电磁波的衍射（惠更斯原理）在线视频

我们下面说这一节的最后一部分

这已经和辐射电磁场没有关系了

是所谓的电磁波的衍射的行为

我们因为电磁波作为一个波动

波动一个很重要的

就是它的衍射的行为

这是实际上和是不是电磁波

也没有关系

只要是它是一个波动就可以

我们下面来去证明

只要是满足波动方程

在三维空间

就会有类似的这样的行为

在历史上这个人们不会定量的

解析的来去描述

这些衍射的行为的时候

对这个波动

人们是定性的来去说

就有一个所谓的惠更斯原理

惠更斯提出来的

就是说为了描述这个衍射的行为

这个原理说的是

在波的传播的面上

每一个波面上的

都看成一个小的新的波源

次级的波源 这个次级波源

再发出小的球面子波

假定这个波是平面波这么传

那么在某一时刻

这个波阵面是这个面上

然后这上的每一点

都看成小的波源

然后它就以球面波往外走

在下一时刻

你看这球面波走到多少

每一个点所有包这个次级波源的

这个包它的包络面

就构成新的波阵面

那你假定是球面波

在某一时刻这个波阵面走到这

每一个上面小的波源

出来的球面波 新的波阵面

就是这些包这个新的

这些小的波阵面的

一个包它的这个面

就构成一个新的

就根据这个来去说波的

描述波的这个传播

我们现在描述波动

有了数学上严格的波动方程

然后你就可以

实际上推出这个类似的结果

在这里为了描述衍射的问题

这是一般的谈波动

描述衍射的问题

我们很重要的是要来去说

从这个波动 比如说这种传播

就告诉你从这个原始

从这个波源开始往外走

这个某一时刻的这个波

这面上的这些波的这个行为

和当初的这个是有一定关联的

因为它是从当初这点过来的

对不对

那么我们下面很重要的

描述这个电磁波的衍射

就是建立一个

用波动方程描述的波

不一定非是电磁波

任何形式的波动方程描述的波

它在空间一个点

和它后面出来的

这个波阵面上的波之间的关联

就是它建立这么一个关系

然后利用这个关联来去描述衍射

因为衍射是在

比如说有一个小孔这块出来的波

到后面这个屏幕上的

产生的那个图象

那么那个时候我们就可以把这个

那个小孔看成小的波源这块

然后后面幕上的那个

就看成是这上的这个图象

然后利用这个关联

就可以给出衍射的行为的描述

好

所以下面我们先讨论波动方程

这个波动方程

在我们的电动力学里面

就是电场强度 磁感应强度

或者是矢量式 标量式

所以我们出现的那些物理量

考虑一个齐次的波动方程

在三维空间里面

它的任何一个分量

我们现在说只要一个量

它满足波动方程

我们就可以构造下面一个

很复杂的一个关系式

就是这个波的 叫这个波的

描述波的一个量

这个量它在空间某一点

然后和在一个

外面一个波阵面上的波

之间的关系

只要有波动方程就有这个关系

我们现在就从这个u（r，t）它可以是

我们刚才说了

可以是电场强度 磁感应强度

某一个分量

在空间里面是满足

齐次的波动方程

我们来证明这样一个量

它在空间某一点的数值

和它传出来的这个波

在一个波阵面上的

一个面上的数值之间的关联

我们来证明

实际上只要是这个量

满足这个波动方程

我们就能发现这个关联

就是简单的说

是在一个封闭的曲面上

它这个波的数值

可以和在这个曲面里面

包含的某一个点的数值

有一个定量的关联关系

在这里面我们用坐标原点

到场点的矢量小r

还有坐标原点到元点的矢量r一撇

然后这个大的R是r一撇减r

这和通常的矢量

是r减r一撇有点不一样 反过来

这大R一撇是场点到元点的

那个指向元点的矢量

一般的是从元点指向场点的矢量

下面我们要做的什么呢

就要证明在某一个时刻

在场点这一块

r这块位置这个u的数值

可以用包含这个场点的

一个大的表面上的

u的某一种平均来去表达

这是一个数学的关系式

那么为了证明这个

我们现在把这个场点r

放在一个区域的体积中间

然后这个体积叫τ

对这个体积做积分

写成这个式子

注意这个积分

这中间有一个δ函数

δ函数对r一撇一积分

就要求r一撇等于r

一积掉这r一撇等于r

这块就是r了

然后r一撇等于r

这个大的r就等于0了

所以这个推迟的效应就没有了

然后这个换成r 这就是它

把它积分掉了就是这样

那你说你为什么这么做

我现在化的这个体积

如果这个被积函数

能化成对这个r一撇的一个全微商

如果能化成全微商

这个体积积分就变成是一个

这个体积的表面的表面积分

然后化成全微商了以后

可能对u有一堆

各种各样的微商等等的函数

最后这个积分就化成

表面上的积分

在这个区域的表面上

u的那些各种微商一个组合

这就是我们刚才

所要期望得到的一个结果

也就是说化成了

这个r是在这个区域里面

然后这个区域里面等号右边

就变成是一个区域的边界

实际上是说我们可以广义的

叫它一个波阵面

一个波阵面上的

u的一些值的一个组合

下面我们中间的这个

做的都是数学

就是要把这个东西

变成是一个全微商

只要变成全微商

我们就得到这么一个关系

就是在这个区域中间的一点的u

和在区域的边界上的u的关联

那么为了要把它变成全微商

首先得要出来这个微商的东西

然后再是全微商

那微商怎么出来呢

注意 这个δ函数

直接就可以写成

一个R分之一的微商

注意 现在是对的r一撇的微商

和对r的微商实际上是一样的

这样的话这个微商符号

在被积函数已经出来

剩下我们就是要把它

变成全微商就是了

那你说你在这里

为什么这一定要加这个R比c

不加不行吗

不加你就最后变不成全微商

基本上是这样 然后干什么呢

剩下的目的就是把这个微商

要变成整个的全微商

那么我们就一步一步做

这是拉普拉斯算符是两次微商

我们把其中一个微商拿出来

一个微商拿出来

这个东西点乘上微所有的这些

这是全微商

这后面全部都微商

其中微前面这一项就是它

微后面这项多了

后面这个给它扣掉

注意这是微r一撇的

那么前面这一项

已经是全微商了

就是达到我们的目的

我们目的是要把这个东西

变成全微商

然后就可以变成面上的这个积分

因为我们就谈中间的一点

和这个面上的这个u的关联

这是一个全微商的项

然后剩下这个第二项

我们再把这里面的这个微商

本来只微R分之一的

又变成全微商 变成这个项

就连R分之一

和后面的一块微

其中微R分之一的这项就是它

微后面这项又多了

再扣掉 再扣掉

就是这是正号这是负号

这样的话这一项又变成全微商了

剩下还有这个项

这个项怎么看也看不出来

像是全微商 这是微后面的

这个的效果就是

本来这个拉普拉斯算符

是微前面这R分之一的

现在到这后面这变成微后面的

微这个u的了

那你这个东西怎么办呢

注意到你看一下

这个东西和这个有点类似对不对

这个我们就试着要利用这个

这时候写到这的时候

这个u是随便是什么都可以

但是还没用这个u

是满足波动方程的

后面我们就要试图利用这个

波动方程的这个关系式

还有一条还要注意

微的r一撇不光是微这个

连这里边的R一撇

都一块要微的

就所有的对R一撇的依赖

都要微商的

这个里面这个t*

这个叫t* 把它简称叫t*

它对这个R一撇的微商

是这么一个关系

这是我们前面说

算辐射场的时候就给出来过

好 下面就专门处理这一项

要紧的是希望把这一项

变成全微商

要把它变成全微商

这个就是这里面最复杂的部分

这个里面拉普拉斯算符是两项

两次微商 先微

把外面一个先抽出来

里面的那个微商

里面的微商它微R一撇

一个是微这个

一个是微这个t*里面的r一撇

那么我们就分别微

一个微前面的r一撇

这写成一个竖杠t*

表示这个t*里面的r一撇

不参与微商 固定

然后再微t*里面的r一撇

那就先对t*微商

然后t*再做梯度 刚才给出来

t*做梯度是负的R比上cR

这样的话这个就是只微前面的

固定死了

然后再微第二个 第二个做散度

然后第二个微这个里面

就一个是微前面这个项

微这个项

还一个微后面这个项对不对

就是外面这个微这个项

微整个这一团这个项

前面这个项你要小心

这个t*固定

是里面这个微这个的时候t*固定

外面微这个的时候

还是r一撇和t*里面的r一撇

都要微的

所以我们把外面这个也分出来

分成只微整个这个里面的

明显的r一撇

t*里面的r一撇固定

那么就外面这个微商

是这个t*也固定的

就直接写成这个

和它一点乘就是一样的了

就是两个都是t*固定

然后外面这个的

再通过t*再去微

那就是整个这个项

就里边的这个项先对t*微商

然后t*再出来一个负的R比cR

然后额外有个R分之一

分母就变成R平方分之一

所以这两项合起来

是把它第二个微商再给它拆出来

这项还没超也给它分开

因为这个微商也是一样

是R一撇和t*里面的R一撇

都一样的微

那么我们先把它变成一个

这个里面的

只微这个里面的明显的r一撇

t*固定 这是这个项

然后再微一个

这个里面通过t*对r一撇的微商

所以它第二个通过t*的呢

要对t*再微一次商

然后出来一个R比R负的c

负号拿掉

那个c就变成c平方

R比R和它一点乘

就约掉一个R比R

就剩一个R分之一

所以这一项里面就分成这两项

这一项是这两项

最后还有这个

微分子是一个3

微分母的是一个负1

这两项合起来

然后把这里面的这一项

和这一项 这两项合在一起

注意在这一项你看

这个微的R一撇

两个都是t*固定 只微前面的

这个是对Rt*固定的

这是这两项合在一起

然后这两项这个一减就是2倍的

然后这两项也是一样的

反正是这个倒三角

是t*是固定的

然后这个t*这两个可以来回换

这两个是一样的

所以这是一个2倍

从这块看好像这个

就有点像波动方程对吧

因为波动方程

不是一个拉普拉斯算符

一个偏偏t 但是不是

注意到 你仔细看一下

这个波动方程这块是负号

这出的是正号

所以经常推到这的时候

你认为这是波动方程

一代进去就错了 那怎么办

波动方程是负号什么意思

就是这个东西代掉

和它是一样的 这出个2倍

不是这项削掉了

所以把波动方程代进去以后

为什么能代波动方程

波动方程

拉普拉斯算符只微前面

后面是固定的

所以我们刚才要把

两个都微的那个给分出来

把后面固定了

后面固定了最后结果是这样

和后面是一个相加的

那么波动方程额外贡献这么一个

加上原来

就是贡献了一个2倍的这个

这项抄下来 这项抄下来

然后整个提出来一个c分之2

前面这项直接的可以写成

你把这R比R一约掉就是它

这个项又重新写成这样的项

这样的项你把2拿出去

微它和微它出来

正好是一个1

因为这一项出来

是把这个2拿掉的

这样的话我们就得到了

这一串的这个结果

看起来还是乱七八糟的

我们可以继续的化一化

其中可以把这两项合并起来

提出一个R比上R的平方

还有一个负号

那么这两个乘起来是二次微商

然后这个R点乘R

R点乘R 底下是一个R的三次方

这是R的三次方

这是一个c 这是一个c

所以这个项就是前面这个项

而这个项就是这个项

后面这项接着抄下来

这个负号拿到外面去

注意到这两个合起来

相当于是什么呢

本来这个微商

后面这个微商是t*固定的

加上这个相当于是

这个项正好是相当于是

这个倒三角是微t*里面的

那个小的r一撇

因为通过t*微r一撇

先对t*微商 t*再做梯度

就出来一个负的R比cR

所以这两个合起来

直接就把这个对t*固定就去掉了

而这一项和这一项

正好又配成是一个全微商

看见没有 一个是微这个u的

一个是微u前面的

合起来就变成这个

那么这绕了半天干什么呢

这个微商

本来R分之一乘在前面的

但是我们用了场方程以后

波动方程以后

它就变成全微商了

这里面所有的东西

都在微商符号里面了

那么都在微商符号里面

我们刚才的本来的那个积分

就是这一项不是全微商

先把这一项代进去

整个拿出去一个全微商

里面这都是一个全微商

这样的话这个积分

就可以变成这个体积的表面

我在这里面

这个是把这个微商给做出来了

在这个里面

这个本来是对r一撇

和t*的里面的r一撇的

隐含的一块微微的

我现在只微这个r一撇的

然后对t*的那个项

发觉和这个项是一样的

所以就跟它合并

就是把它的扣掉了一个

然后就变成

这个区域的表面的积分

这是我们在这一节里边

衍射了一个基本的公式

就是说在这么一个区域里面

它中间的一个点

这个区域是随便选的

你在数学手册上你可以看

比较简单的把这个点

选在一个球心

它就变成一个球面

这个球面上的数值的一个平均

这时候这只是这个球面上的

实际上你可以是任意一个面

只要包围中间这个点

这是我们衍射的一个基本公式

你本来看这个式子挺复杂的

这实际上就是满足波动方程的

任何一个函数

都有这么一个平均的性质

它可以用一个

包围一个封闭的体积一个表面

表面上的这些量

用这些做微商

空间微商乘上这些r

或者时间微商

但是是一个推迟时刻

然后这么一个平均

就可以得到这个里面的

某个点的这个场的数值