当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 7、Finite element analysis of bar and beam structures > 7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste > Video 7.2
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对于平面纯弯梁
我们首先研究在局部坐标系下它的单元构建
首先是节点描述
节点描述包含几何坐标的描述
对于我们这个局部坐标系的平面纯弯梁
两个节点，节点1、节点2
那么节点1的坐标就是x1=0
对于节点2，它的坐标就是x2=l
节点位移的描述
对于平面纯弯梁来说
节点1它有一个挠度叫v1
另外还有一个转角叫θ1
对于节点2来说，它的挠度是v2
转角是θ2
所以我们把这四个节点的位移
包括挠度和转角把它列成一个列阵叫qe
就是v1,θ1,v2,θ2
它有四个自由度
那同样，我们也把节点上的节点力
把它列成一个节点力的列阵
就得到了一个Pe
这个Pe分别对应着Pv1,M1,Pv2,M2
M1和M2是节点1和节点2上的弯矩
Pv1和Pv2是它的节点力，都是沿着y方向
在单元上我们要进行场的描述
这个场也是三大类变量场
首先是位移场
平面纯弯梁的位移场就是挠度
这个挠度我们取多项式
按照位移模式的两个原则
从低阶到高阶、唯一确定性
那么我们有四个自由度
也就是说有四个节点位移的分量
这样我们就可以确定四个待定系数
所以我们取
这四个待定系数
由节点条件，在1号节点x=0的时候它要等于v1
它的转角要等于θ1
在2号节点，就是x=l的时候
它要等于v2
它的一阶导数要等于转角θ2
那么我们代到位移模式里面去
就可以把a0到a3这四个常数求出来
求出来以后再代回到位移场函数里去
重新表达成v1,θ1,v2,θ2的这么一个关系
我们采用一个无量纲的表达ξ
ξ=x/l
这样我们再写成矩阵形式
这个q就是我们的节点位移的列阵
前面就是形状函数矩阵，它有四项
由几何方程对挠度进行求两阶导数
这样我们可以获得它的应变
那么这是由几何方程获得的
那么我们把这个函数代进去
最后我们可以写出这么一个表达
注意一下这个y上面一个三角
这是相对于中性层为起点的y方向的坐标
那么这个B矩阵乘上一个qe
这个B矩阵我们也叫几何矩阵
那么我们分别把这四项写成
B1,B2,B3,B4这四个函数
当然前面还要乘上一个以中性层为起点的y方向的坐标
前面还有一个负号
有了应变的描述
那么我们由物理方程可以得到应力
对于平面纯弯梁来说
它实际上就是一个一维的虎克定理
就是乘上一个弹性模量
那么同样，我们把应力表达成节点位移前面乘上一个矩阵
前面这个矩阵就叫应力矩阵
在单元三大类变量的描述基础上
我们要计算单元的应变能
那对于平面纯弯梁，这个应变能就两项
就是应力乘应变
我们把前面的这个应力和应变的表达
基于节点位移的表达分别代进去
就得到这么一个关系
这个关系最后可以表达成
1/2乘上节点位移的转置
再乘上一个K矩阵
再乘上一个节点位移的列阵
这个K它等于
那么我们把B矩阵里面的B1,B2,B3,B4这些函数
分别代进去，一个是转置，一个不转置
分别相乘，就得到这个K矩阵实际上是一个4X4的
里面是这些函数的组合
分别进行积分
在横截面的这个积分就是我们的惯性矩
当然这个惯性矩实际上是
针对xy坐标系里面相垂直的轴，也就是z轴的
所以我们叫Iz
那么这项是针对dx的积分
我们分别计算出来，得到的这些系数就列在这里
也是一个4X4的矩阵
单元的外力功
我们两个节点
每个节点上的力有y方向的集中力，还有一个弯矩
所以我们把集中力乘上对应的节点位移
弯矩乘上对应的转角
我们把它写成一个矩阵形式
它就是P转置乘上一个qe
这个P矩阵就是节点的节点力
也就是说它是1号节点y方向的节点力以及弯矩
2号节点y方向的节点力以及弯矩
由最小势能原理对这个单元的势能
单元的势能是应变能减外力功
我们取极小值
这个极小值是针对我们的单元节点位移q来进行的
所以说对q取一阶导数，让它等于0
我们就得到单元的刚度方程，就是
这就是平面梁单元的刚度方程
这个K矩阵是一个4X4的
q是节点位移，是4X1的
P是节点力，也是4X1的
那单元的刚度矩阵是4X4的
具体的每一个元素列在这里
节点位移、节点力
我们基于MATLAB来实现梁单元的有限元分析
同样也需要五个MATLAB函数
它们分别是计算刚度矩阵的Stiffness函数
Assembly它是计算单元的组装
Strain是计算单元的应变
Stress是计算单元的应力
另外还有计算单元的挠度Deflection
对于Stiffness这个函数
它需要输入弹性模量、横截面的惯性矩
以及梁单元的长度
它输出界单元的刚度矩阵，4X4的
对于Assembly函数
它需要输入单元刚度矩阵K、单元的节点编号i,j
它输出整体刚度矩阵KK
对于函数Strain
它是计算梁单元里面的B矩阵
它需要输入梁单元x坐标
也就是说你需要计算哪一个位置的那个坐标
还需要输入以中性层为起点的y方向的坐标
还有梁单元的长度
它输出单元几何形状函数矩阵的那个B矩阵
它是1X4的
对于函数Stress
它是计算单元某一点的应力
它需要输入弹性模量、几何矩阵B
节点位移列阵u
输出的是单元的应力Stress
对于Deflection这个函数
它是计算单元内某一点的挠度
需要输入观测点距单元左节点的水平距离x
还需要输入梁单元的长度，节点位移列阵
它输出的是该点的挠度v
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
