多项式插值理论在线视频

同学们大家好

我是北京理工大学的朱国庆老师

今天给大家分享的内容是插值法理论

首先给大家强调一下

插值法理论当中有四个方面的内容

第一个 什么样的问题需要用到插值法理论

第二个问题

插值法理论在数学当中的描述是什么样子的

第三个方面

插值法理论

如果用数学当中的近似算法

它是怎么去构造的

最后一个

如果我们构造出来的一个插值法的理论

它的误差是什么样的

下面看几个例子

首先第一个

如果我们已经知道了0.32 0.34 0.36

这三个节点之上的函数值 sinx的函数值

那么我们想求0.3367的近似值

那么这个近似值怎么算呢

如果我们知道了这个近似值

我们怎么去估计一下它的截断误差呢

第二个方面的问题

如果我们已经测量到了

某地大气压强随高度变化的一组数据

就是我们已经知道了

高度为0 100 300 1000

1500 2000的时候的压强值

那么如果我们想求1200米处的大气压强值

那怎么去算呢

这个也需要运用到插值法的理论

还有一个

如果我们已经知道了直升飞机旋转机翼

外形轮廓线上的一些点上的数据

那么我们只知道的数据肯定是比较少的

那么根据已有的13个节点之上的数据

我们能不能做出全局的

这个整体的比较光滑的机翼外形曲线呢

那么我们也需要利用到插值法的理论

下面我们开始说插值法理论的具体内容

首先

如果实际问题当中

遇到的函数是y=f(x)

在一个区间 [a,b]之上 函数是存在的

这些函数我们只能通过观察

测量或者实验得到

[a,b]区间之上的有限个节点

[a,b]区间之上的有限个节点

x0 x1 xn之上的函数值

或者说函数y=f(x)的表达式是知道的

但是它太复杂了

不便于我们计算

我们希望用一个简单的函数来描述它

数学上严谨一点的说法是这样的

函数y=f(x)表达式未知

在一些节点之上的函数值y=f(xi)

我们都知道了

用一个图示来表示就是这样

在x0 x1 xn之上

它是有节点的

然后

我们希望求一个简单的函数g(x)

使得g(x)在已知的x0 x1 xn

这n+1个节点函数值

与已给定的函数值相等

用图示表示就是这样

我们这个g(x)

通过了函数x0 x1 x2 x3 x4

它已知的这些节点

那么在未知的节点之上

我们希望函数y=f(x)

它的图形在区间[x0,xn]之上

g(x)作为f(x)的一个近似

那么我们把g(x)就称为f(x)的函数

我们这一章讨论的主要内容就是

如何寻找已知节点数据上的未知函数

这一章就是要找g(x)函数的构造

那么在构造之前

我们先问大家一个问题

如果我们知道了n+1个节点

我们能构造多少次的一个多项式呢

最简单的 我们先看一下n=1的时候

也就是说我们已经知道了两个节点

那么两个节点能构造几次的多项式呢

中学当中大家可能就已经学过了

两个节点要两点连成一线

也就是两个点可以作一个直线

也就是一个线性函数

三个节点

如果这三个节点不在同一条直线之上

那么我们说这三个节点

可以作一个二次多项式

中学当中也叫它抛物线

同样类似的

如果是四个节点

我们可以根据已有的不在同一条直线

不在同一个抛物线之上的四个节点

我们构造一个三次多项式

把这个概念我们推广一下

一般的如果已经知道了函数f(x)

在[a,b]区间上

n+1个互异的节点

x0 x1 xn它的函数值

yi=f(xi)

i是从0 1一直到n的

我们讲求一个n次多项式

φn(x)这个按照自变量x的升幂排列

我们写成a0加上a1x

加上a2加上anxn

我们假设这个函数φn(x)满足条件

在xi这函数节点之上的函数值

都等于f(xi)

我们写成φn(xi)=yi

i是从0 1一直到n的这种形式

我们称这个区间[a,b]叫做插值区间

xi叫做插值节点

φn(x)就叫f(x)过这组互异节点之上的插值多项式

下面我们来看一下

这种插值区间 插值节点

以及插值多项式的构造

数学上会问

那这里面这个φn(x)

有没有存在性

有没有唯一性

根据插值条件φn(xi)=yi

这里面i的取值是从0一直到n的

也就是xi是n+1个节点

那么φn这个n次多项式

它的系数是ai

ai有多少个呢

下标

下标是从0 1一直到n

也是n+1个ai

那么我们说φn(xi)

当x自变量取成x0的时候

代入到φn(x)表达式当中

写成方程组第一行的形式

a0加上a1x0加上a2x0的平方

再加上anx0的n次方

右端当然就等于函数值y0

同样第二行是把x1

代入到φn(xi)的那个表达式当中

第n行代入的实际上是xn

代入到φn(xi)=yi那个表达式当中

我们告诉大家

就是这个方程组

它本质上是以a0

a1 a2 an为未知数的

以1 x0 x0的平方

x0的n次方

1 x1 x1的平方 x1的n次方

最后一行是1 xn xn的平方

xn的n次方

为系数矩阵的这样的一个线性方程组

这个线性方程组呢

系数矩阵的行列式

是我们大家都知道的范德蒙特行列式

根据这个范德蒙特行列式的计算公式

如果x0 x1 xn

它们是互异的

也就是每两个节点都不一样的话

那么行列式非零

方程组是有唯一解的

那么在高等代数当中

我们按照这个方程组的解的理论

说明这个φn(x)的系数an是存在

而且是唯一的

下面一个问题就是

如果我们根据上面的线性方程组

得到了一个插值多项式φn(x)

那么这个插值多项式φn(x)

作为原来函数的近似

它的误差是多大呢

书上给了这样的一个定义

假设x0 x1 xn

是[a,b]区间之上

n+1个互异节点

φn(x)是f(x)过这组节点的n次插值多项式

如果我们假设f(x)

它是n+1节的可导

而且是一个对任意的一个x在区间之内

Rn(x)的表达式写成fn(x)

n+1节导数的形式

这个n+1节的导数

在ξ点的值ξ是不知道的

所以这个表达式本质上而言

其实我们是求不出来的

只是理论上假设

f(x)如果满足了n+1节的可导性

那么这个表达式是可以计算出来的

这里面提醒大家

ωn+1(x)

它实际上是x与xi的连乘积

它只与节点xi的选取相关

我们看一下这个定理的证明

因为我们讨论的是

近似函数与精确函数之间的一个余项

所以我们写成

Rn(x)=f(x)-φn(x)的形式

已知的条件

在xi的节点之上

f(xi)跟φn(xi)是一样的

所以在节点xi之上

Rn(x)的误差

它的余项就等于零了

那么我们根据这个代数当中的描述

如果已经知道了Rn(x)

它的n+1个根的话

我们可以把Rn(x)写成

K(x)乘上后面那个x-xi的连乘积

其实就是那个ωn+1

我们现在任意固定一个节点x

这个节点 我们希望它不是x0 x1 xn

这n+1个已经知道的节点

我们构造一个新的函数ψ(t)

那么这个ψ(t)呢

写成Rn(t)减掉K(x)

这后面是t减掉xi的连乘积的形式

这里面这个Rn(t)减掉K(x)

包括连乘积的这个形式

和上面那个Rn(x)的形式

只在K(x)固定

其它的 另外的Rn(x)

以及后面连乘积的x全部都要换成t

那么这个函数ψ(t)

有n+2个不同的根

这里面的根有已知的x0 x1 xn

然后还有一个就是未知的

我们固定下来的那个x

这里面我们反复的利用罗尔中值定理

就可以知道

就是存在一个在区间(a,b)之上的

和这个选取的点x相关的一个ξ

使得在n+1个节点之上

ψ(n+1)(ξx)它的

也就是ψn(x) 它的n+1阶导数

在ξx上是等于零的

形式上写下来

Rn(n+1)(ξx)减K(x)(n+1)的阶乘

它是等于零的

把Rn(x)的形式按照前面的定义

算一下它n+1阶的导数

Rn(n+1)阶的导数

就是f(n+1)(ξx)的值

减掉φn(x+1)阶导数在ξ点的值

减掉这个K(x)n+1

我们这里面注意到

φn(x)是一个n次多项式

那么n次多项式求n+1阶的导数

它自然就等于零了

所以这项根本就是不存在的

我们整理一下这个K(x)

如果写成了ξx的表达式的形式

就是右边的这个形式

这里面Rn(x)当中的系数K(x)知道了

那么Rn(x)的表达式

就是我们定理当中需要的这个形式了

同样

如果我们讨论这个节点的时候

这个x等于xi了

那么前面的证明

虽然这个罗尔中值定理那一块是多余的

但是x等于xi的时候

代入这个固定表达式当中

这个结论显然就是成立的

这个定理就证明结束了

这一节的分享到此结束