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例2.2.11在线视频

例2.2.11

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例2.2.11课程教案、知识点、字幕

好 我们再来看这样一个问题

仍然是数列的问题

满足x1大于x2 大于0

xn加2等于根号下xn加1乘以xn

这仍然是一个递推数列

与之前不同啊

这里边第n加2项的值

要依赖于前两项的值

所以这个问题稍微复杂一点

让我们证明极限存在

并求其值

我们现在还是希望

用单调有界定理来讨论

好 我们来具体看一看

这里啊 我们首先看看

它是否是单调的呢

x1大于x2大于0

我来写一下 x1大于x2大于0

那么我们看看x3怎么样啊

x3它等于根号下x1 x2了

注意 x1大

所以这里我放缩一下

就小于根号下x1平方就小于x1

它往小了放呢

就是大于根号下x2平方开出来就是x2

好 这里我们一看 糟糕

糟糕在哪啊

这个数列x1大于x2

但是x3呢

并不比x2要小了

而x3是大于x2的

这说明这个数列不是单调的数列

当然我们可以看看x4

x4等于根号下x2 x3

那么x3大啊 这就小于x3

那么大于 大于谁呢

大于x2

这又糟糕了

糟糕在哪呢x4比x3又小了

这说明啊我们一直推下去

似乎xn这个数列的确不是单调的

那这时你要想用单调有界定理该怎么办呢

细心的同学可以发现

我可以分为奇子列和偶子列来讨论

我们不难看到

首先你看一看x2是比x4小的

这里你如果一直推演下去

是否也能得到相应的结论呢

实际上 偶子列

也就是x2n

它们是单调递增的

那我们再看看奇子列

这里x3是小于x1的

我们来猜一猜

奇子列是否是单调递减呢

我们来具体看一看

请大家用数学归纳法来证明一下

在这里我们就不给大家去一一写出了

我们可以用数学归纳法证明

x2n这个偶子列

它是单调递增

x2n减1

这个奇子列

是单调递减

事实上呢

这个数列最后写出来是这个样子的

比方说x2小于x4

小于偶子列 递增

比方说小于某一个x2n 一直小于下去

那么奇子列单调递减

它小于x2n减1

小于x2n减3

一直小于下去

比方说小于x3 小于x1

我们用归纳法能够得到这样一串不等式

显然呢 偶子列单调递增

并且有上界

这个上界呢可以用x1来作为上界

奇子列单调递减

还有下界

这个下界呢就用x2来代替

这样呢 我们就得到了

当n趋无穷时

偶子列的极限是存在的

奇子列的极限也是存在的

那么我们如何说明xn的极限存在呢

大家还记得前面的例子

如果偶子列的极限

和奇子列的极限

存在并且相等

那么这时xn的极限也就存在了

我们来具体看一看

在递推关系中

有这样的关系

后xn加2这一项

等于根号下xn加1乘以xn

好 我们利用递推关系来说明这件事

这个极限地既然存在

我们就把它设成A

这个极限也存在

我们把它设成B

我们利用这个递推关系

x2n等于根号下x2n减1乘x2n减2

在这个等式两端

令n趋无穷

那么x2n的极限呢是A

这有推出了A等于根号下

x2n减1的极限是B

x2n减2的极限还是A

这样我们就推出了A得B

大家注意了

这里啊 AB都是大于0的

你可以想一想为什么

这样我们就说明了AB相等

最终就推出了n趋无穷时

xn的极限是存在的

我们还差一步

就是求极限的值

好 我们如何来求极限呢

大家知道这两边一平方吧

xn加2的平方

就等于xn加1乘以xn

那么xn是存在极限的

我们这样做

我们设这个极限得A好了

根据我刚才讲的

大家习惯了

怎么做呢

说这个语言用得很标准

说在这个等式两端

我令n趋无穷

你会发现糟糕啊

怎么糟糕了呢

这边的极限是a方

右边的极限也是a方

你是解不出来的

所以有的时候呢

我们用单调有界定理

你虽然证明了这个极限是存在的

但有可能两边取极限啊

你是求不出来的

此时我们需要想一想特殊的方法

在这呢 我们来观察一下

事实上xn加2的平方

我再给它乘个xn加1好了

右端啊就变成了一个同样的形式

你看出来了吧

是xn加1的平方

再乘xn

这说明什么事啊

这说明这样一个数列

xn加1的平方乘xn

这是一个常数列

就是它后一项和前一项相等

从而这实际上就是x2的平方乘x1

现在我再说就可以求了

两端令n趋于无穷

这样就有A的3次方等于x2的平方

乘x1

从而我们就计算出了这个极限的值

xn它等于3次根号下x1乘x2的平方

好 这个问题我们就解决到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

--Video

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.11笔记与讨论

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