初等函数在线视频

下面我们来把我们在微积分里面常用到的

一些简单函数做一下总结

这就是我们要介绍的第一章的第五节内容

我们把它起名字叫初等函数

所谓初等函数

实际上就是说

只牵扯到最基本的运算

或者是说只牵扯到我们最常见的简单函数

这样的函数

当然

就是我们再说得确切点

这里面要牵扯到所谓的基本初等函数

基本初等函数

什么叫基本初等函数

我们习惯上把这六类函数称为基本初等函数

比如说

常函数f（x）在它的定义域上恒等于常数C

然后

再一个是幂函数

就是f(x)等于x的α次方

第三个是指数函数

f(x)等于a的x次方

a>0,a不等于1

当然在微积分里面

我们经常处理的指数函数是

f(x)等于e的x次方

再一个就是指数函数的反函数

也就是对数函数

f(x)等于log以a为底x的对数

然后a是大于零不等于1的

同样的在微积分里边

我们经常处理的是所谓的自然对数

也就是以e为底的对数

以e为底的对数

然后

再一类就是所谓的三角函数

也就是f（x）=sinx或者是等于cosx

等于正切x，还有余切x

在微积分里面我们还会碰到所谓的正割x

也就是secx

secx它实际上是余弦函数的倒数

我们还会碰到所谓的余割函数

它实际上是正弦函数的倒数

这是所谓的三角函数

最后一类就是我们前面提到的

所谓的反三角函数

也就是f（x）=arcsinx

或者是arccosx

arctanx

等等

这六类函数因为在中学我们大部分都接触到了

只是反三角函数我们在中学没有专门讨论

但是前面我们也提到了反三角函数

它的定义域是什么

它的取值范围是什么

就是它表示的含义是什么

也就是说这六类函数关于定义域问题

关于简单性质指的主要是

单调性周期性等等这些问题

大家都应该是清楚的

这六类函数就是我们平时说的基本初等函数

那么处理函数问题

只要出现了基本初等函数

那我们认为这个问题我们就解决了

所谓的初等函数

我们是这样说的

由基本初等函数

经过有限次的加减乘除运算

或者是经过有限次的函数复合运算

得到的函数我们就叫初等函数

这里面

主要强调了两件事情

函数的组成是由基本初等函数组成

运算是四则运算和复合运算

而且运算次数都是有限的

实际上

在微积分里面

我们碰到的绝大部分函数是初等函数

当然

我们也会碰到一些特殊的非初等函数

比如说我们前面讨论的分段函数

分段函数一般就是非初等函数

再比如说我们前面提到的隐函数

尽管隐函数的一般概念

由于受到我们现在知识的约束

没有给出一般的定义

但是

隐函数一般来说也是非初等函数

比如说

我们在后面还会讨论到的

利用定积分定义的函数

也就变限定积分函数

再后面

我们接触到的

由无穷多个函数加起来得到的所谓的

函数性级数和函数等等

这些都是微积分里面我们会碰到的非初等函数

对我们来说

如果一个函数

它是由一个统一的表达式给出

而且表达式里面又没有无穷运算的时候

这个时候它往往是所谓的初等函数

我们之所以把初等函数单独提出来

因为初等函数在分析里面是有很好的性质

比如说

后面我们会介绍到初等函数在其定义域区间上

每一点都是连续函数

而且初等函数

它的导函数如果还是有的时候

仍然还是初等函数等等

这都是它的性质

然后在这个地方

我们介绍一类我们常见的初等函数

也就是所谓的双曲函数

双曲函数

在某些工科课程里面应该是常见的一类函数

在这我们只是简单的介绍一下什么叫双曲函数

以及一些常用的关系式

比如说

双曲函数它的定义

定义是这样子的

我们有双曲正弦

也就是给它写成sinhx

也就是在正弦函数的基础上加了一个h

h是双曲的第一个字母

它的定义就是

二分之一倍的e的x次方减掉e的-x次方

然后类似的双曲余弦

我们表示成coshx

它的定义是

二分之一倍的e的x次方加上e的-x次方

那当然我们有了双曲正弦，双曲余弦

我们还可以定义双曲正切

双曲正切也就是记成tanhx

它实际是双曲正弦除上双曲余弦

当然与三角函数类似

我们也可以定义它的双曲余切

以及双曲正割和双曲余割

其它的因为定义类似

我们就主要说这三个就可以了

实际上双曲函数是用指数函数

通过简单的加减乘除运算得到的一个初等函数

你比如说

对这三个函数

希望大家能够知道它的定义域是什么

因为对前面两个函数来说

它的定义域就是指数函数的定义域

当然是负无穷到正无穷

比如说它的奇偶性

大家能不能通过这个定义给它分析出来

双曲正弦是奇函数

双曲余弦是偶函数

而双曲正切它的定义域也是负无穷到正无穷

而且它是奇函数与偶函数的商

大家自然能够知道它仍然是一个奇函数

同时

大家根据指数函数的图像

也可以做一个简单地分析

能不能分析出

这三个函数它的图形大概是这个样子

对于双曲正弦来说它的图形定性的角度应该是

这么一个图形

而双曲余弦

因为它是个偶函数

它关于y轴对称

它的图形定性的大概是这个样子

这个点就是x取0时，它的函数值应该是1

应该是1

而双曲正切

也是根据指数函数的性质

我们能不能分析出是这个样子

这个应该是介于y=-1和y=1之间

关于双曲函数的图形

请大家在课下通过指数函数图像去做一些分析

当然到了我们学习了导数之后

也可以利用导数来继续讨论

它的图形为什么是这样子的

在这我们只是给出结论

第三个

关于双曲函数

从记号上大家知道

它借用了三角函数的记号

实际上双曲函数与三角函数的关系

不仅仅只是在记号上借用了

实际上在一些性质上

双曲函数与三角函数是有一些非常相似的性质

比如说

我们常用的关系式

我们在这里列举几个

比如双曲余弦它的平方减掉双曲正弦的平方

应该是等于1的

应该等于1的

还有就是说

关于x+y求双曲余弦

它应该等于coshxcoshy+sinhxsinhy

这个地方

请大家注意这个正负号

它当然跟两角和的余弦公式有些类似

但是这个正负号跟两角和的余弦公式是不同的

希望大家能够想到对双曲正弦来说

这样的关系也是有的

它应该是等于sinhxcoshy+coshxsinhy

我想这是我们常用的双曲函数的关系式

当然大家也可以像三角函数那样

说两倍的x的双曲余弦

我们在这尽管不能叫两倍角公式

但是大家可以仿照

余弦和正弦函数的倍角公式那样

去看一看他们的关系是什么

至于这三个关系式的证明作为练习

请大家自己推出

因为这里面只牵扯到了乘方运算

牵扯到了就是说

指数函数性质

直接把它的定义代进去

做一做

就可以推出来了

所以这个地方我们也是只给出结论

接下来

我们来解释一下它为什么叫双曲函数

双曲函数

实际上三角函数有时候咱也叫圆函数

因为三角函数可以与圆联系起来

或者说圆可以很简单的用三角函数表示出来

实际上我们平时的双曲线应该是这样子的

双曲线

双曲线就是说

x方除上a方减掉y方除上b方等于1

这个表示的是

中心在原点

然后焦点落在x轴上的双曲线方程

如果我们有了双曲函数的第一个恒等关系式之后

大家看一下

这个双曲线如果我们用双曲函数来表示的时候

可以这样表示

x=acosht

y=bsinht

双曲正弦t

t是参数

往这里面一代

它肯定满足这个关系式

这实际上就是双曲线的参数方程

但是这样我们只表示了x>0的情况

也就是我们只表示了双曲线的右半支

如果我们再写出来

x=-acosht

y=bsinht

那我们就得到了双曲线的另外一支的参数方程

正是因为

我们这个双曲函数与双曲线之间的这种关系

所以有时候我们给它叫双曲的

我想这是关于双曲函数这个名称的来由

当然跟三角函数一样

你这有反三角函数

那这双曲函数能不能求它的反函数

实际上从刚才我画的图大家可以看出来

双曲正弦它是个单调递增函数

它在整个定义域上是可以讨论反函数的

如果大家想一下

在前面

我们曾经讨论过

怎么样求一个函数的反函数

当时我给大家的例子

就是这个例子

y=二分之一倍的e的x次方减掉e的-x次方

那现在有了双曲函数之后

我们再来看这个例子

实际上当时就是求的双曲正弦函数的反函数

所以说双曲正弦函数的反函数

也就是arcsinhx应该就等于

lnx加上根下x方加1

那关于双曲余弦

因为它在整个定义域上实际上没有单调性

而且它是偶函数

说如果我们要想讨论它的反函数的时候

我们一定要限定取值范围

一般来说

我们是考虑0到正无穷上它的反函数

说这个表达式也请大家作为练习求一下

也就是说

大家作为一个练习

要求一求

y=二分之一倍的e的x次方加上e的-x次方

这个函数的反函数

这个时候注意我们限定的范围是在大于0的地方

当然双曲正切函数在整个定义域上

是单调递增函数

所以这样在整个定义域上

我们可以考虑它的反函数

我们也是来分解一个简单的代数方程

能够得到它的反函数的表达式

所以说关于反双曲正弦函数它的表达式问题

请大家自己给出