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同学们好

今天我们讲述的主题是正弦稳态分析研究的问题及工具

如图示RL电路 电路方程为

L di比dt加上Ri等于Us

我们知道 如果Us=U时解为

i等于U比R减去U比R乘以e的负的τ分之t次方

第一项稳态解 U/R

第二项为暂态解 经过3-5个τ基本衰减完毕

如果激励为交流

代入初始值解该微分方程得电路i(t)的响应是

第一项稳态解是与激励Us同频率的正弦量

第二项暂态解，经3-5个τ基本衰减完毕

方程的解说明L、C作为动态元件

储能元件在电路中有两个效果

第一电路中的电压和电流包含暂态响应

和稳态响应会产生一个短暂的过渡过程

第二L、C的初始储能通过R释放

新的电源激励促使L和C储存新的能量

直流输入

电压和电流直流达到稳态时保持不变

交流输入

电路电压电流达到稳态时还在不断变化

且与激励同频率

而且L、C同时出现在电路中

还会互相交换电场能和磁场能

直流输入时的稳态解简单可求

这一章我们主要需要关注的是

怎样方便求解交流激励时的稳态解

并且分析储能元件LC对电路耗能有什么影响

以及对交流电源提供的功率有什么要求

交流电路通常指激励和响应

均为同频率的正弦量的线性电路

也叫正弦稳态电路

如图 交流瞬时值可表达为

高等数学告诉我们 正弦信号是一种基本信号

任何非正弦周期信号可以分解成

不同频率的正弦分量的无穷级数和

这个式子也叫傅立叶级数

为什么要讲正弦交流电路呢

第一 生产上和生活中使用的都是正弦交流电

二 正弦激励易于产生、变压、传送和分配

三 正弦量变化平滑

作为电压和电流不会破坏电气设备的绝缘

并可获得较好的电性能

四 正弦信号是最基本的信号

非正弦可以变换为不同频率的正弦波的合成

正弦函数易计算且加 减

微分 积分运算仍是同频率正弦函数

所以对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义

我们需要认识和把握好频率对正弦电路的影响

在单一频率问题解决好的前提下为变化频率问题

以及非正弦多频率问题的解决奠定基础

正弦量表示瞬时值用小写字母表示

可以用cos函数和sin函数来表达

两者初相角相差90度

因此只要在一个问题的分析中统一即可

正弦电压与电流是周期变化的量

如

曲线如图

正负交替 存在正半周和负半周

在正弦量中初相角ψ决定正弦量起始位置

角频率ω决定正弦量变化快慢

幅值决定正弦量的大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素

角频率常常与周期和频率相换算

注意他们之间的关系是

角频率ω等于2π除以t 也等于2πf

正弦量的大小用幅值与有效值反应

幅值用大写的字母加下标表示 比如

有效值用大写的字母表示跟直流一样比如I、U、E

有效值定义也来源于与交流热效应相等的直流量即

交流量i的平方乘以R一个周期内的积分等于直流量一周的热效应

I的平方RT这个直流量就是交流量对应的有效值

将正弦量代入有效值定义式

可得正弦量的有效值等于0.707倍最大值

初相位表示正弦量在t=0时的相角

ψ就是ωt加ψ在t等于零时刻所对应的值

它给出观察正弦波的起点或参考点

相位差φ指两同频率正弦量之间的相位差

也等于初相差

在半周期内谁先到达峰值点谁超前

因为函数呈周期性

不能比较超过180度的相位差

如图电压和电流

那么电压超前于电流φ

注意 同频率的正弦量之间的相位差为常数

与选择的计时起点无关

不同频率的正弦量比较相位差没有意义

常见的相位差有超前或者落后90度

同相以及反相 如图所示反相即是相差180度的相位差

从几何意义上看正弦量可以用一个周期性旋转的有向线段

在纵轴或者横轴上的投影来理解

如图有向线段Um与横轴的夹角为ψ

以角速度ω沿逆时针方向旋转

每一瞬时在纵轴上的投影表示正弦量的瞬时值

如果在横轴上的投影则表示余弦函数

同频率情况下比较和研究不同的正弦量主要是看大小和初相

等同于有向线段的长度和初始位置

有向线段在复平面上表示为复数

也等于Um角ψ

与正弦量相对应我们称其为相量

表示正弦量的复数称相量它与正弦量是对应关系

用大写字母加点表示

比如

如相量跟复数一样表示法有代数式

三角式指数式和极坐标式

比如A可以写成

A+jb=rcosψ+jrsinψ

也等于r乘以e的jψ

也等于r角ψ

还可以在复平面上做图表示

对应于正弦量

表示为

相量的膜等于正弦量的有效值

相量的俯角等于正弦量的初相位

当然也可以表达成最大值相量

它们仅仅只有大小的差别

有效值

等于U乘以e的jψ

等于U角ψ

等于U乘以cosψ加jsinψ

两个相量的相量图表示为

正弦量用相量表示有什么意义呢

我们用实例加以说明

如有三相电源中两相电源电压分别为

两者相串联 参考方向相同要相加 相反则减

方法一 用三角函数运算

根据三角函数和差化积公式

可得同理相减

方法二 用相量运算

将正弦量变成有效值相量形式为

220角0度 220角负120度

两者相加化成代数式再相加得220角负60度

反变换成正弦量为

根号2 220cosT减60度

结果一样

两者相减得381角30度反变换结果也一样

方法三 用向量图来求解

如图 用平行四边形法则合成 对于特殊角度和特殊模长的复数来说

很容易用几何关系得到结果为

220角负60度和381角30度

结果也一样

显然 变换成相量后用相量图非常简便

这个实例两运算的正弦量有效值相等还可以用三角函数变化来运算

大家可以设想 如若大小不等的正弦量做加减运算

三角函数运算难以进展 相量法具有更加突出的优势

所以解决正弦稳态解的有效方法是三步走

第一 变换为相量 第二 复数运算 第三 反变换为正弦量

下面我们来做一个小结

一 正弦稳态分析是解决交流激励下电路的稳态解和功率问题

解决正弦量计算的工具分三步走

一 变换为相量 第二 复数运算 第三 反变换为正弦量

相量表示正弦量而不等于正弦量

不等于

不能在等式上划等号

非正弦量不能用相量表示

相量的代数式适用于加减指数式和极坐标式适用于乘除运算

四种表达式可以按照需要相互转换

我们也可以在复平面画相量图表示相量 相位关系非常清晰

而且对于特殊角度和特殊模长的相量 很容易用几何关系做运算

但是注意同频率的正弦量画在同一相量图上才有意义