5.4 Newton 插值多项式（2）差分型在线视频

同学们好

我是北京理工大学的朱国庆老师

今天在前面牛顿插值多项式

差商型的构造基础之上

我们给大家讲一下

如果是节点等距分布的时候的

差分型的牛顿多项式的构造问题

我们知道

当节点等距分布的时候

把xi都写成

x0+ih的形式

也就是i取0的时候

其实就是x0本身

i取n的时候就是xn

它就等于x0加上nh了

我们一般也把这个h叫做等距分布的步长

我们给大家介绍一个向前差分的格式

也就是拿fi+1-fi

然后我们写成那个正三角形的符号Δfi

当然了

这个差分的形式

我们还可以定义二阶差分的形式

然后类似的

可以定义高阶差分的表达式

同样的

我们可以定义一个向后差分的形式

拿fi减掉fi-1的形式

也可以定义高阶的向后差分的形式

这里面给大家说一下就是

这个向前差分也好 向后差分也好

一般来说

我们把fi+1的下标i+1

我们称之为未来的节点的值

然后把fi称之为现在的节点的值

那么向前差分就是拿未来的

i+1的这个函数值减掉现在的函数值

那么向后差分实际上是拿fi

我们叫做现在的函数值

减掉fi-1

我们把它称之为过去的

就是拿现在的函数值减掉过去的函数值

中心差分是在我们这个未来的x下标i

加上1/2的形式

减掉下标i减掉1/2的形式

其实

如果我们把i到i+1是向前走了一步的话

我们把i加上二分之一称之为走了半步

同样的 i减掉1

我们是向后倒退一步的话

那么我们把i减1/2称之为向后倒退了半步

完全类似的

我们把这个函数的向前差分也好

向后差分的概念

可以推广到中心差分的格式当中去

中心差分也可以有高阶的差分的这种形式的写法

我们差分计算的时候

一般来说

都是构造一个差分的表格

然后第一列还是像差商一样的写法

写成xi的具体值

然后第二列写成函数值f(xi)的形式

第三列写出来一阶差分的形式

当然了

这里面有一阶向前差分和一阶向后差分

第四列写二阶差分的形式

有二阶的向前差分 二阶的向后差分

第五列写这个三阶差分的这种形式

用差分的形式

我们可以来构造一下

等距节点之上的牛顿插值公式

前面跟大家说过

差商型的牛顿公式是f(x0)

加上f[x0,x1] (x-x0)

后面是f[x0,...,xn]n阶差商

然后是(x-x0) (x-xn-1)的这个乘法

也有牛顿插值多项式的余项公式

我们这里面写出来的实际上是

拉格朗日插值型的余项公式

这里面牛顿向前差商的这个公式

假设x=x0+th的这种形式

看清楚了

我们把前面的这个牛顿差商型的

这个插值公式中的x

都换成x0+th

那么

Nn(x)当中的表达式

其实可以转换成

下面的这个形式

这个f0+tΔf0

再加上后面的

t(t-1)(t-n+1)除上(n+1)的阶乘

f0的n阶差分形式的写法

这里面完全可以

把这个牛顿向前差商的这个公式

它的那个余项估计也可以给的出来

大家看一下

牛顿差商型的插值多项式公式

和牛顿差分型的这个向前差商的这种公式的写法

其实就是把x的位置

都换成了指标t的这样的一个形式的写法

我们这个t的取值

在取0 1 2 3 一直到n这些自然数的时候

其实就是那个节点

完全类似的

牛顿向后差分的这个形式

我们把这个节点的顺序颠倒过来就行了

那这个里面x=xn+th

这个t如果取0的话是xn

取的是-n的话

其实得到的就是我们那个x0了

我们在这个基础之上

我们讨论差分的时候

实际上

讨论牛顿差分型的插值多项式的时候

我们实际上是先把这个差分表格做出来

然后同样的右侧可以加一列

这里面第一行是1

第二行是那个t

第三行是2的阶乘分之一

t减掉0和t减掉1的乘积

也就是t乘上t-1

最后一行实际上是

t乘上t-1 乘上t-2 乘上t-3

同样

如果是考虑这个向后差分的话

我们在下面加一行

f函数值的地方乘的是1

然后那个一阶差分的时候乘的是t

二阶差分的时候乘的是

t乘上t+1

然后三阶差分是t 乘上t+1 乘上t+2

简单的给大家总结一下

这个拉格朗日型的插值多项式

它的形式写法lnx是lix乘上f(xi)

然后它的余项公式

我们一般的写法是

f这个函数在ξ点的n+1阶的导数

除上n+1的阶乘

然后乘上ωn+1x

牛顿插值多项式

我们的形式写法

是写成f(x0)加上x-x0

乘上f[x0,x1]的一阶差商

后面是x-x0

乘上x-x1

f[x0,x1,x2]的二阶差商

一直到(x-x0) (x-x1) (x-xn-1)

然后乘上函数f[x0,x1,...xn]的n阶差商

同样的

差商型的余项公式

我们写的是ωn+1(x)

后面是f[x,x0,x1,...xn]的n+1阶的差商

牛顿型的插值多项式

和这个拉格朗日型的插值多项式

一般来说按照理论上数学理论的讨论

它们本质上是一致的

都满足它的条件

所以它的那个余项形式本质上也是一样的

当这个插值多项式

从n-1次增加到n次的时候

拉格朗日型的插值多项式

必须重新计算所有的插值多项式

本质上是计算所有的插值基函数

但是对于牛顿插值多项式而言

只需要在表格当中再计算一个n阶差商

再加上一项就可以了

同样的 牛顿型的这个插值公式

如果对f(x)是由离散点给出来的

这个时候我们是不知道这个函数可不可导的

然后我们是可以适用的

如果函数f(x)的导数是不存在的时候

牛顿型的插值多项式

其实这个也是适用的

因为它给定的只是要需要函数值

算出来差商就行了

下面有一个问题就是

拉格朗日型的插值多项式

和牛顿型的插值多项式

是否具有收敛性呢

也就是说

当节点增多的时候

也就是需要构造更高阶的插值多项式的时候

n趋近无穷大

它有没有收敛性呢

这个在高阶多项式的时候

一般来说

通过区间内给定足够多的节点

我们是希望插值多项式的精度会越来越高

但这个事情是不是一定是的呢

这个可以告诉大家的是

数学当中的研究证明可以告诉大家

这个收敛性是不具备的

我们下一节要讨论的就是

在这个基础上如何来进一步的改进

好 这一节内容分享到此结束