当前课程知识点：数值分析 > 第七章 数值微分与数值积分 > 7.2 Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式 > Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式
大家好
我们上节课学习了数值微分
从本节开始
我们来学习数值积分
数值积分就是我们来讨论
如何来计算f在a~b的定积分
首先我们来看数值积分的基本思想
我们这里的问题是
被积函数f(x)的原函数不能用初等函数表示
或者原函数计算非常繁琐
或者 f(x)根本没有解析的表达式
只有离散数据点
这个时候我们如何来求
函数f在a~b定积分的近似值
我们这里基本的思想是
把被积函数f(x)用它的简单函数来近似代替
这样的话
f在a~b上的定积分就近似的等于
f的近似函数fn在a~b上的定积分
这个函数越简单越好
我们这里选择的这个简单的近似函数fn
通常取为插值多项式函数
我们把积分区间ab给它做剖分
剖分的点分别为
a≤x0＜x1＜...＜xn≤b
这个时候
我们在这些节点处
来构造函数f的n次Lagrange插值多项式
记为Ln(x)等于f(xk)乘上lk(x)
k从0-n
其中lk即为我们的Lagrange基函数
这样的话
f在a~b的定积分就近似的等于
插值函数Ln在a~b的定积分即
fxk乘上插值基函数lk在ab上的定积分
然后关于k(0~n)来求和
我们把基函数lk在a~b的定积分记为AK
所以AK就等于（x-xj)/(xk-xj）
所有的j从0-n j不等于k这样因子的乘积
在ab上的定积分
我们知道Lagrange插值函数
它的基函数lk只和插值的节点有关
而和插值的函数没有任何关系
因此我们这里的这个常数AK
它也是由节点决定
而和被积函数没有任何关系
引入了AK之后
f在a~b的定积分就近似的等于
AK乘上fxk k(0~n)求和
可以得出
函数在ab上的定积分的一个近似计算公式
即为f在ab上的定积分近似的等于
被积函数f在这些插值节点的函数值乘上系数Ak
然后关于k(0~n)求和
这种数值计算公式
就称为插值型的求积公式
其中这些插值的节点
也称为求积的节点
而这里的常数AK称为求积系数
我们来看一下插值型求积公式它的截断误差
它的截断误差就等于
定积分减掉插值函数在ab上的定积分
然后它就等于f减掉插值函数在ab上的定积分
我们由第五章插值函数 它的截断误差
即可以得出定积分的截断误差
就等于插值误差在a~b的定积分
即f的n+1阶导数在ξ的值除以n+1的阶乘
乘以x-xk k(0~n)做乘积
然后在a~b上的来做定积分
当我的这些插值节点选的是等距分布的时候
函数f在a b上的定积分就近似的等于
被积函数f在这些等距节点的函数值乘上
求积系数AK然后关于k从0~n求和
这时候的求积公式
我们称为newton-cotes求积公式
也简称(N-C)公式
当节点是等距节点的时候
我们的求积系数AK具有什么特殊的性质
我们设等距节点XK等于a加上k倍的h
其中这个h等于积分区间长度b减a除以n
也即称为步长
这个时候
我们的求积系数AK就等于
Lagrange基函数lk在ab上的定积分
然后我们对这个定积分来做一个积分的换元
令x等于a加上th
我们就把a到b上关于x的定积分转换成
0-n上关于变量t的定积分
我们把积分被积函数里面的常数放到积分号外面来
即得Ak等于
-1的n-k次方*b-a/k的阶乘*n-k的阶乘*n
然后乘以0-n 上面
t-j j(o~n) j不等于k这样的因子的乘积
然后关于变量t作定积分
我们把常数 b-a提取出来
余下的部分令它为系数c(n)k
这样的话 我们就会发现
这个时候的求积系数AK就等于
积分区间长度b-a乘这个常数cnk
c(n)k就称为是cotes系数
可以得到n阶的newton-cotes求积公式
即为f在区间ab上的定积分近似的等于b减a
也就积分区间长度乘以f在等距节点的函数值
以f(xk)乘上这个系数c(n)k 关于k(0~n)求和
c(n)k就称为是cotes系数
根据c(n)k它的表达式我们可以看出来
这个系数
它和积分区间和被积函数没有任何关系
它只和积分区间的等分数n有关
这样的话 虽然cnk 它的表达式很复杂
我们在计算的时候
由于它和积分区间和被积函数都没有关系
只和等分数n有关
我们就可以事先把它计算出来
列表来使用
下面的这个表格就给出来了
对于不同的等分数所对应的cotes的系数表
我们来看一下这个表格
当我们来做一等分的时候 即n=1的时候
我们的cotes系数是两个即1/2 1/2
这个时候所对应的求积公式称为梯形公式
当n=2的时候 cotes系数是三个
分别是1/6 4/6 1/6
这时候的求积公式称为simpson求积公式
当n=3的时候
cotes系数分别是1/8 3/8 3/8 1/8
这个求积公式称为simpson3/8公式
当n=4的时候
cotes系数分别是7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
对应的公式称为cotes求积公式
我们观察这些cotes系数的特点
我们会发现它有一些对称性
而且每一行的cotes系数
它的系数和都是一
我们这里要说明一下 当n比较大的时候
比方说n大于等于八的时候
cotes系数里边会出现负数
这样的话 我们的求积公式就会不稳定
接下来我们来看一下
我们常用的newton-cotes求积公式
第一种就是当n=1的时候
我们选择的求积节点是
这个积分区间的两个端点的时候对应的求积公式
这个时候的cotes系数分别是1/2 1/2
因此对应的求积公式
即为f在a~b上的定积分近似的等于
(b-a)/2[f(a)+f(b)]
这个求积公式就称为是梯形公式
梯形公式实际上就是把被积函数用它的线性插值
就是关于区间的两个端点a和b得到的线性插值来做近似得到的
从几何上来讲
实际上就是对这个定积分
也就是这个曲边梯形它的面积
用插值函数得到的直边梯形的面积来做近似
我们再来看一下当我们把积分区间二等分
这个时候对应的Newton-cotes 求积公式
这个时候f在a b上的定积分就近似的等于
(b-a)/6乘以f(a)加上四倍的f
在积分区间中点的值再加上了fb
这个求积公式称为simpson求积公式
simpson求积公式是对被积函数
用它在a、a+b/2和b这三个节点的二次插值函数
也即L2来近似
由此我们得到的这个积分近似
就是把这个曲边梯形的面积
用抛线所对应的这个曲边梯形的面积来近似
我们来总结一下我们本节介绍的主要内容
我们给出来了数值积分的基本的思想
数值积分的基本思想实际上是
用被积函数插值多项式的定积分来近似函数的定积分
当插值多项式的插值节点选的是
积分区间的等分点的时候
这个时候所对应的这个求积公式
即为newton-cotes求积公式
对于newton-cotes的求积公式
我们比较常用的就是n=1和n=2的时候的求积公式
即梯形公式和simpson求积公式
-1.1 误差的概念
--误差的概念
-1.2 误差的传播
--误差的传播
-第一章 习题
--第一章 习题
-2.1 Gauss消去法
--Gauss消去法
-2.2 矩阵的三角分解
--矩阵的三角分解
-2.3 直接三角分解法
--直接三角分解法
-2.4 平方根法和改进的平方根法
-2.5 误差分析（1）向量和矩阵范数
-2.6 误差分析（2）条件数
-第二章 习题
--第二章 习题
-3.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法
-3.2 迭代法收敛性的判别
-3.3 误差分析
--误差分析
-第三章 习题
--第三章 习题
-4.1 幂法
--幂法
-4.2 反幂法
--反幂法
-第四章 习题
--第四章 习题
-5.1 多项式插值理论
--多项式插值理论
-5.2 Lagrange 插值多项式
-5.3 Newton 插值多项式（1）差商型
-5.4 Newton 插值多项式（2）差分型
-5.5 分段线性插值
--分段线性插值
-5.6 Hermite 插值
-第五章 习题
--第五章 习题
-6.1 数据拟合的最小二乘法（1）多项式拟合
-6.2 数据拟合的最小二乘法（2）其他函数拟合
-6.3 正交多项式
--正交多项式
-6.4 函数的最佳平方逼近
-第六章 习题
--第六章 习题
-7.1 数值微分
--数值微分
-7.2 Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式
--Newton－Cotes求积公式（1）数值积分的基本思想、Newton－Cotes公式
-7.3 Newton－Cotes求积公式（2）误差估计
-7.4 复化求积公式
--复化求积公式
-7.5 Romberg求积公式、Gauss型求积公式
-第七章 习题
--第七章 习题
-8.1 Romberg求积公式、Gauss型求积公式
-8.2 简单迭代法的加速、牛顿法与弦截法
-第八章 习题
--第八章 习题
-9.1 常微分方程数值解法概述
-9.2 Euler方法及其改进方法
-第九章 习题
--第九章 习题
