当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 6、Classic implementation and finite element implementation based on trial function method > 6.3 Basic steps in the finite element method > Video 6.3
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以2D问题为例
简单介绍一下有限元方法的基本步骤
首先看一下主要的几大步
第一步是对复杂的几何域进行一个几何域的离散
我们通过离散可以获得标准化的单元
比如这个三节点的单元
那么我们对这个单元要描述它的三大类变量
同时也要通过能量原理
比如最小势能原理和虚功原理来获得它的力学方程表达
这个方程表达就是单元刚度方程
第三步就是在各个单元的单元方程获得以后
要把所有的单元进行集成
集成以后得到一个整体的刚度方程的表达
第四步就是针对BC(u)
也就是说我们要处理位移边界条件
处理好以后，我们就求取
除了BC(u)以外的其它所有节点的位移值
第五步，当我们所有节点位移值获取以后
我们可以计算BC(u)
就是说有约束的地方的支反力
最后，如果需要的话
我们可以对每一个单元计算其它的物理量
比如应变和应力
那么在刚才提到的六个步骤里面
最核心的就是单元研究
那么我们看一看单元研究
我们比如有1D单元、2D单元、3D单元
所谓的单元就是我们标准的、参数化的几何划分出来的
我们叫单元
那单元研究同样也离不开我们的力学的描述和力学方程
我们都知道，首先单元里面有节点
那节点的话，就是要描述参数化的几何节点的节点坐标
同样对节点上的位移分量和
节点上的力的分量要进行一个描述
在节点描述的基础上，要进行单元上的函数的描述
也就是场的描述
这个场包括我们三大类力学变量
也就是说位移场、应变场和力学场的函数的描述
基于场函数的描述，我们要计算最小势能
也就是说用最小势能原理来计算系统的刚度方程
具体就要算单元上的应变能U，还有外力功W
如果用虚功原理的话，就要计算
单元上的虚应变能δU
还有单元上的虚外力功δW
那么我们通过最小势能原理或者虚功原理
可以获得单元的方程
单元的方程我们前面在证明
最小势能原理和虚功原理的时候都知道
单元的方程实际上就是对原来的平衡方程的加权逼近
同时也是对力的边界条件的加权逼近
这是它的物理含义，这一点非常重要
下面具体介绍有限元方法的基本步骤
第一步就是把变形体复杂几何区域进行离散化
也就是把Ω变成Ωe
Ωe就是我们的单元
它具有参数化、标准化、规范化的特征
第二步进行单元的研究
首先要进行单元的节点的描述
那么我们知道单元的节点变量有几何坐标
我们以1D杆单元为例
我们就是节点1、节点2
我们几何坐标就是x1,x2
那么对于1D杆单元我们要描述节点位移
我们叫u1,u2
我们把它写成一个节点位移的列阵
我们把节点变量也称为自由度
对于1D杆单元它有两个节点的位移
所以它叫两个自由度
对于节点力P1和P2
同样我们把它写成一个列阵
在得到节点的描述以后
我们要进行单元的场的描述
那么这个单元的场呢，我们有位移场
应变场还有应力场
那么我们看一看
对于这个1D的杆单元
我们的位移场由于是两个节点位移
所以我们取两个待定系数
我们这个函数也是从低阶到高阶
所以我们这里有一个收敛性的要求，有两点
一点是待定系数的个数要和我们的节点自由度要对应
具有唯一确定性
第二，我们的多项式是从低阶到高阶
那么我们取了位移场函数以后
我们用节点条件来进行插值
我们可以得到这个位移场函数的一个表达
同样应变场我们用几何方程把位移场函数代进去
我们可得到应变场的这么一个表达
对于应力场同样也是
我们用上物理方程把刚才得到的应变场函数
代到物理方程里来
可以得到应力场的表达
我们把三大类场函数都可以看看
都是基于一个节点的位移的表征
也就是说都是基于qe
当然中间的具体推导
我们在后面的具体单元研究中会给大家作一个详细的推导
我们这里就给出一个表达式
在得到了三大类变量的场的描述以后
我们要运用能量原理来得到相应的单元的方程
那么这个能量原理，首先如果用最小势能原理
那就是要计算应变能
应变能我们都知道
我们把应力和应变的这个场函数
前面得到的这个表达式代进来，就可以得到
这个具体的表达我们在后面单元研究中会给大家具体推导
同样，外力功呢
对于我们这个杆单元，因为是两个节点力
所以直接就是节点的力乘上节点的位移
那这样我们把它写成一个矩阵列阵的表达
就可以得到
那么势能等于应变能减外力功
我们把这个势能、外力功代入以后
就得到这样一个表达
最小势能原理就是取极小值
对谁取极小值呢
就是对节点位移q取极小
那么我们对势能，对q取一阶导数
让它等于0
这样的话我们就得到这么一个单元的刚度方程
这个方程叫
那么这个K等于
这个B是应变场的B(x)函数乘上弹性系数矩阵
再乘上个应变，对整个域积分
这个表达式我们在后面单元中间还要具体地推导
那么这个力同样也可以表达成
我们施加的外力还有我们的反作用力
比如是位移边界条件里的支反力
在单元研究的基础上
也就是说我们得到了单元刚度方程
我们就要进行第三步，叫组装
组装就是把Ωe要集成成一个大的Ω
这样我们单元刚度方程组装成一个整体刚度方程
那么每一项我们都加起来，是一个组装的关系
第四步，边界条件的处理并求解节点的位移
那么我们把刚才得到的整体刚度方程
把它写成分块形式
也就是说我们把基本变量q
也就是节点位移写成两个部分
一个部分是未知的，一个部分是已知的
已知的就是相当于我们的位移边界条件
同样把力这一部分也写成两个部分
一个是PF，施加的外力
还有一部分是支反力
那么我们把分块的这个整体刚度方程写成这么一个形式
我们可以看到，这是未知的节点位移
这是已知的节点位移
这是已知的外力
这是未知支反力
大家可以看看，已知和未知之间它是一个互补的关系
可以把上面分块的方程写成两个子方程
这个叫第①个方程
这个叫第②个方程
我们可以由第①个方程直接来求出qu
qu就是未知的节点位移
那么我们写出的表达式是这样的
当求出未知的节点位移以后
加上节点的边界条件
这样的话我们就得到所有节点的位移
所有节点的位移知道以后
我们就可以由方程②直接来求支反力
那这个支反力求解的结果是这样的
那第六步就是求解其它的力学量
这个也是在求得整体节点位移以后
不同的单元也就从整体节点位移里面
把这个单元所对应的节点位移提出来
然后再分别计算各个单元的应力和应变
实际上就是由几何方程来算应变
用物理方程来算应力
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
