当前课程知识点:组合数学 > 容斥原理和鸽巢原理 > 6人行和Ramsey数 > 6人行
今天我们来讨论一个问题
我给它叫个名字叫做六人行
当然并不是我们常听的
美剧的《六人行》了
是这样一个问题
也就是说全世界你任意找六个人
随便找
可以是
你就在周边路边上挑6个人
甚至你就在互联网上
人人上随便点6个人
这时候会有一个现象
也就是说任意的这6个人中
必然要么有3个人相互认识
要么有三个人相互不认识
这个结论看着很奇怪
如果大家觉得对这个有异议的话
你们可以下去试验一下
这个问题实际上是
Ramsey问题中一个典型的例子
提到Ramsey
他非常有名
因为他出生名门
被称为是哲学家 数学家 经济学家
他是剑桥皇家学院会员
是一位著名的学者
他在经济学理论提出了
一种关于决策的逻辑分析方法
因此很多人认为他在
经济学的贡献大大超出了
在数学方面的贡献
但是实际上他认为自己的兴趣
实际上在哲学和数理逻辑上
但是很不幸我们看一下
他的出生年月
会发现他二十六岁就英年早逝了
可以说他的英年早逝
对经济学和数学来说
是一个巨大的打击
那么我们来看一下
到底什么是Ramsey问题
Ramsey问题可以说至今为止
仍然是学术界研究的一个前沿
甚至有美国的一些组合数学家
就这么说的
如果说问他们组合数学中
最精彩的是什么
大部分的数学家都会说
就是Ramsey问题
而美国的数学学会前会长
就曾经用Ramsey作为他的车牌
到目前为止仍然有将近
两三千篇的文章
就是在讨论Ramsey问题
而真正这个Ramsey数
到底有多少个能够计算出来呢
可能仅仅能算出寥寥无几的十个
那我们来看一下
其他的数字全部都是未知的
到底是一个什么样的难题
让数学界为之着迷呢
我们刚才说到了
6个人中就保证必然有3个
是相互认识或者相互不认识的
那么我们可以把它转化成
完全图着色问题
也就是说对应于6个人的关系图
我可以用一个完全图k6来表示
k6是什么呢
也就是我们看这样一个
六个顶点的图
它所有的边全部相连就构成了
一个k6完全图
同样我们对于三条边就是个三角形
对于四条边呢
就是这样一个交叉结构
五条边 六条边都可以找到它
对应的完全图
而完全图的着色问题
也就是说如果对于kn来说
它的若干条边
我进行两种颜色的着色
则自然会存在对应的有同样的
k几出现同色
那么拿6个图形来看
对应的六个人的完全图中
它们就存在要么相互认识
要么相互不认识
我们就可以拿二着色来看
假如就是红蓝二着色
红色表示相互认识
而蓝色表示相互不认识
那Ramsey问题就意味着说
对应于一个6个顶点的完全图
如果我对边进行着色的话
则自然存在一个红色的三角形
或者蓝色的三角形
这就是Ramsey问题
所以我们就说Ramsey问题
实际上就是对完全图进行二着色
而其中就能够保证找到
更小的完全图
原来6个边的实际上对应于
k6中进行二着色
则自然可以找到红色的k3
或蓝色的k3
-什么是组合数学
--什么是组合数学
--讨论题
-最精巧的排列——幻方
--幻方
-漫谈组合数学--最精巧的排列——幻方
-苦难的羊皮纸卷
--羊皮纸卷
-苦难的羊皮纸卷--作业
-你的手机密码安全吗
-漫谈组合数学--你的手机密码安全吗
-暴力枚举和抽象转换
--世界杯引出的问题
--世界杯引出的问题--练习
--一一对应
--七桥问题
--小结
--讨论题
-大家谈组合数学(1)
--采访武永卫老师
-第一周作业
--作业说明
--H
--U
--G
--作业讨论区说明
-第一周演示程序
--程序讨论区说明
--幻方生成器
--换方计数
--屏幕解锁方案数
--欧拉路计数
--共享程序
-加减乘除来计数
--计数的基本法则
-排列还是组合
--排列还是组合
--小乒乓球的组合之旅--排列还是组合
-各种各样的排列
--圆排列和项链排列
--圆排列和项链排列--习题
--多重排列
--多重排列--练习
-多样的组合
--可重组合
--不相邻组合
--小乒乓球的组合之旅--多样的组合
-钟声里的全排列
--钟声里的全排列
--钟声里的全排列
--字典序法
--SJT算法
-第二周作业
--H
--U
--G
--思考题
--公式测试
--作业讨论区说明
-第二周演示程序
--程序讨论区说明
--全排列生成
--组合生成器
--共享程序
-参考资料:Stirling估计式
-母函数是函数的母亲吗
--母函数的定义(1)--练习
--母函数的定义(2)--练习
-母函数的简单应用
--初识母函数--母函数的简单应用
-整数拆分
--整数拆分(1)
--整数拆分(2)
-Ferrers图像
--Ferrers图像--作业
-母函数与递推关系
--母函数能做什么
--偶数个5怎样算
--母函数小结
-大家谈组合数学(2)
-第三周作业
--H
--U
--G
--思考题
--作业讨论区说明
-第三周演示程序
--程序讨论区说明
--整数拆分
--汉诺塔
--共享程序说明
-Fibonacci数列
--线性常系数递推关系--Fibonacci数列
-Fibonacci数列的应用
--桌布魔术
--桌布魔术--练习
--艾略特波浪曲线
-线性常系数齐次递推关系
--定义
--特征多项式
--线性常系数递推关系--线性常系数齐次递推关系
-说“数”解题
-第四周作业
--H
--U
--G
--GT思考题
--作业讨论区说明
-第四周演示程序
--程序讨论区说明
--程序共享说明
-爆笑花絮
--爆笑花絮
-参考资料:K线分析中的Fibonacci 相关理论
-Catalan数
--计算机界的精灵
--神奇的序列--Catalan数
-指数型母函数
--指数型母函数
--神奇的序列--指数型母函数
-错排
--错排1
--错排2
--神奇的序列--错排
-Stirling数
--神奇的序列--Stirling数
-母函数小结
--母函数小结
-大家谈组合数学(3)
-第五周作业
--H
--U
--G
--思考题
--作业讨论区说明
-第五周演示程序
--讨论区说明
--Catalan数
--程序共享
-且容且斥
--容斥原理
--容斥原理的证明
--容斥原理和鸽巢原理--且容且斥
-容斥原理的精妙
-回忆过去,容斥新解
--容斥原理和鸽巢原理--回忆过去,容斥新解
-鸽子抢巢
--鸽巢原理
--鸽巢原理--练习
--鸽巢原理的应用(1)--练习
-看得见摸得着的鸽巢
--韩信点兵
--中国剩余定理
--容斥原理和鸽巢原理--看得见摸得着的鸽巢
-6人行和Ramsey数
--6人行
--Ramsey数
--小结
-第六周作业
--H
--U
--G
--GT
--作业讨论区说明
-第六周演示程序
--讨论区说明
--程序共享说明
-可以转的世界
--可以转的世界
--可以转的世界--练习
--伽罗华与群
--群的定义
--群的定义--练习
--群的一些概念
-置换群
--置换群
--群--置换群
--共轭类
--对换
--对换--练习
--置换群的应用
-Burnside引理
--着色问题的等价类
--Burnside引理--作业
-闲话群
-第七周作业
--H
--U
--G
--作业讨论区说明
-Burnside引理的困境
-从Burnside到Polya
--Polya定理
-立方体旋转
--立方体旋转(1)
--立方体旋转(2)
--立方体旋转--作业
--立方体旋转(3)
--立方体旋转--作业
--立方体旋转(4)
-母函数型Polya定理
--Polya定理--母函数型Polya定理
-图的计数
--图的计数
-总结
--本章小结
-第八周作业
--H
--U
--G
--GT
--作业讨论区说明
-大家谈组合数学(4)
--采访黄连生老师
-组合之美
--组合之美之计数
-组合之美之线性常系数递推关系
-组合之美之多样的序列
-组合之美之鸽巢原理
-组合之美之转动群与染色
-采访邹欣
--采访邹欣1
--采访邹欣2
-知识点串串烧
--知识点串串烧
-期末测验--期末测验