当前课程知识点：微积分I > 第三章导数与微分 > 3.1 导数的概念 > 3.1.6 分段函数的导数

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3.1.6 分段函数的导数在线视频

下一节:3.2.1 导数的四则运算（1）

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3.1.6 分段函数的导数课程教案、知识点、字幕

大家好

今天我们来学习分段函数的导数的计算

我们把问题分成两个小问题

情况一

分段函数y=f(x)

在x=x₀这一点处的可导性

在讨论分段函数

在分段点的可导性时

我们主要依据题目来选择方法

如果函数的分段点左右两侧的表达式相同时

就用导数的定义来求

而如果函数的分段点左右两侧的表达式不同

就用左右导数的定义来判别

下面来看对应的例题

例1设f(x)

当x≠0的时候

表达式是x²sin(1/x)

x=0的时候是0

讨论f(x)在x=0这一点处的可导性

观察这题发现

它刚好是我们所讲到的

在x=0的左右两侧表达式相同的情况

所以直接根据导数的定义来计算

我们写出x→0

(f(x)-f(0))/x

把f(x)的表达式代进去

注意到f(0)=0

我们的表达式里面上下把x约掉

当x→0的时候

xsin(1/x)

这个式子的极限它就是0

这里用到的知识点是

无穷小乘有界函数结果是无穷小

我们就算出

f在0这一点处的导数等于0

f(x)在X=0

这一点处可导

下面看一个分段点左右两侧函数的表达式

不同的例题

例题2

设x<0的时候

f(x)=-x

x≥0的时候

f(x)=x²

讨论f(x)在x=0

这一点处的可导性

那么这一个例子我们就应该用分段点的

左右导数是否相等来判别

当x=0的时候

f在0这一点处的左导数我们写出来

是这个表达式

那么分子里面我们要把f(x)取成是-x

f在0这点处的值是0

那么上下把x约掉

我们算出左导数是-1

那么它在0这一点处的右导数呢

右导数用导数的定义写出来是

(f(x)-f(0))/(x-0)

让x→0⁺取极限

注意到f(x)的表达式

现在是x² f(0)是0

所以我们算出它在0这一点处的右导数是0

由于左右导数不相等

所以f(x)在x=0这一点处不可导

所以归纳起来在判断分段函数

在分段点的可导性时

应该从导数的定义出发

求增量之比的极限

依据极限是否存在

来判断函数在该点的可导性

当函数在分段点两侧的函数

表达式不同的时候

应该分别求出函数

在该点处的左右导数

看其是否存在并相等

从而决定函数在该点的可导性

情况二

求分段函数y=f(x)的导数时

只有分段点的导数用定义来求

其余点仍然按

初等函数的求导公式计算就可以了

例题3 求分段函数的导数

当x≥0的时候

f(x)=ln(1+x)

x<0的时候

f(x)=x

那么下面我们去计算导数

当x>0的时候利用求导公式

f'(x)=1/(1+x)

当x<0的时候

f'(x)就等于对x求导 x的导数就是1

当x=0的时候

f的导数我们用定义写出来

它的表达是

可以看到

所以f在0这一点处的左导数就等于

lim(x→0⁻) (x-0)/x

算出这一个极限

就等于1

f在0一点处的右导数

注意到x≥0的时候

f(x)是等于ln(1+x)的

所以把分子的f(x)用ln(1+x)来替代

在这一个极限的计算过程当中

把分母的x拿到对数的真数上面去

变成是ln(1+x)∧(1/x)

根据第二个重要极限

ln的表达式里面的极限就是e

从而算出

f在0这一点处的右导数就等于1

由于f在0这一点处的左右导数存在并且相等

f'(0)=1

所以f的导数

它最终的结果我们就把它计算出来了

最后我们小结一下今天的内容

分段函数的求导问题

它的关键所在就是分段点的求导

最后

我们留一个思考题

请同学们课后完成

具体的求解方法请参考例题3

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言课程介绍

-微积分简要介绍

第一章函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一函数图形

第二章极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二求极限

第三章导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三求导数

第四章中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四求函数最值

第五章不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

3.1.6 分段函数的导数笔记与讨论

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