数学分析I

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数学分析I视频慕课课程简介：

数学分析I的MOOC课程涵盖了一元微积分的微分部分、实数完备性理论以及不定积分。面向的是大学数学系的学生，内容远少于工科微积分，然而十分不容易。第一章介绍实数集，堪称最难一章。逻辑推理能力强的同学们，你愿意接受挑战吗？

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数学分析I课程列表：

第1章 实数集与函数

-第一节 实数

--A 实数的小数表示、大小以及四则运算

--B 实数的阿基米德性

--C 实数与数轴、稠密性和三角不等式

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 数集 确界原理

--A 有界集、确界

--B 确界存在定理的证明

--C 确界存在定理的另一个证明

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 函数概念

--A 函数的定义和例子

--B 函数的四则运算、复合函数、反函数和初等函数

--第三节讨论题

--第三节作业题

-第四节 具有某些特性的函数

--A 有界函数

--B 单调函数

--C 奇函数、偶函数和周期函数

--第四节讨论题

--第四节作业题

第2章 数列极限

-第一节 数列极限的概念

--A 数列的定义和例子，收敛数列的定义，以及按定义验证极限

--B “ε-N”语言及一些例子

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 收敛数列的性质

--A 唯一性、有界性、保号性、保不等式性和迫敛性

--B 极限的四则运算和一些例子

--C 收敛数列的子列

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 数列极限存在的条件

--A 单调有界定理

--B 柯西收敛准则

--第三节讨论题

--第三节作业题

第3章 函数极限

-第一节 函数极限的概念

--A 自变量趋向于无穷时函数的极限

--B 自变量趋向一点时的函数极限

--C 单侧极限

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 函数极限的性质

--函数极限的性质

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 函数极限存在的条件

--A 归结原则

--B 单调有界定理和柯西收敛准则

--第三节讨论题

--第三节作业题

-第四节 两个重要的极限

--两个重要的极限

--第四节讨论题

--第四节作业题

-第五节 无穷大量与无穷小量

--A 无穷小量与无穷小量阶的比较

--B 无穷大量

--C 渐近线

--第五节讨论题

--第五节作业题

第4章 函数的连续性

-第一节 连续函数的概念

--A 函数在一点的连续性

--B 间断点的分类

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 连续函数的性质

--A 连续函数的局部性质

--B 闭区间上连续函数的性质

--C 反函数的连续性和函数的一致连续性

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 初等函数的连续性

--A 指数函数的连续性

--B 初等函数的连续性

--第三节讨论题

--第三节作业题

第5章 导数和微分

-第一节 导数的概念

--A 导数的概念

--B 导函数

--C 导数的几何意义

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 求导法则

--A 导数的四则运算和反函数的导数

--B 复合函数的导数和基本求导法则与公式

--C 求导法则习题课

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 参变量函数的导数

--参变量函数的导数

--第三节讨论题

--第三节作业题

-第四节 高阶导数

--高阶导数

--第四节讨论题

--第四节作业题

-第五节 微分

--A 微分的概念和运算法则

--B 高阶微分以及微分在近似计算中的应用

--第五节讨论课

--第五节作业题

第6章 微分中值定理及其应用

-第一节 拉格朗日定理和函数的单调性

--A 罗尔定理

--B 拉格朗日定理

--C 函数单调性的判别

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 柯西中值定理和不定式极限

--A 柯西中值定理

--B 0/0型不定式极限

--C ∞/∞型不定式极限

--D 其他类型不定式极限

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 泰勒公式

--A 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

--B 常见函数的佩亚诺型余项的泰勒公式

--C 带有拉格朗日型余项的泰勒公式，以及泰勒公式在近似计算中的应用

--第三节讨论题

--第三节作业题

-第四节 函数的极值与最值

--A 极值判别

--B 求函数的极值点与极值的例子

--C 最大值与最小值

--第四节讨论题

--第四节作业题

-第五节 函数的凸性与拐点

--A 函数凸性的定义

--B 可导函数的凸性以及曲线的拐点

--第五节讨论题

--第五节作业题

-第六节 函数图像的讨论

--函数图像的讨论

--第六节讨论题

-第七节 方程的近似解

--方程的近似解

--第七节讨论题

第7章 实数的完备性

-第一节 关于实数集完备性的基本定理

--A 区间套定理

--B 聚点定理

--C 有限覆盖定理和实数完备性定理的等价性

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 闭区间上连续函数的性质

--A 最大、最小值定理和介值性定理

--B 一致连续性定理

--第二节讨论题

-第三节 上极限和下极限

--A 上（下）极限的基本概念和基本性质

--B 上（下）极限的性质

--第三节讨论题

--第三节作业题

第8章 不定积分

-第一节 不定积分概念与基本积分公式

--不定积分概念与基本积分公式

--第一节讨论题

--第一节作业题

-第二节 换元积分法与分部积分法

--A 换元积分法

--B 分部积分法

--第二节讨论题

--第二节作业题

-第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分

--A 有理函数的不定积分

--B 三角函数有理式的不定积分

--C 某些无理根式的不定积分

--第三节讨论题

--第三节作业题

数学分析I开设学校：北京交通大学

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