当前课程知识点：数值分析 > 第六章 函数逼近 > 6.3 正交多项式 > 正交多项式
各位同学 大家好
我是北京理工大学的朱国庆老师
前面已经给大家介绍过了
离散数据的最小二乘拟合问题
下面给大家介绍
复杂函数的最小二乘拟合问题
我们在此之前
给大家引入一个正交多项式的概念
首先看一下数学当中的这个概念怎么说的
如果一个函数系Φ0(x) Φ1(x) Φ2(x)...Φn(x)
它满足Φj跟Φk做内积
然后这个内积的定义
是通过ω乘上Φj和Φk
然后在a b之上做一个定积分
这里面了如果j跟k相等的时候
我们取一个正值αk
它是个大于0的
然后j跟k不相等的时候
我们取成0
如果满足这个条件的
这一组函数系我们称之为区间[a,b]之上
关于权函数ω(x)
它的一个正交函数系
这里面αk如果等于1的话
我们叫做标准正交函数系
有的书上也叫做单位正交函系
这里面我们可以给大家举一个例子
大家知道的傅里叶级数展开的时候
那组基{1,cosx,sinx,cos2x,sinx2x...}
一直可以无穷展开下去
这个在傅里叶级数当中大家已经学过的
它这一组基其实就是在0到2π之上
这个区间之上
关于权函数ω=1的一个正交函数系
当然了这个正交函数系
这个函数可以是任意的
我们找一些特例
这个Φi如果都是代数多项式的话
我们就称之为正交多项式系
为了后面的应用
我们关于正交多项式系
给大家介绍几个定理
第一个
书上是定理6.2
在区间[a,b]之上如果能够找到
权函数ω(x)的正交函数系的话
那么这个正交函数系一定是线性无关的
什么叫做线性无关呢
这个线性无关就是你这个
函数系当中任意找一个函数
它都不能通过其它的函数
给它线性表述出来
既然是不能
我们就可以尝试一下采用反证法
假设Φ0 Φ1 Φ2...Φn
这里一共是n+1个函数
它们是线性相关的
那么存在不全为0的实数
c0 c1...cn n+1系数
使得[a,b]的任一个点x
c0Φ0(x)+c1Φ1(x)+c2Φ2(x)+...+cnΦn(x)
它是恒等于0的
我们这里面既然不全为0
我们可以假设ci不等于0
那么我们拿ω(x)Φi(x)去乘上式的左边右边
右边当然就等于0了
然后这个左边就是
c0(Φ0,Φi) c1(Φ1,Φi) cn(Φn,Φi)
这里面因为是正交函数系
所以除了(Φi Φi)之外
其它的全都是等于0的
那么左边就等于ci(Φi Φi)
也就等于右边等于0
我们知道(Φi Φi)是大于0的
所以这里面ci就只能等于0了
这与我们的假设是矛盾的
所以对应的
我们这个正交函数系
必须是线性无关的
我们再来看一个定理
这个定理是说
如果Φk(x)
这个k从0 1 2
当然也可以取比较大的一个自然数
是最高次项系数不为0的k次多项式
那么Φk(x)是[a,b]之上
关于权函数ω(x)的正交多项式的充要条件是
对于任意至多k-1次的多项式Qk-1(x)
那么Φk都与这个Qk-1(x)是正交的
这个可以给大家再做进一步的解释就是
Qk是个k次多项式
Qk-1是低于k次的
比如说k-1次 k-2次
一直到2次 1次 0次的低次多项式
它的一个线性组合
那么Φk与Qk-1的正交
其实就意味着Φk与低次多项式
它们之间是正交关系
这个里面的结论似乎是显然的
因为我们讨论这种问题的时候
这一组正交基就是Φ0 Φ1 Φ2...Φn
这里面你高次多项式跟低次多项式的正交
应该就是显然的
但是为了严谨起见
我们给一个证明
因为是充要条件
首先是充分性
我们对任意至多的k-1次的多项式Q(k-1)
首先我们把这个Q(k-1)取成特殊的情况
也就取成前面的低次的基函数
Φj(x)的形式
那么Φk跟Φj是正交的
这是显然的
这个结论当然就成立了
再来看它的必要性
我们假设{Φk(x)}是[a,b]区间上
关于权函数Φ(x)正交基多项式的话
那么前面的定理是说
Φ0 Φ1 Φ2...Φk-1
在这个区间线性无关的
也就是说对任意至多的k-1次的多项式
Qk-1都能表示成线性组合的形式
那么我们就把这个Qk-1
写成前面的Φ0 Φ1 Φ2 Φk-1
也就是低次基函数的组合的形式
组合系数写成bj
那么按照前面的那个讨论的过程
Φk与Φj是正交的
所以这个定理证明就完成了
关于这种正交多项式
性质既然这么好用
那么我们是不是可以
有一个构造正交多项式的方法呢
书上给了一个定理
这是定理6.4
是这么描述的
按以下方式定义的多项式集合
{Φ0,Φ1,Φ2,...,Φn}
其实是[a,b]区间之上
关于权函数ω(x)的一个正交多项式系
这里面第1项
第1个基函数Φ0(x)取成1
第2个Φ1(x)取成x-α1
然后这个α1的定义在下面
然后Φk(x)实际上是x-αk
然后Φk-1(x)
再减掉βk
然后Φk-2x
这里αk βk的计算都在下面写着
其实这一部分
这个格拉姆·施密特正交化的这个方法
在高等代数的内积函数这一章当中
其实有比较详尽的介绍
我们就不给大家在这里展开了
我们这里只给大家介绍
正交多项式有一些特殊的例子
也就是几个常用的正交多项式
我们给大家介绍第一类
叫做Legendre多项式的这个形式
第1项是P0(x)=1
第二个函数是P1(x)=x
后面的每一个函数pn(x)
这个形式表达式好像是挺复杂的
我们首先看一下它的这个性质
第1个 pn(x)这个函数
是在[-1,1]这个区间之上
一般我们叫做参考单元之上
在这个[-1,1]区间之上
这样关于权函数ω(x)=1的正交函数系
这个形式上而言
Pm跟这个pn和pm的内积
相等的时候是2n+1分之2
不相等的时候都取成0
关键是第2个性质
就是这个pn(x)满足递推公式
也就是后面一个Pn+1
可以通过pn和pn-1给算出来
这个Legendre多项式
前面的几项的具体形式
给大家展示一下
p0(x)=1 p1(x)=x
p2(x)=1/2(3x^2-1)
P3(x)是1/2(5x^3-3x)
如果区间[-1,1]
推广到这个[a,b]区间之上的话
我们可以做一个线性变换
把这个正交多项式
推广到这个[a,b]区间上的
这个正交多项式当中去
给大家介绍第二个正交多项式
叫做第1类Chebyshev多项式
这个多项式的写法是这样的
第1个基函数是T0(x)=1
第2个基函数T1(x)=x
后面Tn(x)是cos(narccos x)
这个形式一般来说
Tn(x)是首项系数为2的n-1次方的
一个n次多项式
它满足的性质是[-1,1]这个区间之上
权函数取根号下1-x平方分之1
那么这个Tn(x)构成了一个正交函数系
具体的值在下面有一个清晰的写法
不给大家多说了
第2个性质是说这个Tn(x)
你知道了T0和T1之后
可以构造出来T2(x)
然后有T1 T2还可以再构造出来T3(x)
也就是所谓的递推公式的这个形式
第三个要给大家介绍常用的正交多项式系
是拉盖尔多项式
L0(x)=1 L1(x)=-x+1
Ln(x)这个形式看起来也比较复杂
但是了它也有一个比较好的性质
第e个Ln(x)是0到正无穷之上
关于权函数ω(x)=1的负x的正交函数系
记住这里面这个积分的话
因为区间是0到正无穷
所以这个积分应该是
0到正无穷上的一个广义积分
第2个性质ln(x)也是满足了一个递推关系
我们这个如果想算这个L2的话
可以通过L0和L1的递推得到
然后算L3的话可以通过
L2和L1的一个递推得到
好 本节的内容分享到此结束
-1.1 误差的概念
--误差的概念
-1.2 误差的传播
--误差的传播
-第一章 习题
--第一章 习题
-2.1 Gauss消去法
--Gauss消去法
-2.2 矩阵的三角分解
--矩阵的三角分解
-2.3 直接三角分解法
--直接三角分解法
-2.4 平方根法和改进的平方根法
-2.5 误差分析（1）向量和矩阵范数
-2.6 误差分析（2）条件数
-第二章 习题
--第二章 习题
-3.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法
-3.2 迭代法收敛性的判别
-3.3 误差分析
--误差分析
-第三章 习题
--第三章 习题
-4.1 幂法
--幂法
-4.2 反幂法
--反幂法
-第四章 习题
--第四章 习题
-5.1 多项式插值理论
--多项式插值理论
-5.2 Lagrange 插值多项式
-5.3 Newton 插值多项式（1）差商型
-5.4 Newton 插值多项式（2）差分型
-5.5 分段线性插值
--分段线性插值
-5.6 Hermite 插值
-第五章 习题
--第五章 习题
-6.1 数据拟合的最小二乘法（1）多项式拟合
-6.2 数据拟合的最小二乘法（2）其他函数拟合
-6.3 正交多项式
--正交多项式
-6.4 函数的最佳平方逼近
-第六章 习题
--第六章 习题
-7.1 数值微分
--数值微分
-7.2 Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式
--Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式
-7.3 Newton－Cotes求积公式（2）误差估计
-7.4 复化求积公式
--复化求积公式
-7.5 Romberg求积公式、Gauss型求积公式
-第七章 习题
--第七章 习题
-8.1 Romberg求积公式、Gauss型求积公式
-8.2 简单迭代法的加速、牛顿法与弦截法
-第八章 习题
--第八章 习题
-9.1 常微分方程数值解法概述
-9.2 Euler方法及其改进方法
-第九章 习题
--第九章 习题
