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6人行

下一节:Ramsey数

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6人行课程教案、知识点、字幕

今天我们来讨论一个问题

我给它叫个名字叫做六人行

当然并不是我们常听的

美剧的《六人行》了

是这样一个问题

也就是说全世界你任意找六个人

随便找

可以是

你就在周边路边上挑6个人

甚至你就在互联网上

人人上随便点6个人

这时候会有一个现象

也就是说任意的这6个人中

必然要么有3个人相互认识

要么有三个人相互不认识

这个结论看着很奇怪

如果大家觉得对这个有异议的话

你们可以下去试验一下

这个问题实际上是

Ramsey问题中一个典型的例子

提到Ramsey

他非常有名

因为他出生名门

被称为是哲学家 数学家 经济学家

他是剑桥皇家学院会员

是一位著名的学者

他在经济学理论提出了

一种关于决策的逻辑分析方法

因此很多人认为他在

经济学的贡献大大超出了

在数学方面的贡献

但是实际上他认为自己的兴趣

实际上在哲学和数理逻辑上

但是很不幸我们看一下

他的出生年月

会发现他二十六岁就英年早逝了

可以说他的英年早逝

对经济学和数学来说

是一个巨大的打击

那么我们来看一下

到底什么是Ramsey问题

Ramsey问题可以说至今为止

仍然是学术界研究的一个前沿

甚至有美国的一些组合数学家

就这么说的

如果说问他们组合数学中

最精彩的是什么

大部分的数学家都会说

就是Ramsey问题

而美国的数学学会前会长

就曾经用Ramsey作为他的车牌

到目前为止仍然有将近

两三千篇的文章

就是在讨论Ramsey问题

而真正这个Ramsey数

到底有多少个能够计算出来呢

可能仅仅能算出寥寥无几的十个

那我们来看一下
其他的数字全部都是未知的

到底是一个什么样的难题

让数学界为之着迷呢

我们刚才说到了

6个人中就保证必然有3个

是相互认识或者相互不认识的

那么我们可以把它转化成

完全图着色问题

也就是说对应于6个人的关系图

我可以用一个完全图k6来表示

k6是什么呢

也就是我们看这样一个

六个顶点的图

它所有的边全部相连就构成了

一个k6完全图

同样我们对于三条边就是个三角形

对于四条边呢

就是这样一个交叉结构

五条边 六条边都可以找到它

对应的完全图

而完全图的着色问题

也就是说如果对于kn来说

它的若干条边

我进行两种颜色的着色

则自然会存在对应的有同样的

k几出现同色

那么拿6个图形来看

对应的六个人的完全图中

它们就存在要么相互认识

要么相互不认识

我们就可以拿二着色来看

假如就是红蓝二着色

红色表示相互认识

而蓝色表示相互不认识

那Ramsey问题就意味着说

对应于一个6个顶点的完全图

如果我对边进行着色的话

则自然存在一个红色的三角形

或者蓝色的三角形

这就是Ramsey问题

所以我们就说Ramsey问题

实际上就是对完全图进行二着色

而其中就能够保证找到

更小的完全图

原来6个边的实际上对应于

k6中进行二着色

则自然可以找到红色的k3

或蓝色的k3

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