当前课程知识点:工程热力学(下) > 第10章 热力学微分关系式及实际气体的性质 > 10-3 数学基础 > Video 10-3 数学基础
在推导热力学微分关系式的时候
要用到一些数学关系
那么我们一起来看看
我们会用到哪些数学关系呢
那么首先是全微分条件
全微分我们在前面讲过
那么热力学参数它是状态参数
在数学上又叫做点函数或者说态函数
那么对于点函数或者说态函数
或者说我们热力学里面的状态参数
那么它可以写成全微分的
比如说 当z是x和y的函数的时候
那么 它的全微分可以写成这种形式
然后 我们把z对x求偏导
在y不变的条件下
这个量 我们用M来表示
然后后面那个z对y求偏导
在x不变的条件下
这个偏导数我们用N来表示
那么对于状态参数
或者说点函数或者说态函数
那么它的二阶混合偏微商
那么就应该是这样的一种关系
也就是说你M对y求偏导
在x不变的条件下
应该等于N对x求偏导
在y不变的条件下
这两个量应该是相等的
那么实际上也就是说
二阶偏导跟求偏导的顺序是没关系的
也就是说z对x先求偏导
然后再对y求偏导
还是说先对y求偏导
然后再对x求偏导
它俩是完全相等的
二阶偏导与求偏导的顺序没有关系
这是点函数或者说
我们的热力学状态参数的基本特点
我们用这个来检验一下我们的热量
热量是不是状态参数
我们知道热量不是状态参数
它是过程量 跟你这过程是相关的
同样的初终态经过不同的过程
这个热量有可能是不一样的
我们用状态参数的基本特点来检验它
看它满足不满足这样一个条件
如果不满足它肯定不是状态参数了
首先我们来看热力学第一定律
δQ=du+pdv
这是我们热力学第一定律的表达式
然后对于内能
内能可以写成比容和温度的函数
因为你上面有个dv比容
然后我们把第一个表达式中的du
用du的全微分来进行替换
然后带进去进行整理
把同类项进行合并
然后这δQ就等于一个中括号
然后乘以dv
然后再加上一个偏导数再乘以dT
然后我们把du前面的那个量
用M来表示
然后dT前面那量用N来表示
然后我们对M求偏导
也就是说我们这M对温度求偏导
在比容不变的条件下
然后因为是两项
所以你这偏导数也是两项
然后我们再对N求偏导
对N让它对V求偏导
在温度不变的条件下
这实际上就是那两个偏导数
然后你再看这两个偏导数它是否相等
这两个偏导数相等吗
我们来看左侧的那个比右侧多一项
压力对温度的偏导
在比容不变的条件下它不等于0
它不等于0
那就说这两个二阶偏导彼此是不等的
那么不等的说明什么呢
说明你这δQ它不是全微分
那么也就是说这Q不是状态参数
我们知道热量都是要经过一个过程
然后它跟外界交换多少热量 对吧
不可能说哪一个点
在这一个点它跟外界交换了多少热量
在某一个状态点跟外界交换
这是没有物理意义的
所以我们说热量它一定是过程量
而不是状态参数
我们通过利用状态参数的全微分条件
也确实证明了它
它不满足这样一个条件
所以它不是状态参数
然后我们再来看一下常用的
其它的状态参数之间的数学关系
那么首先那是倒数式
也就是说x对y求偏导
在z不变的条件下 它等于什么呢
等于y对x求偏导
在z不变条件下的倒数
这个非常好理解 这是一个
还有一个循环式
x对y求偏导在z不变条件下
乘以y对z求偏导在x不变条件下
再乘以一个z对x求偏导
在y不变条件下
它们这三个乘起来应该等于-1
这是循环式
然后还有链式
这三个偏导的下标都是一样的
但是偏导的顺序是不一样的
x对y求偏导乘以y对z求偏导
然后乘以z对x求偏导
有顺序的一个变化 替换
那么它相乘应该是等于1的
这个叫链式
还有一个这个稍微复杂点不同下标式
那么这几个数学关系式
我们后面推热力学微分关系式的时候
要用到
当然这也不要求大家去记
能够理解就可以
然后我们来看一下
这是我们上一小节说的
我们那四个特征函数
那么这由四个特征函数
可以推导出来一些重要的关系式
首先我们来推导麦克斯韦关系式
那么一共有四个特征函数
我们一个一个来推
首先先来看关于内能的
du=Tds-pdv
那么麦克斯韦关系式怎么推呢
它就用我们刚刚介绍的
状态参数的全微分条件
二阶偏导与求偏导的顺序没有关系
那么我们把ds前面这个量T
用M来表示
然后dv前面这个量-p用N来表示
那么全微分条件
那么你M对V求偏导
在s不变的条件下
应该等于N对s求偏导
在v不变的条件下
那么我们把它具体地代进去
就得到了这样的一个关系式
也就是说温度对比容求偏导
在熵不变的条件下
应该等于负的压力对熵求偏导
在比容不变的条件下
这个就是麦克斯韦关系
当然这是由内能的特征函数推出来的
那么对于焓的那个我们也可以推
然后关于亥姆霍兹函数的
那个特征函数我们也可以推出来
还有吉布斯函数的那个
我们也可以推出来
类似的推导我们就不去推了
那么有四个吉布斯函数
所以最后可以有四个麦克斯韦关系式
我们暂时在这
然后你再看这四个麦克斯韦关系式
它有什么共性的东西
我们来看各个关系式的左侧
找共性的东西 共性的是什么
左侧各自都含有熵的偏微分
那么这个熵
可能是在上面 可能是在下面
那么实际上麦克斯韦关系式
它建立了无法用实验测量的参数熵
与可以测量的状态参数p v T
之间的关系
你看这个右侧就是压力 温度 比容
当然是一个偏导数的关系
所以麦克斯韦关系式
它建立了无法用实验测量的参数熵
与易测参数p v T之间的数学关系
这是麦克斯韦关系式
然后我们再回到我们特征函数这块
那么由特征函数
我们还可以推导偏导数
我们还是以第一个
关于内能的特征函数来进行推导
那么内能它是熵和比容的函数
所以它可以写成全微分
我们用绿色的式子表示的
然后这两个式子的左侧都是du
那么右侧各自两项
然后这两项一个是ds一个是dv
前面有系数
那么这个ds前面的系数
以及dv前面的系数应该怎么样
应该分别相等 那么也就是这样
也就是说内能对熵求偏导
在比容不变的条件
它应该是等于温度的
那么关于压力这也有一个
那我们看一下这个
一个特征特征函数
可以推出来两个偏导数
我们一共有四个特征函数
所以就有了八个偏导数
那么这个偏导数
还有刚才的麦克斯韦关系式
在我们后面推导
热力学微分关系式的时候
有非常重要的作用
那么在这儿 希望大家能够记住
我们这四个特征函数
一个是du=Tds-pdv
然后dh=Tds+vdp
这是我们前面的热力学恒等式
后面两个亥姆霍兹函数和吉布斯函数
实际上它是有规律的
你看内能和亥姆霍兹函数
它俩的右侧的第二项是完全一样的
然后右侧的第一项那个熵跟温度
替换了一下位置前面加一个负号
然后吉布斯函数跟焓的那个
也是类似的
只是温度跟熵对换了一下位置
然后前面加了一个负号
总之这四个特征函数
是要求大家记住的
那么这一小节的主要内容
实际上刚才有说过
这四个特征函数是非常重要的
du dh df dg
它的表达式是什么样的
要求大家要记住
那么对于麦克斯韦关系式
还有偏导数我们后面会用
那么这个推导很简单
那么对于麦克斯韦关系式
利用状态参数全微分的条件
然后是偏导数利用这个
写出全微分然后对比系数来推导
所以对于麦克斯韦关系式和偏导数
不要求大家去记具体的形式
但是你要会推
你只要知道特征函数
然后知道各自的麦克斯韦关系式
和偏导是怎么推的那你就可以了
就可以怎么推了 是吧
所以这一小节的重点是这样的
记住四个偏导数
然后会推麦克斯韦关系式
所以这一小节的重点是
大家要记住四个特征函数
那么一个是du的 一个是dh
然后一个df 一个dg
也就是内能 焓
亥姆霍兹函数 吉布斯函数
那么对于麦克斯韦关系式和偏导数
要求大家会推导
不一定记它的这种具体的形式
会推就可以
-6-0 导引
-6-0 作业
-6-1 纯物质的热力学面及相图
-6-1 作业
-6-2 汽化与饱和
-6-2 作业
-6-3 水蒸气的定压发生过程
-6-3 作业
-6-4 水及水蒸气状态参数的确定及其热力性质图表
-6-4 作业
-6-5 水蒸气的热力过程
-6-5 作业
-第6章 章节小测验
-7-1 概述
-7-2 朗肯循环
-7-2 作业
-7-3 实际蒸汽动力循环分析
-7-3 作业
-7-4 蒸汽再热循环
-7-4 作业
-7-5 蒸汽回热循环
-7-5 作业
-7-6 热电联产循环
-7-6 作业
-7-7 燃气-蒸汽联合循环
-7-7 作业
-7-8* 高效及绿色发电技术
-第7章 章节小测验
-8-0 导引
-8-0 作业
-8-1 空气压缩制冷循环
-8-1 作业
-8-2 蒸气压缩制冷循环
-8-2 作业
-8-3 热泵
-8-3 作业
-8-4* 热泵与节能环保
-8-5 吸收式制冷循环
-8-5 作业
-8-6 其他形式制冷循环
-8-6 作业
-8-7* 制冷剂与环保
-第8章 章节小测验
-9-0 导引
-9-0 作业
-9-1 混合气体的成分
-9-1 作业
-9-2 分压定律与分容积定律
-9-2 作业
-9-3 混合气体参数的计算
-9-3 作业
-9-4 理想气体的混合熵增
-9-4 作业
-9-5 湿空气及其状态参数
-9-5 作业
-9-6 湿空气的焓及熵
-9-6 作业
-9-7 比湿度的确定及湿球温度
-9-7 作业
-9-8 湿空气的焓湿图与热湿比
-9-8 作业
-9-9 湿空气的基本热力过程
-9-9 作业
-9-10* 环保节水型冷却塔简介
-第9章 章节小测验
-10-0 导引
-10-0 作业
-10-1 研究热力学微分关系式的目的
-10-1 作业
-10-2 特征函数
-10-2 作业
-10-3 数学基础
-10-3 作业
-10-4 热系数
-10-4 作业
-10-5 熵、内能和焓的微分关系式
-10-5 作业
-10-6 比热容的微分关系式
-10-6 作业
-10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数
-10-7 作业
-10-8 实际气体对理想气体性质的偏离
-10-8 作业
-10-9 维里方程
-10-9 作业
-10-10 经验性状态方程
-10-10 作业
-10-11 普遍化状态方程与对比态原理
-10-11 作业
-第10章 章节小测验
-11-1 概述
-11-1 作业
-11-2 热力学第一定律在反应系统中的应用
-11-2 作业
-11-3 化学反应过程的热力学第一定律分析
-11-3 作业
-11-4 化学反应过程的热力学第二定律分析
-11-4 作业
-11-5 理想气体的化学平衡
-11-5 作业
-11-6 热力学第三定律及绝对熵
-11-6 作业
-第11章 章节小测验
-期末考试