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系统误差的传播

下一节:讨论-系统误差的传播

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系统误差的传播课程教案、知识点、字幕

这一讲我们来学习系统误差的传播

前面呢,我们学习了协方差传播律、协因数传播律

都是以只含有偶然误差的观测值为基础讨论分析的

那现在我们看一下,如果有系统误差,我们就要从以下几个方面来说

第1个问题,我们看一下有系统误差的情况下呢,就要涉及到一个综合误差的问题

其实这个问题我们在前面说过,也就是在精度准确度与精确度这一节

这一讲我们分析了综合误差,比如说,综合误差是在有系统误差和偶然误差都存在的情况下考虑的

它主要用于讨论精确度,也就是说观测结果是真实的接近程度

那么在这一块儿综合误差Ω就等于L~也就真实值减去观测值

进一步可以得到它应该等于ε加上Δ,那么ε和Δ是什么呀?

就是我们后面要说的这个系统误差和偶然误差,如果说没有系统误差,其实这个观测值呢

就只含有偶然误差,那这个时候呢,我们要讨论的是精度了,这就是我们前面一直在讨论的问题

那如果说有系统误差,这个系统误差其实它表示的是什么呢?

就是随机变量的真值与其数学期望之差,那在这一块其实就是L~与E(L)的差距,就是ε

那我们看一下,如果只含有偶然误差,对于观测值,它应该符合这样一个正态分布

也就是说这个综合误差的期望就是偶然误差的期望,按照偶然误差的性质

它的期望应该等于0,它是个对称于0的一个正态分布

那如果有系统误差了的话,这个综合误差的期望就不是0了

因为系统误差是一个常量,所以这个时候观测值就符合这样的一个正态分布

它的期望μ就等于ε,那系统误差就是这个正态分布的一个对称轴

下面我们就分析一下这三种不同情况观测质量如何来评定

如果只含有偶然误差,我们就用中误差来评定精度,它是衡量精度的一个指标

怎么计算呢?前面我们说了用真误差来计算中误差,等精度的非等精度的,这是两个对应公式

当然如果真误差不存在,那么就用改正数是吧?有系统误差怎样考虑它的大小呢?

我们可以把它算出来,用真值减去观测值的期望

如果综合考虑来判定观测值的精确度的话,那我们就要考虑均方误差了

它应该是σ^2加上ε^2,这是我们前面得到的结论

那下面我们看一下,有系统误差了,那么系统误差对观测值的函数(如何影响呢?)

比如说,某些量它不是直接观测值,那它对这些量怎么来影响呢?

前面我们讨论了偶然误差的影响,下面看一下这个(系统误差的)影响是怎么来计算的?

首先,有观测值L、真值L~、综合误差Ω、系统误差ε

那ε就可以等于Ω的期望这样来表达,那么对于线性函数我们看一下

z是一个线性函数,它是线性关系,它的误差也应该满足这样的线性关系

接下来我们要求误差的期望,求它的期望的话,其实就是对每一项求期望

系数提出来,那就是对Ω求期望,对Ω求期望,其实就是谁呀?就上面的公式

Ω的期望就是系统误差呀,所以最后综合误差的期望就是各项系统误差乘以系数求和

这就是函数z的系统误差,我们算出来之后这就是系统误差的影响,系统误差对那个影响了,求和

那非线性函数呢,我首先要把它全微分线性化,那函数z的综合误差其实就是z的微分,就是dz

右侧每一项求偏导,那么每一项就是L的综合误差,是它的微分,对应有这样一个表达式

那在这里面我们可以将偏导数记为k,这样就得到了一个线性化的形式

这个线性化的形式结合我们左侧线性函数的形式对照,我们就可以得到z的系统误差了

那就还是等于各项系统误差乘以系数求和,那么系统误差这个传播相对来说还是比较简单的

那下面我们看一下,如果既有系统误差又有偶然误差,那就涉及到了综合误差的传播

这个相对来说就稍微复杂了一些,我们看一下,同样的条件

那么综合误差是系统误差与偶然误差之和,那观测值的函数我们以线性为例

观测值的综合误差仍然满足这样的线性关系,那下面我们要考虑综合误差的传播,怎么来做呢?

我们还是取它的综合误差的方差,我们一般记为均方误差,在这儿我们仍然表达为Dzz=M

那就是对Ω^2求期望,而Ω我们刚才求出来是这样一个表达式,那对这个表达式的平方求期望的话

首先,我们要把它展开,那也就这里面有n项,肯定存在n个平方项,还有乘积项

那这个乘积项是什么呢?其实前面我们已经讨论过,我把它记为乘积项1

其实就是这些项的和,这些项的形式其实很相似,我们把它单独拿出来就是Ωi×Ωj

还有对应系数相乘的2倍,把Ωi、Ωj带进去展开是不是有4项?

那这4项里面我们看一下,前三项都包含了什么?都包含了Δ,而这个Δ其实就是偶然误差

那么对这4项分别求期望,你想是不是偶然为它的期望为0

所以每一个乘积项就变成了只含有系统误差的乘积的结果

那我把这个结果代入到乘积项上面去的话,那么乘积项1就变成了所有观测值的系统误差乘积之和

这是乘积项1我们讨论完了,那接下来我们往下看,前面平方项我把它展开

由于这个平方项的形式是一致的,就是字母下角标不一样

那我们看每一项其实都是系统误差和偶然误差的和平方

把它平方展开,每一项是不是就又变成了三项啊?对吧

这三项有两个平方项,分别是偶然误差的平方和系统误差的平方

我们把偶然误差的平方项放一起,系统误差的平方项放一起,那么应该还有一个乘积项2

那这个乘积项2,我们分析一下它是什么呢?

也就是任意一个综合误差它里面的系统误差和偶然误差乘积

再对应上系数再求和,那同样,我前面是不是要对他求期望呢?

这个的期望,由于偶然误差呀,所以它肯定是0,那么这个乘积项2就可以直接给它去掉

就是说很多的时候可以把它去掉了,当0项处理

所以我们看这个Dzz到这里的话就剩下两组平方向和一个乘积项1了

那我们再看后面这两个,都是包含ε也就是系统误差的,它俩综合一下

我们前面是不是学习过、分析过这个问题?它其实可以综合起来构成一个括号的平方对吧?

这样的话我们再整体分析前面各项,n项的形式是一样的

我们可以写成求和的形式,就是什么了啊,最终要求期望的话,这就是偶然误差的期望

那就是σ,也就是中误差,k方乘以σ^2的和,而后面是什么呀?

k乘以系统误差求和的平方,这就是最后函数z的综合误差的方差

好,关于综合误差它的传播,我们学习完了,下面我们举个例子

在用钢尺量距的时候,我们共量了n尺段,已知每一尺段的读数和照准中误差是σ

这就是有偶然误差的性质,读书误差和照准误差,每一次都是不一样的

而检定误差是系统误差,那在这我们知道根据尺长公式

我们在数测(数字化测图原理与方法)里面分析应该有系统误差存在

那么现在我们求全长的综合误差,它有n个尺段,那么距离总长S就是n尺段之和了

那这个就是每个尺段都包含有系统误差、偶然误差,那就考虑综合误差

所以各尺段长是相等的,而综合误差的影响前面我们得到了这样的结论

那我们就看这里面的这个系数k都是1,L的偶然误差对应的中误差是什么?

是σ,系统误差是ε,那我们就可以直接往里代了呀

偶然误差、系统误差我们对应的都有,往里代我们得到全长的综合误差的方差

就是 n*σ^2+(n*ε)^2,这不是求和吗?你怎么变成了这种形式呢?

因为我们说这个求和的话,每一个测段它是相等的呀,所以我们用总长S/L

得到的就是n嘛,所以这个就是这种形式就是n倍的,当然你直接用原来的式子表达也可以

也可以表达成S/L,这是我们两种表达形式,就是这个问题我们就解决了

以上就是关于系统误差传播,我们讲的这样几个问题

到此呢,我们第1章就全部结束了,那下一讲我们就学习平差的数学模型

首先就是测量平差概述部分

谢谢!

误差理论与测量平差课程列表:

第一章 测量误差及其传播律

-§1.1 测量误差及其分类

--内容提要

--测量误差

--课程的目的、意义及学习方法

--讨论1-为什么学习这门课程?

--讨论2-学习这门课的意义

--教材~1.1 观测误差及其分类

--教案~1.1 测量误差及其分类

-作业--§1.1 测量误差及其分类

-§1.2 偶然误差的概率特性

--内容提要

--偶然误差的概率特性

--讨论-偶然误差特性之间的关系

--教材~1.2 偶然误差规律性

--教案~1.2 偶然误差的概率特性

-作业--§1.2 偶然误差的概率特性

-§1.3 精度及其衡量指标

--内容提要

--衡量精度的指标

--精度、准确度、精确度

--讨论--精度、准确度、精确度

--教材~1.3 衡量精度的指标

--教案~1.3 衡量精度的指标

-作业--§1.3 精度及其衡量指标

-§1.4 协方差传播律

--内容提要

--协方差与相关

--协方差传播律的概念

--线性函数的协方差传播(一)

--线性函数的协方差传播(二)

--非线性函数的协方差传播

--协方差传播律的应用

--讨论1-协方差传播律的不同表达

--教材~1.4 协方差传播律及其应用

--教案~1.4 协方差传播律

-作业--§1.4 协方差传播律

-实验1 Excel中的矩阵运算

--实验1-excel中的矩阵运算

--教案~实验一

-§1.5 权与常用的定权方法

--内容提要

--权与单位权

--测量中常用的定权方法

--讨论1-权的意义

--讨论2-常用定权方法的特点

--教材~1.5 权与常用的定权方法

--教案~1.5 权与常用的定权方法

-作业--§1.5 权与常用的定权方法

-§1.6 协因数及其传播律

--内容提要

--协因数阵

--协因数传播律

--讨论1-协因数传播律的表述

--讨论2-协方差传播律与协因数传播律的关系

--讨论3-中误差、协因数与权三者之间的作用和关系

--教材~1.6 协因数与协因数传播律

--教案~1.6 协因数传播律

-作业--§1.6 协因数及其传播律

-实验2 MATLAB的矩阵运算

--实验二 MATLAB的矩阵运算

--教案~实验二

-§1.7 由真误差计算中误差及应用

--内容提要

--由真误差计算中误差

--由真误差计算中误差的实际应用

--讨论1-不等精度的观测值化为等精度

--讨论2-双观测值的特点及作用

--教材~1.7 由真误差计算中误差及应用

--教案~1.7 由真误差计算中误差及其应用

-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用

-§1.8 系统误差的传播

--内容提要

--系统误差的传播

--讨论-系统误差的传播

--教材~1.8 系统误差的传播

--教案~1.8 系统误差的传播

-作业--§1.8 系统误差的传播

第二章 平差的数学模型与最小二乘原理

-§2.1 测量平差概述

--内容提要

--测量平差概述

--讨论1-测量几何模型确定

--讨论2-多余观测作用

--教材~2.1 测量平差概述

--教案~1.1 测量平差概述

-作业--§2.1 测量平差概述

-§2.2 测量平差的数学模型

--内容提要

--条件平差函数模型

--附有参数的条件平差函数模型

--间接平差函数模型

--附有限制条件的间接平差函数模型

--测量平差的函数模型对比分析与随机模型

--讨论-5种函数模型之特点

--教材~2.2 测量平差的数学模型

--教案~2.2 测量平差的数学模型

-作业--§2.2 测量平差的数学模型

-§2.3 函数模型的线性化

--内容提要

--测量平差函数模型的线性化

--讨论-泰勒公式的应用

--教材~2.3 函数模型的线性化

--教案~2.2 测量平差函数模型线性化

-作业--§2.3 函数模型的线性化

-§2.4 最小二乘原理及其应用

--内容提要

--最小二乘原理

--最小二乘原理在测量平差中的应用

--讨论-最小二乘的含义

--教材~2.4 最小二乘原理及其应用

--教案~2.4 最小二乘原理及其在测量平差中的应用

-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用

第三章 条件平差

-§3.1 条件平差原理

--内容提要

--平差值求取原理

--条件平差的计算步骤

--水准网算例

--讨论1-条件平差的产生

--讨论2-基础方程的建立

--教材~3.1 条件平差原理+精度评定

--教案~3.1 条件平差原理

-作业--§3.1 条件平差原理

-§3.2 条件方程

--内容提要

--不同类型控制网条件方程数的确定

--水准网条件方程

--自由测角网条件方程

--附合测角网条件方程

--测边网条件方程

--讨论1-条件方程的种类

--讨论2-条件方程的不唯一性

--教材~3.2 条件方程

--教案~3.2 条件方程

-作业-§3.2 条件方程

-§3.3 导线网条件平差计算

--内容提要

--导线条件平差方程数的确定

--附合导线方位角条件方程

--附合导线坐标条件方程

--单一闭合导线条件方程

--导线条件平差的定权方法

--导线条件平差实例

--讨论-导线的条件方程特点

--教材~3.3 导线网条件平差

--教案~3.3 导线网条件平差

-作业--§3.3 导线网条件平差计算

-§3.4 精度评定

--内容提要

--条件平差单位权中误差的计算

--条件平差模型中的协因数阵

--条件平差方法中平差值函数的协因数阵

--讨论1-精度评定的范畴

--讨论2-精度评定与协方差/协因数传播律的关系

--教材~3.4 条件平差的精度评定

--教案~3.4 精度评定

-作业--§3.4 精度评定

-§3.5 附有参数的条件平差

--内容提要

--附有参数的条件平差原理

--附有参数的条件平差的精度评定

--附有参数的条件平差计算实例(1)

--讨论-附有参数的条件平差与条件平差的区别与联系

--教材~3.5 附有参数的条件平差

--教案~3.5 附有参数的条件平差

-作业--§3.5 附有参数的条件平差

-§3.6 条件平差估值的统计性质

--内容提要

--条件平差估值的统计性质

--讨论-平差成果具有的统计性质

--教材~3.6条件平差估值的统计性质

--教案~3.6 条件平差估值的统计性质

-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质

第四章 间接平差

-§4.1 间接平差原理

--内容提要

--间接平差--求平差值一般原理

--间接平差计算步骤

--讨论1-间接平差与附有参数的条件平差的区别

--讨论2-间接平差的特征

--教案~4.1 间接平差原理

-作业--§4.1 间接平差原理

-§4.2 误差方程

--内容提要

--参数选取

--测角网观测方程的组成

--测角网误差方程

--测边网观测方程组成

--测边网误差方程

--边角网间接平差算例

--讨论-间接平差与条件平差的比较

--教材~4.2 误差方程

--教案~4.2 误差方程

-作业--§4.2 误差方程

-§4.3 精度评定

--内容提要

--单位权中误差及协因数的计算

--参数函数的精度评定

--讨论-间接平差法精度评定的方便性

--教材~4.3 精度评定

--教案~4.3 精度评定

-作业--§4.3 精度评定

-§4.4 附有限制条件的间接平差

--内容提要

--附有限制条件的间接平差原理

--附有限制条件的间接平差的精度评定

--附有限制条件的间接平差实例

--附有限制条件的间接平差公式汇编

--讨论-附有限制条件的间接平差

--教材~4.4 附有限制条件的间接平差

--教案~4.4 附有限制条件的间接平差

-作业--§4.4 附有限制条件的间接平差

-§4.5 间接平差估值的统计性质

--内容提要

--间接平差估值的统计性质(一)

--间接平差估值的统计性质(二)

--间接平差估值的统计性质(三)

--讨论-四种平差方法的统一性

--教材~4.5 间接平差估值的统计性质

--教案~4.5 间接平差的统计性质

-作业--§4.5 间接平差估值的统计性质

-实验3 科傻平差软件简介

--实验三—科傻平差软件简介

--教案~实验3

第五章 误差椭圆

-§5.1 概述

--内容提要

--点位真误差

--点位方差

--讨论1-点位中误差的特质

--讨论2-点位中误差的局限性

--教材~5.1 概述

--教案~5.1概述

-作业--§5.1 概述

-§5.2 点位误差

--内容提要

--点位中误差的计算

--任意方向φ上的位差

--位差的极大值和极小值

--以极大值E和极小值F表达任意方向上的位差

--讨论1-任意方向上的位差(中误差)

--讨论2-点位位差极大值与极小值的计算

--教材~5.2 点位误差

--教案~5.2 点位误差

-作业--§5.2 点位误差

-§5.3 误差曲线

--内容提要

--误差曲线

--讨论-误差曲线的特征

--教材~5.3 误差曲线

--教案~5.3 误差曲线

-作业--§5.3 误差曲线

-§5.4 误差椭圆

--内容提要

--误差椭圆

--误差椭圆实例

--讨论-误差椭圆与误差曲线

--教材~5.4 误差椭圆

--教案~5.4 误差椭圆

-作业--§5.4 误差椭圆

-§5.5 相对误差椭圆

--内容提要

--相对误差椭圆

--讨论-误差椭圆与相对误差椭圆

--教材~5.5 相对误差椭圆

--教案~5.5 相对误差椭圆

第六章 误差分布与平差参数的统计假设检验

-§6.1 概述

--内容提要

--误差分布与平差参数的假设检验概述

--讨论-两类错误

--教材~6.1 概述

--教案~6.1 概述

-作业--§6.1 概述

-§6.2 常用的参数假设检验方法

--内容提要

--u检验方法

--t检验法

--χ2检验法

--F检验法

--讨论-常用假设检验的适用性

--教材~6.2 常用的参数假设检验方法

--教案~6.2 常用的参数假设检验方法

-作业--§6.2 常用的参数假设检验方法

-§6.3 误差分布的假设检验

--内容提要

--误差分布的假设检验(一)

--误差分布的假设检验(二)

--讨论-误差分布检验的用途

--教材~6.3 误差分布的假设检验

--教案~6.3 误差分布的假设检验

-作业--§6.3 误差分布的假设检验

-§6.4 平差参数的显著性检验

--内容提要

--平差参数显著性检验概述与检验方法

--平差参数显著性检验实例

--讨论-平差参数检验与常用参数检验

--教材~6.4 平差参数的显著性检验

--教案~6.4 平差参数的显著性检验

-作业--§6.4 平差参数的显著性检验

-§6.5 后验方差的检验

--内容提要

--后验方差检验的基本思想

--后验方差检验的实例

--讨论-后验方差检验的用途

--教材~6.5 后验方差的检验

--教案~6.5 后验方差的检验

-作业--§6.5 后验方差的检验

第七章 近代平差

-§7.1 序贯平差

--内容提要

--序贯平差原理

--序贯平差精度评定

--序贯平差实例

--讨论-序贯平差的增益矩阵

--教材~7.1 序贯平差

--教案~7.1 序贯平差

-作业--§7.1 序贯平差

-§7.2 秩亏自由网平差

--内容提要

--秩亏自由网概述

--秩亏自由网平差的直接解法

--秩亏自由网平差的附加条件解法

--秩亏自由网平差的精度评定

--秩亏自由网平差实例

--讨论1-秩亏自由网概念

--讨论2-秩亏自由网平差的准则

--教材~7.2 秩亏自由网平差

--教案~7.2 秩亏自由网平差

-作业--§7.2 秩亏自由网平差

-§7.3 附加系统参数的平差

--内容提要

--附加系统参数的平差

--附加系统参数的平差实例

--讨论-附加系统参数的平差的特征

--教材~7.3 附加系统参数的平差

--教案~7.3 附加系统参数的平差

-作业--§7.3 附加系统参数的平差

-§7.4 方差分量估计

--内容提要

--赫尔默特方差分量估计原理

--赫尔默特方差分量估计应用

--讨论-方差分量估计的意义

--教材~7.4 方差分量估计

--教案~7.4 方差分量估计

-作业--§7.4 方差分量估计

系统误差的传播笔记与讨论

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