当前课程知识点:误差理论与测量平差 > 第一章 测量误差及其传播律 > §1.8 系统误差的传播 > 系统误差的传播
这一讲我们来学习系统误差的传播
前面呢,我们学习了协方差传播律、协因数传播律
都是以只含有偶然误差的观测值为基础讨论分析的
那现在我们看一下,如果有系统误差,我们就要从以下几个方面来说
第1个问题,我们看一下有系统误差的情况下呢,就要涉及到一个综合误差的问题
其实这个问题我们在前面说过,也就是在精度准确度与精确度这一节
这一讲我们分析了综合误差,比如说,综合误差是在有系统误差和偶然误差都存在的情况下考虑的
它主要用于讨论精确度,也就是说观测结果是真实的接近程度
那么在这一块儿综合误差Ω就等于L~也就真实值减去观测值
进一步可以得到它应该等于ε加上Δ,那么ε和Δ是什么呀?
就是我们后面要说的这个系统误差和偶然误差,如果说没有系统误差,其实这个观测值呢
就只含有偶然误差,那这个时候呢,我们要讨论的是精度了,这就是我们前面一直在讨论的问题
那如果说有系统误差,这个系统误差其实它表示的是什么呢?
就是随机变量的真值与其数学期望之差,那在这一块其实就是L~与E(L)的差距,就是ε
那我们看一下,如果只含有偶然误差,对于观测值,它应该符合这样一个正态分布
也就是说这个综合误差的期望就是偶然误差的期望,按照偶然误差的性质
它的期望应该等于0,它是个对称于0的一个正态分布
那如果有系统误差了的话,这个综合误差的期望就不是0了
因为系统误差是一个常量,所以这个时候观测值就符合这样的一个正态分布
它的期望μ就等于ε,那系统误差就是这个正态分布的一个对称轴
下面我们就分析一下这三种不同情况观测质量如何来评定
如果只含有偶然误差,我们就用中误差来评定精度,它是衡量精度的一个指标
怎么计算呢?前面我们说了用真误差来计算中误差,等精度的非等精度的,这是两个对应公式
当然如果真误差不存在,那么就用改正数是吧?有系统误差怎样考虑它的大小呢?
我们可以把它算出来,用真值减去观测值的期望
如果综合考虑来判定观测值的精确度的话,那我们就要考虑均方误差了
它应该是σ^2加上ε^2,这是我们前面得到的结论
那下面我们看一下,有系统误差了,那么系统误差对观测值的函数(如何影响呢?)
比如说,某些量它不是直接观测值,那它对这些量怎么来影响呢?
前面我们讨论了偶然误差的影响,下面看一下这个(系统误差的)影响是怎么来计算的?
首先,有观测值L、真值L~、综合误差Ω、系统误差ε
那ε就可以等于Ω的期望这样来表达,那么对于线性函数我们看一下
z是一个线性函数,它是线性关系,它的误差也应该满足这样的线性关系
接下来我们要求误差的期望,求它的期望的话,其实就是对每一项求期望
系数提出来,那就是对Ω求期望,对Ω求期望,其实就是谁呀?就上面的公式
Ω的期望就是系统误差呀,所以最后综合误差的期望就是各项系统误差乘以系数求和
这就是函数z的系统误差,我们算出来之后这就是系统误差的影响,系统误差对那个影响了,求和
那非线性函数呢,我首先要把它全微分线性化,那函数z的综合误差其实就是z的微分,就是dz
右侧每一项求偏导,那么每一项就是L的综合误差,是它的微分,对应有这样一个表达式
那在这里面我们可以将偏导数记为k,这样就得到了一个线性化的形式
这个线性化的形式结合我们左侧线性函数的形式对照,我们就可以得到z的系统误差了
那就还是等于各项系统误差乘以系数求和,那么系统误差这个传播相对来说还是比较简单的
那下面我们看一下,如果既有系统误差又有偶然误差,那就涉及到了综合误差的传播
这个相对来说就稍微复杂了一些,我们看一下,同样的条件
那么综合误差是系统误差与偶然误差之和,那观测值的函数我们以线性为例
观测值的综合误差仍然满足这样的线性关系,那下面我们要考虑综合误差的传播,怎么来做呢?
我们还是取它的综合误差的方差,我们一般记为均方误差,在这儿我们仍然表达为Dzz=M
那就是对Ω^2求期望,而Ω我们刚才求出来是这样一个表达式,那对这个表达式的平方求期望的话
首先,我们要把它展开,那也就这里面有n项,肯定存在n个平方项,还有乘积项
那这个乘积项是什么呢?其实前面我们已经讨论过,我把它记为乘积项1
其实就是这些项的和,这些项的形式其实很相似,我们把它单独拿出来就是Ωi×Ωj
还有对应系数相乘的2倍,把Ωi、Ωj带进去展开是不是有4项?
那这4项里面我们看一下,前三项都包含了什么?都包含了Δ,而这个Δ其实就是偶然误差
那么对这4项分别求期望,你想是不是偶然为它的期望为0
所以每一个乘积项就变成了只含有系统误差的乘积的结果
那我把这个结果代入到乘积项上面去的话,那么乘积项1就变成了所有观测值的系统误差乘积之和
这是乘积项1我们讨论完了,那接下来我们往下看,前面平方项我把它展开
由于这个平方项的形式是一致的,就是字母下角标不一样
那我们看每一项其实都是系统误差和偶然误差的和平方
把它平方展开,每一项是不是就又变成了三项啊?对吧
这三项有两个平方项,分别是偶然误差的平方和系统误差的平方
我们把偶然误差的平方项放一起,系统误差的平方项放一起,那么应该还有一个乘积项2
那这个乘积项2,我们分析一下它是什么呢?
也就是任意一个综合误差它里面的系统误差和偶然误差乘积
再对应上系数再求和,那同样,我前面是不是要对他求期望呢?
这个的期望,由于偶然误差呀,所以它肯定是0,那么这个乘积项2就可以直接给它去掉
就是说很多的时候可以把它去掉了,当0项处理
所以我们看这个Dzz到这里的话就剩下两组平方向和一个乘积项1了
那我们再看后面这两个,都是包含ε也就是系统误差的,它俩综合一下
我们前面是不是学习过、分析过这个问题?它其实可以综合起来构成一个括号的平方对吧?
这样的话我们再整体分析前面各项,n项的形式是一样的
我们可以写成求和的形式,就是什么了啊,最终要求期望的话,这就是偶然误差的期望
那就是σ,也就是中误差,k方乘以σ^2的和,而后面是什么呀?
k乘以系统误差求和的平方,这就是最后函数z的综合误差的方差
好,关于综合误差它的传播,我们学习完了,下面我们举个例子
在用钢尺量距的时候,我们共量了n尺段,已知每一尺段的读数和照准中误差是σ
这就是有偶然误差的性质,读书误差和照准误差,每一次都是不一样的
而检定误差是系统误差,那在这我们知道根据尺长公式
我们在数测(数字化测图原理与方法)里面分析应该有系统误差存在
那么现在我们求全长的综合误差,它有n个尺段,那么距离总长S就是n尺段之和了
那这个就是每个尺段都包含有系统误差、偶然误差,那就考虑综合误差
所以各尺段长是相等的,而综合误差的影响前面我们得到了这样的结论
那我们就看这里面的这个系数k都是1,L的偶然误差对应的中误差是什么?
是σ,系统误差是ε,那我们就可以直接往里代了呀
偶然误差、系统误差我们对应的都有,往里代我们得到全长的综合误差的方差
就是 n*σ^2+(n*ε)^2,这不是求和吗?你怎么变成了这种形式呢?
因为我们说这个求和的话,每一个测段它是相等的呀,所以我们用总长S/L
得到的就是n嘛,所以这个就是这种形式就是n倍的,当然你直接用原来的式子表达也可以
也可以表达成S/L,这是我们两种表达形式,就是这个问题我们就解决了
以上就是关于系统误差传播,我们讲的这样几个问题
到此呢,我们第1章就全部结束了,那下一讲我们就学习平差的数学模型
首先就是测量平差概述部分
谢谢!
-§1.1 测量误差及其分类
--内容提要
--测量误差
-作业--§1.1 测量误差及其分类
-§1.2 偶然误差的概率特性
--内容提要
-作业--§1.2 偶然误差的概率特性
-§1.3 精度及其衡量指标
--内容提要
--衡量精度的指标
-作业--§1.3 精度及其衡量指标
-§1.4 协方差传播律
--内容提要
--协方差与相关
-作业--§1.4 协方差传播律
-实验1 Excel中的矩阵运算
--教案~实验一
-§1.5 权与常用的定权方法
--内容提要
--权与单位权
--讨论1-权的意义
-作业--§1.5 权与常用的定权方法
-§1.6 协因数及其传播律
--内容提要
--协因数阵
--协因数传播律
-作业--§1.6 协因数及其传播律
-实验2 MATLAB的矩阵运算
--教案~实验二
-§1.7 由真误差计算中误差及应用
--内容提要
-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用
-§1.8 系统误差的传播
--内容提要
--系统误差的传播
-作业--§1.8 系统误差的传播
-§2.1 测量平差概述
--内容提要
--测量平差概述
-作业--§2.1 测量平差概述
-§2.2 测量平差的数学模型
--内容提要
--条件平差函数模型
--间接平差函数模型
-作业--§2.2 测量平差的数学模型
-§2.3 函数模型的线性化
--内容提要
-作业--§2.3 函数模型的线性化
-§2.4 最小二乘原理及其应用
--内容提要
--最小二乘原理
-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用
-§3.1 条件平差原理
--内容提要
--平差值求取原理
--水准网算例
-作业--§3.1 条件平差原理
-§3.2 条件方程
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--水准网条件方程
--测边网条件方程
-作业-§3.2 条件方程
-§3.3 导线网条件平差计算
--内容提要
--导线条件平差实例
-作业--§3.3 导线网条件平差计算
-§3.4 精度评定
--内容提要
-作业--§3.4 精度评定
-§3.5 附有参数的条件平差
--内容提要
-作业--§3.5 附有参数的条件平差
-§3.6 条件平差估值的统计性质
--内容提要
-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质
-§4.1 间接平差原理
--内容提要
--间接平差计算步骤
-作业--§4.1 间接平差原理
-§4.2 误差方程
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--参数选取
--测角网误差方程
--测边网误差方程
-作业--§4.2 误差方程
-§4.3 精度评定
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-作业--§4.3 精度评定
-§4.4 附有限制条件的间接平差
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-作业--§4.4 附有限制条件的间接平差
-§4.5 间接平差估值的统计性质
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-作业--§4.5 间接平差估值的统计性质
-实验3 科傻平差软件简介
--教案~实验3
-§5.1 概述
--内容提要
--点位真误差
--点位方差
--教案~5.1概述
-作业--§5.1 概述
-§5.2 点位误差
--内容提要
--点位中误差的计算
-作业--§5.2 点位误差
-§5.3 误差曲线
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--误差曲线
-作业--§5.3 误差曲线
-§5.4 误差椭圆
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--误差椭圆
--误差椭圆实例
-作业--§5.4 误差椭圆
-§5.5 相对误差椭圆
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--相对误差椭圆
-§6.1 概述
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--讨论-两类错误
-作业--§6.1 概述
-§6.2 常用的参数假设检验方法
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--u检验方法
--t检验法
--χ2检验法
--F检验法
-作业--§6.2 常用的参数假设检验方法
-§6.3 误差分布的假设检验
--内容提要
-作业--§6.3 误差分布的假设检验
-§6.4 平差参数的显著性检验
--内容提要
-作业--§6.4 平差参数的显著性检验
-§6.5 后验方差的检验
--内容提要
-作业--§6.5 后验方差的检验
-§7.1 序贯平差
--内容提要
--序贯平差原理
--序贯平差精度评定
--序贯平差实例
-作业--§7.1 序贯平差
-§7.2 秩亏自由网平差
--内容提要
--秩亏自由网概述
-作业--§7.2 秩亏自由网平差
-§7.3 附加系统参数的平差
--内容提要
-作业--§7.3 附加系统参数的平差
-§7.4 方差分量估计
--内容提要
-作业--§7.4 方差分量估计