当前课程知识点:工程热力学(下) > 第9章 理想气体混合物和湿空气 > 9-4 理想气体的混合熵增 > Video 9-4 理想气体的混合熵增
那么接下来我们来讲一下
理想气体混合熵增
大家是否还记得
在第一章我们讲基本概念的时候
讲可逆与不可逆
我们曾经说过气体的混合
是一个典型的不可逆过程
那么我们现在就想来证明它
然后我们在第四章的时候
我们讲熵的时候
我们说熵变等于熵流加上熵产
那么熵流是什么
是由传热引起的 一将气混合
如果是有热量的话
那你这熵变没准是由传热引起的 是吧
那么我们把这传热因素剥离去
也就是说让它绝热
那么这时候只生产熵产
但如果说你这两个气体之间有压差
或者有温差的话
这时候也会导致熵的变化或者是产生
那么我们把这两个因素也去掉
也就是说在压力和温度相同的情况下
两个气体让它混合
那么这个时候如果说有熵变的话
那它就是完全由混合而产生的
所以我们来看一下同温同压下
也就是说压力相同温度相同的情况下
两种气体的混合
我们前面说了
它是一个典型的不可逆过程
我们现在来证明它
然后我们现在屏幕的左下角是示意图
一个绝热的一个刚性的容器
然后中间有个隔板
左侧是A气体 右侧是B气体
A气体我们用红色来表示
B气体我们用绿色来表示
然后当然它的压力和温度
这两者是完全一样的
然后这个摩尔数我们用XA来表示
然后B气体用XB来表示
但是它俩加起来恰好是1mol
这是为了推导方便
实际上你不等于1mol
最终结果也是完全类似的
我们只不过是为了推导方便
做这样一个处理而已
然后你把中间这隔板一抽掉以后
就变成我们屏幕中间的这个图
A和B就掺混在一起了
那么我们来推导一下
在这个过程中它的熵的变化
那么在推导之前我们先来看一下
内能的变化量
内能的变化量应该等于终态的内能
减去初态的内能
那么终态那是混合物
A和B在一起 是吧
初态两个单独存在的情况
然后我们知道内能它只跟温度相关
所以我们终态的内能A和B
各自在温度下的内能 是吧
初态当然也是各自在那温度下
而这前后的温度是不变的
所以这内能变化量
你最后推出来它是等于0的
在这个过程中
那么类似的你可以来推一下
焓的变化量 它也是等于0的
因为温度不变
然后我们再来看这个过程中
熵的变化量
我们知道熵是状态参数
那么熵的变化量就应该等于
终态的减去初态的
终态是混合物的状态
那么我们用Xa+b来表示
然后初态和各自存在的状态
在给定的压力温度下各自存在的状态
那么这个混合物的熵等于什么
我们刚刚讲过
理想混合气体它的熵等于什么
等于各个组元在分压力下的熵加起来
对吧 它应该等于
各个组元在分压力下的熵加起来
那么分压力我们用Pi来表示
当然对于A气体我们用PA来表示
然后B气体用PB来表示
我们还是为了看的更清楚
我们A气体用红色的来表示
然后B气体用绿色的表示 一目了然
那么混合物的熵分成两部分
A气体加上B气体
然后初态的熵各自的气体
当然前面给了你摩尔数XA XB代进去
就是总的熵
然后我们再整理一下
整理一下你看它等于什么呢
等于红色的是A气体的
那么它是XA
XA实际上就是它摩尔分数
因为它加起来恰好是等于1
然后这个括号里面是什么
是负的通用气体常数
然后乘以InPA比上P
B气体相应的它是PB比上P
PA是什么
是A气体的分压力
P是总压力
那这个比值是什么
就是它的摩尔分数
然后PB比上P呢
就是B气体的摩尔分数
那么也就是说同温同压下
理想气体进行混合之后
它的熵变等于什么
等于-RM然后乘以括号
A气体的摩尔分数乘以In然后XA
然后加上B气体的
摩尔分数乘以In摩尔分数XB
而括号里的
因为你摩尔分数是小于1的
所以取In以后果它是负的
然后前面还有一个负号
负负不就正了嘛
所以也就是同温同压下
理想气体混合它的熵变是大于0的
我们刚才是两个组元A和B
那么如果多组元类似的也可以推导
它最后的熵变等于什么
等于所有的各个组元的
摩尔分数乘以In摩尔分数加起来
跟前面这表达式完全类似的
最后它是大于0的
也就是说同温同压下理想气体混合
熵一定是增加的
那么我们对这个进行一个说明
这是我们刚才得到一个表达式放在这
那么第一点我们从这表达式
可以非常直观地看出来
混合熵增与什么有关
只与各个组元的摩尔分数有关
跟你气体是什么种类没有任何关系
因为气体的特性在这没有任何体现了
公式中所出现的只有这摩尔分数
所以我们说混合熵增
只跟各个组元的摩尔分数有关
比如说我们0.2kmol的氧气
与0.8kmol的氮气
在同温同压下混合成1kmol
这是一个混合
然后我们再来一个0.2kmol的氢气
与0.8kmol的氧气
在同温同压下进行混合
这两个混合不同种气体
分别进行两个混合
那你看这两个混合
它们的熵变怎么样
应该相等
因为摩尔分数是相等 是吧
所以它俩应该是相等的 这是一个
我们可以得出这样的一个结论
然后第二个
你同种气体同温同压下混合
是不是也可以用这公式来算
那么如果用这公式来算的话
那它就是大于0的了
但是我们从我们前面学过的知识
根据熵的广延性
同种气体同温同压下混合
它的熵增是等于0
那你这俩不矛盾吗 是吧
从表面上看是矛盾的
那肯定有哪块是有问题的
问题出在什么地方
问题出在什么地方呢
这实际上就是常说的吉布斯佯谬
好像是错误 对吧 吉布斯佯谬
那么这到底出在什么地方
我们同种气体放在一个容器
中间有个隔板
两面的压力温度都是一样
你给它打开然后混在一起
你想同种气体它有分压力的概念吗
或者说分压力的概念对它是不适用的
所以说
同温同压下
同种气体进行混合
它的熵变是等于0的
我们刚才推那公式是完全不适用的
因为对于同种气体
不适用分压力概念的
所以这概念它有它的内涵和外延的
不能随便地去用
那我们来举一个例子
我们刚才说是
同温同压下进行混合
我们现在进行一个等温混合
也就是说一开始
两个气体的压力不一样
那么它是什么样的呢 我们来看一下
左下角是我们的示意图
绝热的刚性容器
它一开始
那么氧气我们用红色来表示
那么它是0.6kmol
然后它的压力是0.5个兆帕
然后这个氮气用蓝色来表示
它是0.4kmol 然后0.8个兆帕
这个0.6加上0.4恰好是等于1
这个为了计算方便 请你来做什么呢
请你来求这混合气体的
压力和混合熵增
那我们首先来看
这两个摩尔数加起来恰好是等于1
所以它的摩尔数自身
也就是它的摩尔分数
这是为了后面计算方便
那么首先我们来算它的混合压力
那么这个混合压力用什么来算呢
那就得用我们的理想气体状态方程了
那么在混合前
氧气和氮气各自理想气体状态方程
我们给表示出来
氧气是红色的 氮气是蓝色的
各自的压力乘以它的容积
等于它的摩尔数
乘以通用气体常数乘以温度
这是混合之前单独存在
然后状态方程的表示
然后混合之后在一起了
那么对于混合气体
它的理想气体状态方程
就是混合后的压力乘以总的容积
然后等于通用气体常数乘以温度
因为它的摩尔数是1
所以我们就不用写了
然后我们再来看
这混合前后有什么关联性
这是一个刚性的一个容器
所以它的容积
在这过程中这容积是没有变化的
所以混合之前各自的容积加起来
等于就是混合后的容积
那么我们把状态方程
代到这个容积的关系中
然后整理一下就是这样的一个表达式
然后有些量可以消去
通用气体常数 温度
左右两侧都是相等的
我们就可以给它消去
那么你看这里的未知量只有一个P2
也就是混合后的压力
那么就可以给它算出来
那么这混合后的压力是0.588个兆帕
那么各个组元的分压力呢
分压力就等于各个组元的
摩尔分数乘以总压
我们就用符号来表示
为了更直观地表示它的
是哪一个 是吧
所以我们用符号来表示
也就是混合之后氧气的分压
等于氧气的摩尔分数乘以总压
那么氮气的等于
氮气的摩尔分数乘以总压
然后我们再来看这混合熵增
那么我们知道熵变
等于终态的熵减去初态的熵
而这个终态是混合物 是吧
我们知道混合物的熵
等于各个组元在分压力下的熵加起来
那我们就给它写出来
氧气是红色的 然后氮气是蓝色的
混合物的时候
一定是氧气在分压力状态下
也是我们氧气用P2 2状态下的这个
氧气的压力 分压力我们用P
氧气2来表示
表示它状态2情况下的压力
实际上我们也可以用
各个组元的终态减去初态
结果是完全一样的
各个组元终态的熵减去初态的熵
只不过终态的时候
它是分压力状态而已 对吗
最终结果是一样的表达式
然后我们把相应的
氧气的这块放在一起 红色的表示
然后氮气放在一起 用蓝色的来表示
然后我们整理一下
是这样的一个表达式
然后我们对这氧气终态 初态是吧
因为这温度是一样的
你就剩下了这压力
然后这氧气终态的压力等于它的
摩尔分数乘以总压
氮气的终态的压力等于什么
也是它的摩尔分数乘以总压
把所有的已知量代进去
那么我们熵变就算出来了
你看它是大于0的
那么也就是说在经过这样一个混合
它的熵是增加的
我们接着再来看
还是刚才的那个题
但是我们把刚才那氧气和氮气混合
换成什么呢 换成都是氧气
当然都是氮气也可以
也就是说上题中两种气体
都为氧气的话
混合气体的压力
和混合熵增又各为多少呢
你先想一下
这个时候混合熵增跟刚才一样吗
不一样 是吧 因为它是同种气体
有同学说它同种气体那就应该等于0
会是等于0吗
会不会
同温混合温度没有变化 是吧
但是压力呢
压力是不一样的
这个压差也要导致熵的增加
所以它肯定不是0 跟刚才一样吗
跟刚才肯定不一样
那区别在什么地方
区别应该是
混合后
或者说终态
它的压力应该是什么
就应该是混合物的压力
也就是说在这个时候
已经没有分压力的概念
分压力的概念已经不适用了
同种气体进行混合
终态的时候它就是一种气体
它没有分压力的概念
终态的时候混合物的压力
就是这个气体的压力
然后我们再来看
那个混合压力跟刚才那个有没有区别
这是没区别的 是吧
混合压力跟刚才那个完全一样的
那好了我们具体来看一下
我们刚才说混合压力跟上面一样
我们就不去推了
你刚才看你那计算过程中
你混合压力的计算
跟你那个气体的种类是没关系的
是吧 跟气体种类没关系
只跟你摩尔分数 还有呢
你初态的那两个压力有关
那现在没变 是吧
所以混合后的气体的压力
是跟刚才一样的
而这熵变跟刚才是有区别的
在这种情况下混合后的压力
就是这个气体的压力
因为它是同一种气体
它不适用分压力的概念
那么我们算下来这熵变
比刚才要小一些
我们同温同压下进行混合
然后同温混合我们也算了
那么如果说混合前后
气体参数都不一样的话怎么算
那这个实际上也好算 是吧
我们知道熵是状态参数
然后你只要初终态知道的话就可以
那么参数不一样
不一样那你知道混合物的参数
然后对于各个组元
用分压力算就可以了
所以这实际上也很简单
那么也就是说利用熵变的计算公式
但是
如果说是混合气体的话
一定是在分压力状态下
掌握这一个根本的原则
那所有的你都应该会算
那么这一小节的主要内容
实际上也很清楚
我们这一小节是理想气体
混合熵增最核心的一点
混合气体中
各个组元的实际存在状态
就是它的分压力状态
那么对于熵变
是终态的熵减去初态的熵
那么如果说是混合物的话
那么各个组元的熵
一定是在分压力状态下
各个组元的熵加起来就是总的熵
或者说你直接把各个组元的
初终态的熵变算起来一加也是可以的
那么理想气体混合熵增的计算
实际上是我们这一章的
一个小的重点
大家这块一定要熟练
那么这个是我们这一部分的作业
还是跟前面类似
是清华实体课同学的作业
其他同学选择地去做去
-6-0 导引
-6-0 作业
-6-1 纯物质的热力学面及相图
-6-1 作业
-6-2 汽化与饱和
-6-2 作业
-6-3 水蒸气的定压发生过程
-6-3 作业
-6-4 水及水蒸气状态参数的确定及其热力性质图表
-6-4 作业
-6-5 水蒸气的热力过程
-6-5 作业
-第6章 章节小测验
-7-1 概述
-7-2 朗肯循环
-7-2 作业
-7-3 实际蒸汽动力循环分析
-7-3 作业
-7-4 蒸汽再热循环
-7-4 作业
-7-5 蒸汽回热循环
-7-5 作业
-7-6 热电联产循环
-7-6 作业
-7-7 燃气-蒸汽联合循环
-7-7 作业
-7-8* 高效及绿色发电技术
-第7章 章节小测验
-8-0 导引
-8-0 作业
-8-1 空气压缩制冷循环
-8-1 作业
-8-2 蒸气压缩制冷循环
-8-2 作业
-8-3 热泵
-8-3 作业
-8-4* 热泵与节能环保
-8-5 吸收式制冷循环
-8-5 作业
-8-6 其他形式制冷循环
-8-6 作业
-8-7* 制冷剂与环保
-第8章 章节小测验
-9-0 导引
-9-0 作业
-9-1 混合气体的成分
-9-1 作业
-9-2 分压定律与分容积定律
-9-2 作业
-9-3 混合气体参数的计算
-9-3 作业
-9-4 理想气体的混合熵增
-9-4 作业
-9-5 湿空气及其状态参数
-9-5 作业
-9-6 湿空气的焓及熵
-9-6 作业
-9-7 比湿度的确定及湿球温度
-9-7 作业
-9-8 湿空气的焓湿图与热湿比
-9-8 作业
-9-9 湿空气的基本热力过程
-9-9 作业
-9-10* 环保节水型冷却塔简介
-第9章 章节小测验
-10-0 导引
-10-0 作业
-10-1 研究热力学微分关系式的目的
-10-1 作业
-10-2 特征函数
-10-2 作业
-10-3 数学基础
-10-3 作业
-10-4 热系数
-10-4 作业
-10-5 熵、内能和焓的微分关系式
-10-5 作业
-10-6 比热容的微分关系式
-10-6 作业
-10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数
-10-7 作业
-10-8 实际气体对理想气体性质的偏离
-10-8 作业
-10-9 维里方程
-10-9 作业
-10-10 经验性状态方程
-10-10 作业
-10-11 普遍化状态方程与对比态原理
-10-11 作业
-第10章 章节小测验
-11-1 概述
-11-1 作业
-11-2 热力学第一定律在反应系统中的应用
-11-2 作业
-11-3 化学反应过程的热力学第一定律分析
-11-3 作业
-11-4 化学反应过程的热力学第二定律分析
-11-4 作业
-11-5 理想气体的化学平衡
-11-5 作业
-11-6 热力学第三定律及绝对熵
-11-6 作业
-第11章 章节小测验
-期末考试