当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 12、Introduction to the application of finite element analysis (1) > 12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle > Video 12.1
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同学们好，首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们讲解了
1D高阶单元
2D高阶单元
3D高阶单元
基于薄板理论的弯曲板单元
子结构与超级单元
这一讲我们将讲解
结构振动的有限元分析的基本原理
结构振动的有限元分析实例
弹塑性问题的有限元分析的基本原理
弹塑性问题的有限元分析的非线性方程求解
任何变形体都存在的固有频率和振动模态
当有外界的激振力作用的时候
一定会产生一系列的响应
因此我们在实际工程结构中
除结构的静力分析外
还要进行结构的振动分析
特别是在航空航天、运输、工程机械
风力发电、建筑结构及桥梁中间尤为重要
它对结构的工作状态及功能控制具有重要意义
我们首先考查一下结构振动问题的基本变量
和基本方程
首先看看基本的变量
同样，还是三大类的变形体描述的基本变量
只不过它所有的变量除了和几何位置ξ(x,y,z)相关以外
同时和时间也是相关的
也就是说我们的位移、应变和应力都是时间的函数
我们看看三大类基本方程
第一个，平衡方程
我们同样取一个微小的体元dxdydz
除了静态的平衡关系以外
它还有一个动态的惯性力、还有一个阻尼力
由D'Alembert原理
把这个惯性力和阻尼力加上一个负号
放到静态的平衡方程里面去
就组成了我们结构振动的平衡方程
我们看看，这是我们原来变形体力学的平衡方程
我们加上惯性力和阻尼力
当然这是用D'Alembert原理，加上一个负号
其中这个ρ为密度，ν是阻尼系数
bi为体积力，ui两点和ui一点
分别表示u针对时间t的二阶导数和一阶导数
它分别表示i方向的加速度和速度
几何方程就是完全变形的描述
跟我们前面静态平衡关系和变形方程的描述一样
物理方程也是一样的
边界条件同样我们也有BC(u)
就是指定位移ui一横
还有力的边界条件，指定的pi一横
这个和原来一样
同样我们要强调
在结构振动里面还有一个初始条件
叫initial condition,称IC
也就是说当t=0的初始时刻
它的位移和速度要分别等于指定的位移和速度
结构振动问题的虚功原理
同样我们也是在原来推导静态问题的虚功原理基础上
加上惯性力和阻尼力就可以得到
我们看看，我们对于平衡方程和力的边界条件
我们写出它加权残值意义下的等效的积分形式
就是关于泛函的一阶的变分要等于0
一阶的变分实际上就是原来我们讲过的
平衡关系乘上加权函数，也就是说位移的增量
力的边界条件也乘上加权函数进行积分
它要等于0
我们把这一项，就是σij偏导j，乘上δui这一项
以前我们做过的
我们是用的高斯-格林公式进行分部积分来做的
我们把这个分部积分反过来写
原来我们是这么进行的一个分部积分
现在我们用这个关系，把它表达出来
表达出来以后，我们代入以后就得到这么一个关系
这个关系同样它是等于0的
写入的时候，我们把σij用物理方程写成
也就是说用物理方程把应力表达成应变
乘上一个弹性系数矩阵的这么一个关系
和原来相比，其它都一样
就是增加了这一项
这一项是由于加速度引起的惯性力
这一项是由于阻尼引起的惯性力
这样我们就得到了动力学问题的虚位移
或者叫虚功方程
同样在有限元的建模中间，我们要注意
我们的节点位移是时间的函数
我们把节点位移写成列阵qe(t)
当然它是时间t的函数
对于这个基于节点的描述
我们同样也可以对单元的位移场进行描述
也就是说我们取一个插值函数
当然位移场同样是时间的函数
这个时间就表现在我们节点位移的时间变化上
前面的形状函数还跟原来完全一样
有了位移场的描述以后
我们就可以进行应变场、应力场的描述
同样，应变场等于
应力呢，同样也等于
由于我们动力学问题是时间的函数
所以把位移表达成一阶导数，就是速度
它就表达成形状函数乘上节点位移对时间的一阶导数
同样，这个单元的加速度场可以表达成
形状函数乘上节点位移加速度这么一个插值关系
那么我们把前面得到的位移、应变、应力、速度和加速度
都表达成节点的关系，代入到虚功方程里面去
就得到这么一个表达
这样我们就可以看看
这个就是关于节点位移的增量，它具有任意性
要使得这个虚功方程恒为0
那就是前面这项要恒为0
所以我们就得到结构动力学问题分析的有限元的方程
它包含这么几个部分
加速度项、速度项，还有就是静态项
这个M矩阵我们可以看看
对于C矩阵，它是
K矩阵和P矩阵和原来我们静态的情况一样
有了单元的有限元的方程
我们就可以得到装配以后的结构总的刚度方程
当然它同样也包含加速度项、速度项还有静态项
节点位移还有节点力，还有M、C、K矩阵都是一个装配关系
我们分几种情况对结构振动问题进行一个讨论
第一个就是考虑静力学问题
也就是说把原来的问题考虑与时间无关
这样的话原来的方程就可以退化为
这就是我们静态分析的刚度方程
那么再考虑一个无阻尼的情况，也就是ν=0
同样我们由结构的振动分析的总刚度方程
我们把这项取为0，就得到
再考虑无阻尼自由振动情况
除了ν=0以外，同时载荷也让它等于0
这样我们把上个方程退化成
我们把无阻尼自由运动称为自由振动
这样，我们得到的这个方程
它的解是一个简谐振动
我们假定
这个i是一个虚数，ω是一个常数
它是一个简谐振动的表达
我们把它代进去
前面求两阶导数，代进去过后得到这么一个关系
由于这一项是不为0的
所以让它有非零解，前面这一项要为0
这项为0，我们看看，把这个q三角提出来
它要等于0，同样它要有一个非齐次解
也就是说让q要不等于0，它是非齐次解的
就得到，前面的行列式要等于0
这样就得到
如果我们把ω平方定义为λ
这个λ就是特征值，ω称为自然圆频率
把自然圆频率除上一个2π
它就是自然频率，单位就是赫兹
q三角，它是特征向量
它对应着振动频率ω的振型
我们重点讨论一下结构振动问题中的
质量矩阵的计算方法
我们看一下，这就是我们结构振动的有限元的方程
其中质量矩阵M
这是阻尼矩阵C矩阵
这是刚度矩阵
质量矩阵和阻尼矩阵都是N矩阵转置乘上N矩阵
对整个单元进行积分
如果我们用N矩阵转置乘上N矩阵
直接来进行M矩阵的计算
也就是说直接用形状函数来推导出的质量矩阵
就称为一致质量矩阵
这个一致就是说
形状函数和刚度矩阵所用的那个N矩阵是一致的
这样我们得到M矩阵的各个系数之间一定是耦合的
如果我们做一个简化，我们把质量都集中到节点上
这个“集中”就是系数都集中在M矩阵的对角线上
因此它各个系数相互之间是独立的、是解耦的
是便于求解的
所以我们把这样的，集中在对角线上的质量阵
我们就称为集中质量矩阵
我们分析一下杆单元的质量矩阵
也是两种情况，一致质量矩阵和集中质量矩阵
杆单元的形状函数
我们把这个形状函数转置后再乘上它
对这个杆单元进行积分
我们就可以得到这么一个2X2的质量矩阵
它是一致质量矩阵
如果我们把这个杆
它是均匀分布的
我们把这个质量分一半到m1，分一半到m2
也就是说它是
就得到一个集中质量阵的表达
就是m1和m2，它是一个对角线的矩阵
交叉项它是等于0的
我们再给出梁单元、平面三节点三角形单元
还有平面四节点矩形单元的
一致质量阵和集中质量阵
我们看一下，梁单元的一致质量阵是一个满秩的
集中质量阵就集中在v1和v2这两个节点上
关于θ1和θ2，它没有
所以它非常简单
对于平面三节点三角形单元
它有6个自由度，同样我们由一致的质量矩阵
得到这么一个表达，当然它中间有一些0元素
集中质量阵就非常简单，完全集中在对角线上
对于平面四节点矩形单元
同样我们得到的一致质量矩阵是一个8X8的
得到的集中质量阵完全集中在对角线上
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
