当前课程知识点：微积分I >  第四章 中值定理与导数的应用 >  4.1 中值定理 >  4.1.6 柯西中值定理

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4.1.6 柯西中值定理在线视频

下一节:4.2.1 洛必达法则--0/0型

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4.1.6 柯西中值定理课程教案、知识点、字幕

同学们好

今天我们来学习柯西中值定理

先看定理的内容

设函数f(x)及g(x)满足条件

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间(a,b)内可导

（3）在(a,b)内任何一点处g'(x)均不为零

则至少存在一点ξ∈(a,b)内 使得

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)

从定理的内容来看

柯西中值定理中出现了两个函数

但是我们发现只需要令定理中的g(x)=x

柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理

由此可见

拉格朗日中值定理

是柯西中值定理中

当g(x)=x时的特殊情形

回顾前面罗尔定理和拉格朗日中值定理的关系

我们发现三个定理有着逐步推广的关系

也就是说

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广

而柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广

下面我们来证明柯西中值定理

既然柯西中值定理就是把拉格朗日中值定理中的x一般化为g(x) 了

所以只需要在拉格朗日中值定理的证明中把x换成g(x) 即可

首先把结论变形为

[g(b)-g(a)]f'(ξ)-[f(b)-f(a)]g'(ξ)=0

构造辅助函数

F(x)=[g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)

辅助函数的连续可导性是显然的

下面验证F(a)=F(b)

F(a)=[g(b)-g(a)]·f(a)-[f(b)-f(a)]·g(a)=f(a)g(b)-f(b)g(a)

F(b)=[g(b)-g(a)]·f(b)-[f(b)-f(a)]·g(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)

这样就完成了定理的证明

下面我们来看定理的几何意义

令x=g(t) y=f(t) (a≤t≤b)

确定一个函数y=φ(x)

令A(g(a),f(a)) B(g(b),f(b))

则[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]为弦AB所在直线的斜率

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=f'(t)/g'(t)

所以f'(ξ)/g'(ξ)恰好是t=ξ处曲线上切线的斜率

这样我们就得到函数曲线上t=ξ处的切线

平行弦AB所在的直线

因此

我们得到三个中值定理的几何意义其实是一样的

就是连续光滑的曲线上存在平行于弦的切线

下面我们看个例子

设0＜a＜b

函数f(x)在[a,b]上连续

在[a,b]内可导证明存在ξ∈(a,b)

使f(ξ)-ξf'(ξ)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)

为了应用柯西中值定理

我们把要证明等式的右端改写成如下形式

[bf(a)-af(b)]/(b-a) =[f(b)/b-f(a)/a]/(1/b-1/a)

通过观察

我们需要另两个辅助函数

F(x)=f(x)/x G(x)=1/x

则F(x)和G(x)在[a,b]上

满足柯西中值定理的条件

故存在ξ∈(a,b)

使F'(ξ)/G'(ξ)=[F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=[bf(a)-af(b)]/(b-a)

我们再分别求得F(x)和G(x)的导数

F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²

G'(x)=-1/x²

带入上面的式子就得到

f'(ξ)-ξf'(ξ)=F'(ξ)/G'(ξ)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)

最后我们做个小结

今天讲了三点

(1) 柯西中值定理

(2) 三个定理的关系

(3) 三个定理的几何意义的统一

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.1.6 柯西中值定理笔记与讨论

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