5.5.1在线视频

在这一节我们将给大家介绍

与NURBS曲线曲面相关的向量操作

以及向量点积、叉积的概念

对于Nurbs曲线这样的空间物体

它有很多的几何属性

下面我们就来讲一讲

Nurbs曲线上面的一些跟向量

或者叫矢量有关的一些属性

这里我们已经输入了五个点

我们可以把它连接成一条Nurbs曲线

输入nurbs

然后在这里选择让它是true

就是让它周期性是true
然后在这里选择让它是true

就是让它周期性是true

那么这样的话它形成一个连续封闭的曲线

对这条曲线我们可以用前面用过的

叫evaluate

evaluate curve

evaluate curve的这个运算器

然后我们把这里得到的curve给它

在这里做一个reparameterize

然后在t这里输入一个slider

那么我们就可以遍历这条曲线上的所有点

那么这个运算器evaluate curve

除了输出点以外

还输出了在这个点上它的切线方向

就是tangent

这是一个向量

我们可以把这个向量把它可视化出来

我们用这个向量可视化的运算器

输入P 输入向量

那么这样的话我们就得到了

这个点所对应的向量的一个可视化

在这里我们看到
这个点所对应的向量的一个可视化

在这里我们看到

当我们拖动这个滑动条的时候

那么点和它所对应的那个位置上的切线

都被绘制了出来

我们说除了对一条曲线

我们可以做它的切线方向

同时我们还可以去求

它在某个点上的曲率

比如说我们输入curvature

我们就会有这个运算器

把curve同样接进来

然后把这个t
把curve同样接进来

然后把这个t

就是它的参数同样的输入进来

在右边就会得到输出

我们可以看到它画了一个圆

这个圆是什么呢

其实在这里输出的叫作

curvature circle

就是一个曲率的一个圆

一般意义上我们说曲率是有

对应的一个曲率半径

那么按照这个曲率半径画一个圆

经过这个点

就会得到这个曲率的这个圆

那么除了输出曲率的圆以外

在这里还输出了curvature
那么除了输出曲率的圆以外

在这里还输出了curvature

就是它的曲率

以及point就是这个点

和这里的输出是一样的

这个曲率

我们看到其实它是一个矢量的形式
这个曲率

我们看到其实它是一个矢量的形式

是三个数字组成的

所以我们也可以同样用

这样一种可视化的方法

把这个向量给它可视化出来

就是这个曲率的向量把它可视化出来

我们拖动一下滑动条看一下它的效果

那么实际上就是这个曲率向量的大小

跟曲率半径是倒数的关系

我们同样输入curvature

我们看到其实有不同的curvature

比如说对于curve curvature
我们看到其实有不同的curvature

比如说对于curve curvature

这里还有一个叫curvature graph
比如说对于curve curvature

这里还有一个叫curvature graph

用一下这个运算器

那么输入一条curve

那么我们看到这里就已经出现了变化

在这条曲线的外面

它画出了一个示意图

这个示意图表示的是
它画出了一个示意图

这个示意图表示的是

这条曲线在任意一个点

它的曲率的大小和它的方向

那我们说这里的曲率大小跟它不一致

看起来好像不一致

是因为在这里有一个叫

scale的这样一个输入

所以我们在这里输入100%

100%的话就会看到

我们得到的这个曲率的向量

跟curvature graph

显示出来的曲率的大小是一样的

我们拖动一下滑动条看一下

是不是这样的效果

当这边点曲率变大的时候

那么curvature graph

和curvature的向量

它都是对应的 大小是对应的

我们进入perspective视图

现在这条曲线是一个平面的曲线

因为这五个点都在平面上

我们选中这两个点然后把它拖高

那么这个时候我们说

这条曲线就变成了一条空间曲线

因为成为了空间曲线

所以当我们去拨动这个滑动条的时候

大家注意这个曲率 这个圆

它变成了一个空间中的圆

它不断变化它的大小和它的方向

或者我们也可以把这个曲率圆

先把它预览关掉

然后我们看一下在这里

实际上这个curvature graph

所显示的这个曲率的方向

也是空间中的不是平面上的

为了在后面进一步介绍

关于Nurbs建模的一些方法

我们需要在这里先讲解一下

一些关于向量的高级的应用

我们在这里看到

我们输入了三个点

然后生成了两个向量

在这里已经有编好的程序

接下来我们可以对这两个向量

做一个加法的运算
接下来我们可以对这两个向量

做一个加法的运算

这个我们在前面的课程里头学习过

这样我们就在这里得到了一个

相加以后得到的向量
这样我们就在这里得到了一个

相加以后得到的向量

我们把这个向量

把它通过这个vector display

来把它显示出来

这是新的vector

我们给它一个新的颜色

那么它是绿色的

那么这个vector

实际上就是前面两个vector相加

或者说用平行四边形法则

得到的一个新的结果

那么两个向量之间除了相加之外

我们还可以有什么样的操作呢

在vector里面我们看到

有这两个运算非常重要
在vector里面我们看到

有这两个运算非常重要

一个是dot product

还有一个是cross product

一个叫作点积一个叫作叉积

我们切换到PPT

看一下向量的点积和叉积的定义

向量的点积就是用这个电池来实现的

英文叫作dot product

那么点积它的计算公式是什么呢

如果我们有a和b两个向量

a和b点积在一起

实际上就是x为a0和b0乘在一起

加上y方向的分量

a1和b1乘在一起

加上z方向的分量

a2和b2乘在一起

然后再把它们加和在一起
a2和b2乘在一起

然后再把它们加和在一起

用∑把它们加和在一起

这个就是点积的定义

更进一步的我们也可以说

看这个公式

a和b两个向量点积

它的值等于向量a的长度

乘上向量b的长度

再乘上两个向量之间的夹角

我们看到乘上两个向量之间的夹角

所以a和b点积得到一个标量

或者说得到一个实数

那么这个实数是

a的长度和b的长度乘积

在乘上它们的夹角的cos值

我们回到grasshopper的界面

当我们把a和b两个向量点积在一起以后

我们看到这里的结果是一个实数

这个实数是2.479

当然这个数对于我们来讲

好像看起来意义不大

所以我们可以在这里做一个unitize

把它标准化

标准化的结果是

a和b在这里输入后都变成标准长度

也就是长度为1的向量

所以经过标准化以后

根据我们前面的公式

这个输出的结果

实际上就是a和b

两个向量夹角的cos值

我们回到PPT

又可以看到这里还有一个说明

如果一个向量a

它与单位长度向量作点积

比如说我们说这个b呢

是一个单位长度的向量

那么最后得到的结果

是a这个向量在b上面投影的长度

就是这个是a乘上cosθ

因为b的长度已经等于1了

所以按照这个公式

最后得到的是a乘上cosθ的值

得到这个投影的长度

我们回到grasshopper

也就是说

如果我们做一个dot product 点积

我们对后面这个红色的向量

如果我们用vector

去和一个单位长度的x向量

作点积的话

那么最后得到的结果

实际上是这个红色长度

在x方向的投影长度

我们把这个投影长度表示一下

也就是说把这样一个长度

用它去定义一个x方向的向量

并且把它展示出来

把这两个运算器复制一下

我们把这个vector替换掉

所以这样就得到了

红色这个向量在x方向的一个投影

同样我们可以去做它在y方向的投影

我们只需要在这里用y去替换它

同时在这里

刚才没有复制下来
同时在这里

刚才没有复制下来

所以我们在这里替换一下

这样我们就得到了

在y方向的一个投影

大家看一下这个空间关系

所以当我去挪动这个顶点的位置时

我们看到两个方向投影的向量

都在相应的发生变化

那么这个应用其实是我们说

dot product 点积

在grasshopper里面非常常见的一种应用

也就是求一个向量在某个方向投影的长度
在grasshopper里面非常常见的一种应用

也就是求一个向量在某个方向投影的长度

关于向量的运算另外一种是叉积

那么叉积比点积要更复杂一些

因为我们通过叉积

也就是cross product
因为我们通过叉积

也就是cross product

得到的是一个vector

也就是既有大小又有方向的一个量

那么这个vector的量

是怎么计算得到的呢

那么叉积要做的事情是

有时候我们会把a和b两个向量

用叉积叉在一起

那么就会得到一个a叉b的

这样一个向量在这个紫色的向量

也就是说这个方向
这样一个向量在这个紫色的向量

也就是说这个方向

那么这个向量它的特点是

首先它和a和b都垂直

它是这样一个向量

它和a和b都垂直
它是这样一个向量

它和a和b都垂直

其次它的大小等于a和b

所定义的这个平行四边形的面积的大小

是a叉b这个向量的长度

我们说如果和a b都垂直的向量

其实有这个紫色向量

或反过来的这个紫色向量都可以

哪一个是它真正的结果呢

我们要用到右手法则

大家看到当你伸出你的右手

拇指 食指和中指分别指向的方向

就确定了a和b作叉积得到的结果

你的食指指的方向是a的方向

中指指的是b的方向

那么这时候大拇指指的方向

就是a和b做叉积的方向

我们在Grasshopper里面做一个演示

如果我们把a和b

做一个叉积连在一起的话

那么我们来演示一下它的这个结果

这个时候把v接过来

我们转一下视图就会看到在这里

这边可以先隐藏一下

这样的话我们看到

a向量和b向量叉积的结果

根据右手螺旋法则

它是向上的

所以在这里我们得到一个

和a和b都垂直的向量