F(X)它的导函数是
f(x)也就是说
对于区间I内任意一个X都有
F(x)导数是f(x)那么函数
F(x)就称为f(x)在区间I上的
一个原函数
比如sin(X)在整个定义域内
那么它的导函数都是cos X
所以 sin(X)就是cos X
一个原函数
再比如
X>0的时候
Ln X导数是X分之1
那么 ln X就是X分之1
在区间0到正无穷内的一个原
函数
那么有了原函数这个定义
我们自然而然有一个问题
什么样的函数
一定存在原函数
那么下面我们介绍
原函数的存在定理
如果函数f(x)在区间I内连续
那么在区间I内
存在可导函数F(x)使得对于I
内任何一个f(x)都有F(x)导数
是f(x)。这个定理其实条件很简单
只要求函数f(x)在区间I内连续
就可以
所以定理我们可以简单叙述成
连续函数一定有原函数
所以原函数
存在的条件是非常简单的
那么有了原函数存在定理
我们思考下面两个问题
第一
原函数是否为一
第二
如果原函数不是唯一的
那么同一个函数的不同原函数
之间
有什么联系
那么刚才我们已经提到了
sin(x)导数是cos(x)所以
sin(x)是cos(x)的一个原
函数
那么根据微分学的知识
sin X加上任意常数
它的导数都是cos X那么sin X+
C 也是cos x原函数
所以同一个函数
它的原函数不是唯一的
而且其中任何一个原函数
加上任意常数
都还是
原来这个函数的原函数
那么所以我们得到下面的结论
第一
如果F(x)导数是f(x)那么
对于任意常数C,F(X)+C 也
都是f(x)原函数
第二
如果F(x)和 G(x) 都是f(x)在
区间I上的原函数
那么一定有
F(x)=G(x)+C C是任意
常数
我们证明一下第二个结论
我们先求一下 F(x) 和 G(x) 他们差的
导数
按照微分学的知识
我们知道
两个函数
差的导数等于
各自导数的差
因为题目条件里面提到了
F(x)和G(X)都是f(x)在区间
I上的原函数
所以 F(x)的导数
和 G(x)导数
都是f(x)而两个f(x)差是0
这样我们就得到
F(x)和G(X)差的导数
横为0
那么根据微分学的知识
我们知道
一个函数在一个区间上
导数横为0
那么这个函数一定是一个常数
所以我们得到
f(x)-G(X)是一个常数
所以F(x)就等于G(X)+C那么
从而证明这个结论
这个结论
我们也可以用语言叙述
那么可以叙述成
同一个函数
它的不同原函数之间
只相差一个常数
这样求原函数的时候
如果知道这个函数的其中一个原
函数
那么在原函数的基础
加上任意常数C那么就可以得到
其他的原函数
这样的原函数
我们称为
这个函数f(x)他的不定积分
那么下面我们给出
不定积分的定义
在区间I内
函数f(x)的
带有任意常数项的原函数
称为f(x)在区间I内的不定
积分
然后我们用这样一个符号
来记它
如果F(x)是f(x)在区间I上
的一个原函数
那么不定积分它的值
等于F(x)+C不定积分这个
符号
是我们新引入的一个符号
我们把其中这个符号里边
每一项的含义
我们介绍一下
左侧
弯曲的这个符号
我们称为积分号
它实际上是 sum那个单词
第一个字母S它的简写
然后把 S进行了拉长
就叫做积分号
然后里边 f(x)那么称为被积
函数
那么f(x)和dx放在一起
称为被积表达式
然后里边变量x称为积分变量
整个
不定积分的值里头
右端是任意常数
那么其中一个原函数
F(x)和C放在一起
其实就构成了函数f(x)全体原
函数
那么它的值
我们就称为这个函数f(x)的
不定积分
所以求不定积分运算
其实就是在求这个函数的一个原
函数
加上任意常数C我们举个例子
我们求 X5次幂它的不定积分
那么根据我们微分学的知识
我们知道
1/6
X的6次幂
它的导数
是等于X5次幂的
按照不定积分的定义
那么X的5次幂
它的不定积分
等于原函数1/6X的5次幂
加上任意常数C这样就把 X5
次幂
它的不定积分求出来了
那么下边我们看一下
不定积分的几何意义
以一个具体的函数为例
那么函数f(x)它的原函数的图形
我们称为 f(x)的积分曲线
我们以具体的函数为例
比如说f(x)=2X,它的
一个原函数
是X平方
那么X平方它的图形是这样的
那么除了X平方之外
2x还有很多原函数
比如 X平方+1
比如X平方+2
这些函数
而他都是2X原函数
所以它们的图形
都是 f(x)图形的积分曲线
所以同一个函数
它的积分曲线并不是一条
那么显然
那么求不定积分运算
可以得到一系列积分曲线
那么得到一个积分曲线图
那么从运算的角度来看
其实求积分曲线
和求不定积分
是等同的
那么下面我们看
微分运算
和求不定积分运算之间的关系
按照不定积分的定义
我们知道
f(x)他的不定积分
求一下它的导数
那么它的值
f(x) 所以
一个函数它求完了
不定积分之后
再对它求导数
自然回到这个函数本身
第二个
f(x)他的不定积分
的微分
一定是等于 f(x)乘自变量X的
微分
这次的证明
只需要在第一个式子里头
把自变量的微分一项
那么按照微分的原理
就可以得到它
这是这样两个性质
那么下面我们把运算性质
把它换一下顺序
一个函数
先求它的导数
再做不定积分运算
我们想一下这个值
那么求不定积分运算
那么是指要求
被积函数的一个原函数
加上任意常数
那么现在是求f'(x)的不定积分
所以实际上是相当于是在求
哪一个函数的导函数是f'(x)显然
f(x)导函数就是f'(x)所以
那么f'(x)不定积分
就应该等于
f(x)加上任意常数C那么从
形式上来看
就相当于是一个函数
先求导数
再做不定积分运算
那么就回到这个函数本身
加上任意常数
那么这个性质
我们换一个形式写的话
f(x)它的导数
和dx放在一起
那么实际上是 f(x)的微分
所以 f(x)的微分他的不定
积分
等于 f(x)自身加上任意常数
C这是不定积分运算
和求导运算
或者微分运算
做混合运算的时候
我们得到的4个性质
从结果来看
我们大体上
我们可以得到这样一个结论
那么微分运算
和求不定积分运算是互逆的
这是微分运算
和不定积分运算之间的关系
今天这次课我们就讲到这里
再见
-1.1 映射与函数
--1.1.1映射与函数概念—作业
--1.1.2函数的几种特性—作业
--1.1.3函数的运算—作业
-1.2 数列的极限
--1.2.1数列和数列极限的定义—作业
--1.2.2收敛数列的性质—作业
-1.3 函数的极限
--1.3.1自变量趋于有限值时函数的极限—作业
--1.3.2 自变量绝对值无限大时函数的极限及函数极限的性质
--1.3.2自变量绝对值无限大时函数的极限及函数极限的性质—作业
-1.4 无穷小与无穷大
--1.4.1无穷小与无穷大—作业
-1.5 极限运算法则
--1.5.1极限的运算法则—作业
-1.6 极限存在准则 两个重要极限
--1.6.1极限存在的夹逼准则及其在极限计算中的应用—作业
--1.6.2 数列的单调有界收敛准则及其在极限运算中的应用
--1.6.2数列的单调有界收敛准则及其在极限计算中的应用—作业
-1.7 无穷小的比较
--1.7.1无穷小的比较—作业
-1.8 函数的连续性与间断点
--1.8.1函数连续性的定义—作业
--1.8.2函数间断点的概念和分类—作业
-1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
--1.9.1连续函数的运算与初等函数的连续性—作业
-1.10 闭区间上连续函数的性质
--1.10.1闭区间上连续函数的性质—作业
-2.1导数概念
--2.1.2 导数的定义—作业
--2.1.4 导数的几何意义与物理意义作业
--2.1.5 导数的可导性与连续的关系--作业
-2.2 函数的求导法则
--2.2.1导数的四则运算法则作业
--2.2.3复合函数求导法则—作业
-2.3 高阶导数
--2.3.1 高阶导数--直接法—作业
--2.3.2 高阶导数--公式法--作业
--2.3.3 高阶导数--间接—作业
-2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
--2.4.1 隐函数及其导数—作业
--2.4.2 取对数求导法—作业
--2.4.3 由参数方程所确定函数的导数—作业
--2.4.4 相关变化率问题—作业
-2.5 函数的微分
--2.5.2 微分的几何意义及运算—作业
--2.5.3 微分在近似计算中的应用—作业
-3.1 微分中值定理
--3.1.1罗尔定理及其证明—作业
--3.1.3拉格朗日中值定理应用—作业
--3.1.4拉格朗日中值定理应用II—作业
--3.1.5柯西中值定理及其证明--作业
-3.2 洛必达法则
--3.2.2洛必达法则应用举例—作业
--3.2.3未定式求极限II—作业
-3.3 泰勒公式
--3.3.3泰勒公式的应用—作业
-3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
--3.4.2函数单调区间求法—作业
--3.4.3-3.4.5曲线的凹凸性及拐点—作业
-3.5 函数的极值与最大值最小值
--3.5.1-3.5.2函数极值—作业
--3.5.3-3.5.4函数的最值—作业
-3.6 函数图形的描绘
--3.6.1函数作图—作业
-3.7 曲率
--3.7.2曲率及其计算—作业
-4.1 不定积分的概念与性质
--4.1.1 原函数与不定积分的概念—作业
--4.1.2 基本积分表—作业
--4.1.3 不定积分的性质—作业
--4.1.4 简单不定积分的计算—作业
-4.2 换元积分法
--4.2.1 第一类换元积分公式—作业
--4.2.2 常用第一类换元函数举例—作业
--4.2.3 增加的几个积分公式—作业
--4.2.4 正弦余弦函数的高次幂的不定积分
--4.2.5 正切正割函数的高次幂的不定积分—作业
--4.2.6 第二类换元积分公式—作业
--4.2.7 无理代换—作业
--4.2.8三角代换—作业
--4.2.9 倒代换—作业
-4.3 分部积分法
--4.3.1 分部积分法及设u为幂函数的不定积分—作业
--4.3.2 设u为对数函数反三角函数的不定积分—作业
--4.3.3 复原法—作业
-4.4 有理函数的积分
--4.4.1 有理函数的概念与分解定理—作业
--4.4.2 待定系数法求有理函数的积分—作业
--4.4.3 三角有理函数的积分—作业
-4.5 积分表的使用
--4.5.1 积分表及原函数非初等函数举例—作业
-5.1 定积分的概念与性质
--5.1.1 定积分的概念—作业
--5.1.2 利用定积分的定义计算定积分—作业
--5.1.3 定积分的性质—作业
-5.2 微积分基本公式
--5.2.1 积分上限函数—作业
--5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式—作业
-5.3 定积分的换元法和分部积分法
--5.3.1 定积分的换元积分法—作业
--5.3.2 定积分的换元积分公式的倒用—作业
--5.3.3 定积分的换元积分法的几个重要结论—作业
--5.3.4 定积分的分部积分法—作业
--5.3.5 三角函数的分部积分结论—作业
-5.4 反常积分
--5.4.1 无穷限的反常积分—作业
--5.4.2 无界函数的反常积分—作业
-6.1 定积分的元素法
--6.1.1 定积分的元素法—作业
-6.2 定积分在几何学上的应用
--6.2.1 直角坐标系下平面图形的面积—作业
--6.2.2 极坐标系下平面图形的面积—作业
--6.2.3 旋转体的体积—作业
--6.2.4 平行截面面积为已知的立体的体积—作业
--6.2.5 平面曲线的弧长—作业
-6.3 定积分在物理学上的应用
--6.3.1 变力沿直线所作的功—作业
--6.3.2 水压力—作业
--6.3.3 引力
--6.3.3 引力—作业
