当前课程知识点：高等数学习题课 >  第二章 数列极限 >  第2节 数列极限存在的充分条件 >  例2.2.8

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例2.2.8

下一节:例2.2.9（1）

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例2.2.8课程教案、知识点、字幕

下面我们继续求极限问题

在这个极限问题中

分子是1乘3 一直乘到2n减1

分母是2乘4 一直称到2n

连乘的个数和n有关

我们显然不能用四则运算来求解

我们希望仍用夹挤原理来试一试

在微积分中呢

我们在极限这一部分经常要用到一些不等式

这也是初学者

为什么会觉得微积分很难

主要原因就是我们常用不等式

好这个题里所用到的不等式

是大家十分熟悉的

也就是中学里所讲的

基本不等式

也就是ab都大于0

a加b大于等于2倍根号ab

那么把2除过来呢

就是算术平均数大于等于几何平均数

下面我们来具体写一写

那么这里我们来看一看

首先这个2呢

我可以给他写成2分之3加上1

可以看成1和3的算术平均数

它是大于根号下1乘以3

4我可以看成2分之5加3

它大于根号下5乘以3

那么一直进行下去

比方说到了2n

我可以看成2分之2n减1

加上2n加1

它大于根号下2n减1

乘以2n加1

这个时候我们来个连乘

接下来我把这些项都连乘一下

这就得到了2乘4

一直乘到2n大于

巧了 这块是根号3

这也有一个根号3

这有个根号5

下边一定也有一个根号5

这有一个根号下2n减1

上边一定也有一个根号2n减1

所以连乘之后

这就应该大于1乘3

一直乘到2n减1

这还留下一个

留下一个什么呢

留下一个根号下2n加1

好 这样我们就可以得到一个不等式

什么样的不等式呢

就是这样的不等式

1乘3一直乘到2n减1

比上2乘4一直乘到2n

它呢 它是小于根号下2n加1分之1的

在初等数学中

这个不等式是十分经典的一个不等式

从而我们下边由夹挤原理

n趋无穷时

右端趋于0 左端呢又是非负的

最终我们就能够得到

这个数列的极限为0

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.8笔记与讨论

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  17. 力学(2021秋)

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