近代数学基础03在线视频

再看一个例子分析学的阶段

同样的我不敢去验收六个阶段

第一个阶段是牛顿莱布尼兹创立的微积分

第二个阶段是一维 二维 三维的微积分

其目的是为了解决多参数多变的问题

第三个阶段是欧氏空间上的微积分

其目的是为了解决物理上的需求

第四个阶段

谢尔博特创立了谢尔博特空间

第五个阶段飞协创立了距离空间

也叫度量空间

第六个阶段的距离的空间

我们同样可以看出这点不同的阶段

发展层次越来越高

抽象化程度越来越快

高层次的研究有助于低层次的研究的深入

而低层次的研究呢

同样的也为高层次提供了一个好的力

再看第二个特点

现在数学第二个特点

是重视建立公理化体系和结构论的分析

公理化和结构论

这将是贯穿这门课的始终

也就是说一个公理化

一个是结构论

按照我的理解

同学们选择这门课程

学习近代数学基础学的是什么呢

学的是证明呢 学的是计算呢

事实上如果朋友们都有公理化的思想

结构论的思想

来分析你们的专业课程

来分析你们的遇到的数学问题

那么这种课程将达到我们的目的

注重建立公理化体系和结构的分析

在此之前

我们先开一个思考的问题

东 西方文明有个有个不同的发展脉络

什么原因呢

为什么西方

东 西方文明有个共同的发展脉络

西方成了现代科学啊

这是什么原因呢

大家想过这个问题吗

事实上更是一个偶然的巧合

按照我的理解

文明的代表不同

是由于一本书的不一样

我们看西方文明

它是

靠的是什么了

一本书

《几何原本》

几何原本做的是什么

给出一个基本的公式

然后进入演绎推理

而我们东方文明呢

以华夏文明为代表的东方文明

那么

《九章算术》

《周髀算经》

求的算 是算 物以致用

与不同的学科基础

导致了东 西方文明的不同美

那么而到我们现代数学阶段

因要注重公理化体系和结构的分析

所有公理化的方法指的是以尽可能少的

原始概念和不加正用的公理为基数

运用逻辑推理的方式

来建立严密的科学理论

有的同学会说这不是哲学吗

事实上现代数学

从某种角度来想它就是哲学

那么公理化的方法可以分为四个阶段

第一个阶段

欧几里得的几何原本

他首创公理化的方法

是用公理法建立科学理论体系最早的典范

那么

第二阶段是

罗巴铁夫斯基和黎曼的的非欧几何

第三个阶段

是1899年HILbert写的一本书

叫《几何学基础》

那么在这个世上

他创建了严密的公理化的体系

那么因此开创了现代公理化的方法

HILbert他在现代公理化方法里

有两大突出的贡献

第一原始概念的不加公益

第二 公理化系统一种基本的要求

要求相容性

独立性和完备性

我们看下三条纪律要求

在看第四个阶段

第四个阶段

布尔巴基学派认为数学至少是纯数学

它是研究抽象结构的理论

他们试图将数学大厦建立成一个

渊源统一

脉络清晰

枝繁叶茂

井然有序的理论体系

这里出现一个概念数学结构

什么是数学结构

所谓数学结指的是遵从一些公理的

集合和映射组成的系统

这里再次强调一个观念

现代数学本身讲集合和映射

更关键的是映射和集合一定要想匹配

布尔巴基学派的一些代表人物

他们认为现代数学若研究四种结构

分别是代数结构

拓扑结构

测度结构和序结构

那么上述结构交叉融合

几乎涵盖了现在数学的所有分支

好 我们先看序结构

它结构的原型是数的大小关系

那么结构的内容有偏序全序

代数结构

它的结构原理加减乘除四则运算

那么结构的内容包括群

环 域 线性空间等

拓扑结构

它的原型是距离和领域

那么

它结构的内容包括距离空间 拓扑空间等

测度结构它的结构原型

长度

面积

体积等

结构的内容是测度空间等测定部位

依照结构论来划分概括数学的不同分支

使得数学成为一个统一的整体

还能看到不同分支之间的联系

我们在大学阶段

我们学过的微积分

学会了线性代数

那么同学们可以试图

用结果论的观点

来考虑下你们的微积分和线性代数

这两门课程的一个区别

这是今天的一个思考题

我们再看一个简单的例子

一个简单的方程

X的平方等于负一是否存在着几

这个问题

大家说

女王这就是岸 岸什么呢

是这个虚数 虚数是什么呢

虚无缥缈

真的如此吗

我们再看一下

在16世纪初

数学家不能逃避战斗方式

引入一个i 称为虚数虚无缥缈的数

当它就是虚无缥缈的

然而

到了19世纪通过建立一个对应关系

X加上iy与二维平面上一个点

（X，Y）建立一个对应关系

可以看出二维的平面

与复平面它们结构是一样的

这导致复数有了实际的意义

虚数它不再是虚无缥缈

那么这么做使得复数理论得到飞跃发展

特别的

到了电学的出现

从这个意义上讲

这点了一个i

这一个虚的单位

它不再是虚无缥缈

它导致了近代文学的发展

那么我们知道电灯就讲到了

虚的i

还有内在的含义

那么

这如何导致电学的出现

那么希望同学们课后可以了解一下

麦克思维方程的建立过程

好

再看第三个特征

不同学科相互结合

不断开拓新的领域

希尔伯特

曾经这么说过

数学学科

它是一个不可分割的整体

它的生命力在于各个部分之间的联系

生命力

那么不同物质的渗透交叉融合

导致些新的变化

第一个变化学科的面貌产生的改变

例如 古典微分几何

那么产生了现代分几何

古典微分方程出现了现代微分方程

古典概率论 发生了现代概率论

第二个交叉融合出现了新的分支

比如单数的几何相加

得到代数几何

微积分和几何微分相交叉

得到了微分几何等等

那么进而导致

那么近代数学中

代数 几何 分析

三足鼎立的局面彻底被改变

那么事实上

随着数学的专业性

复杂性的日益增长

相距甚远是相反的领域也有着密切的联系

学科间的界限逐渐变得模糊

新的领域不断的出现

例如非标准分析 突变论等学科不断涌现

我们再看一个例子

例如我们有数论 代数这两个数学分支

它们研究的是一个有限量的离散的数学

而另一方面

微积分

拓扑学

它研究的时候不限量的连续着数学

我们看一下

有线

无线

离散

连续

这是迥然相异的学科特性

与它们交叉融合产生了解析数论

代数 拓扑等新兴学科

那么事实上离散与连续

它是一个独立体

相互促进

界限逐渐模糊

许多连续性的问题需要用计算器来产生

那么

例如吴文俊院士也是国家科技大奖获得者

他用机器证明

使得许多离散性的结果

得到了处理

再例如微方程

微分动力系统

再例如微方程微分动力系统

研究的是一个确定性的现象

而概率论

数理统计研究的是不确定性现象

及随机现象我们可以看一下

一个是确定了一个是随机的

它们也是一个对立统一

但是经过交叉融合

产生了随机组成方程

随机泛函分析等新兴学科

那么在这个领域

我们的数学家冯康教授

来开创了解分方程的有限元方法

我们看交叉融合产生了新的几何

第四个特点

研究更符合实际的模型

解决更复杂的问题

从简单到复杂

从直观到抽象

是数学发展中的不可逆转的趋势

那么主要表现在数学的发展一下的脉络里

从单变量到多变量

从低维到高维

从线性到非线性事实上

在十九世纪乃至以前

数学 力学

物理等学科主要研究的线性现象

那么到了二十世纪以来

那么更多的研究

非线性的现象从局部到整体

这研究现象距离发展的又一个重要的词条

那么现出现的学科有

积分几何

整体随机过程

微分几何等学科

那么连续到简短 稳定到分叉

突变非常混乱的现象普遍存在

1965年法国的一个科学家汤姆

给出了描述突变现象的数学模型

即突变理论

从精确到模糊

那么现代数学

是建立在集合论的基础上

一个元素 一个几何

属于不属于这里有明确的完全确定的

到了1986年美国的科学家

给出了模糊集合论的概念

那么先说理论发展顺序

那么该理论对有助于将模糊定量化

因此具有实际意义还有其他的发展趋势

例如从静态到动态

从平衡到不平衡

从光滑到非光滑

从适定到非适定

从可交换到不可交换等

这是一个大的发展的趋势

第五个特征

向一切学科和社会部门渗透和应用

1939年

英国数学家也是一个哲学家

怀特海他指出在人类的思想领域

具有压倒性的新的情况

就是数学的理解问题来占据统治地位

什么是数学的理解问题

这是一个有机的过程

是一个完整的珍惜

他指的是数据的思考问题的方式

包括建立模型

建立模型 抽象化

优化

逻辑分析

推理计算

预测评估以及运用符合等

那么因此这是一个完整的过程

对一个具体的问题

从基本模型到分析到计算到群体

这是一个数学的理解问题

这也是我们选这个课的原因

事实上

数学对自然科学共同技术的交叉渗透中

形成了强有力的工具和方法

使得数学在现代社会各种高科技领域

具有核心地位和广泛的意义

现在就是成熟的标志是什么呢

科学理论的数学化

公理化是数学化的最基本的特征

大家打开一本的物理书

打开一本你们专业的书

有很多的公式和符号

确保这是科学理论数学化的一个标志

例如经典力学 量子力学等

都是借鉴的数学公理和方法理论体系

但是这里需要明确一个观念

也是一个认识的误区

数学应用和应用数学

但是应用数学和数学应用它有着本质区别

从能否应用划分来

数学与应用数学是没有任何意义的

举个简单例子 调和分析

这是一个基数学领域

在这个领域中我们可以进行

自身的学术研究

也用于实际解微分方程

也可以用于实际工程

进行信号处理等

我国一个数学家程民德先生

他当年

以调和分析为基石

来对两弹一星有了重大的推动

这恰恰体现出

应用数学和数学应用的美妙关系

在例如

罗巴铁夫斯基非欧几何的创立者

他曾经这么说过任何一个数学分支

无论它如何的抽象

总有一天在现实中找到了应用

也正是他和黎曼分别创建了非欧几何

为爱因斯坦的相对论提供了数学框架

从而开辟了近代物理的新纪元

事实上

数学

它不仅渗透到自然科学领域

也渗透到了社会学领域

人类智力活动中未受数学科学的影响

而大为改观的领域已经寥寥无几了

有的人认为经济学

它应该是一个应用数学的分支

事实上

从1969年到2010年

诺贝尔经济学奖的获得者

除了1974年的哈耶克之外

其他的均大量的使用数学工具

有的人本身就是一个数学家

美国科学基金会曾经指出

数学是所有高科技的核心

而且在提出了数学技术的说法

那么我们再看马云的阿里巴巴

尽管马云先生数学考了一分

但是他深刻运用到了数学技术

他组建了阿里巴巴数学竞赛

那么从这个方面也可以看出

数学确实改变了他

那么你怎么有理由相信

数学对现代科学技术

将发挥日益重要的作用

而这将对数学本身发展

也起到至关重要的反作用

也就是说作用与反作用

这是一个对立途径

好，那么最后给大家几个思考题

关心的数学的几个误区

第六误区新的数学分支越来越细

不能分支的人彼此不了解

这还能出现总览全局的数学家吗

第二个问题数学越来越复杂

越来越抽象

它是否使得他远离

简单性这种朴素的自然法则

第三个

数学大师他的精神境界如何

数学的最高境界是和艺术及文学相通的吗

第四

现代数学发展是不是太快了

现代数学是否有用我们工科的博士生

为什么要学习数学这门抽象的科学

第五 概率统计

计算数学分支等分支

在数学的地位不断上升

其原因何在呢

好这是关于现代数学的几个误区

请同学们课后思考一下