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接下来要讲的是DOM法在一维系统中的应用

一维系统是最简单的

所以我们从分析一维系统开始

这是灰性 线性各向异性散射介质中

方向离散的辐射传递方程的一般形式

我们将离散方向代入辐射传递方程中

并用离散求和代替积分

辐射传递方程我们之前已经推导过了

这里离散方向用i来标记

空间变量我们使用光学厚度

通常我们讨论各向同性散射

这是A1恒等于0

这种情况很简单

这里我们推导一维系统中典型的离散方向

在一维系统里只有一个角度变量μ

我们可以用不同的极角去描述不同的方向

所以μ相同

ξ和η不同的离散方向及其权重可以合并

我们只用μ作为变化的方向余弦

这就是我们把每一层的离散方向合并为一个

在S8模型里有μ1 μ2 μ3和μ4

为什么我们要把离散方向进行合并

因为μ相同的不同的离散方向

通过绕着z轴旋转可以重合

而一维系统中各变量只随z坐标变化

在极角相同也就是绕z轴旋转时

变量是不变的

所以我们可以这样简化

先看S2模型

针对一维系统后的离散方向合并后的结果

对于S2模型

我们在半球空间只有一个离散方向μ

这个代表性的方向是怎么选择的呢

我们这里给出了两种不同的方法

第一种是一种对称方法

就是离散方向距离x y z 三个坐标轴等距离

实际上是等夹角

对称法中μ等于η等于ξ

又因为μ的平方加η的平方加ξ的平方等于1

这是满足单位球面的条件方程

所以我们就可以算出μ η和ξ都等0.57735

在非对称法中直接假设μ和ξ等于0.5

因为方向余弦的取值都在0到1之间

我们直接就取中间值0.5

又因为μ的平方

η的平方和ξ的平方加起来等于1

所以我们就可以算出η等于0.7071

无论对称与非对称法

离散方向数m都等于8

所以权重系数w等于4π除以8它等于1.5708

而对于s4模型我们在四分之一个半球空间

本来有三个离散方向

在一维系统中简化为两个离散方向

三维系统中μ1的方向

也是一维系统中μ1的方向μ1等于0.90824

一维系统中的μ1方向的权重不变为0.923598

三维系统中的μ2和μ3方向

合并为一维系统中的μ2方向

μ2等于0.2958759

一维系统中的μ2方向余弦的权重

合并为w2等于4π除以3

于是我们就得到方向合并后的

一维系统中的离散坐标条件下的辐射传递方程

离散方向只有不同的μ的取值

权重系数从三维系统中的

离散方向的权重系数合并而来

一维系统中的离散方向集

及其权重系数从在这个表中可以给出来

我们在前面推到过这两个计算式

利用这两个等式

我们可以将针对线性各向异性散射介质的

一维方向离散辐射传递方程

写成以下更加简洁的形式

其中包含入射辐射G和辐射热通量q

我们得到的数值解

是不同离散方向 不同离散位置处的辐射强度

也就是离散的辐射强度

我们可以把这些辐射强度分为两组

正向辐射强度和负向辐射强度

这里正 负代表的是传播方向

而不是数值的正负

在之前讲过的舒斯特-史瓦西近似中

我们只有一个正向辐射强度

和一个负向辐射强度

在DOM方法中

则可以有很多正向和负向辐射强度

因此我们可以把辐射问题计算得更精确

这是一维灰性

线性各向异性散射介质辐射传递问题中

正向和负向辐射强度的控制方程

边界条件通过表面的辐照度来描述

由黑体发射和反射决定

这是通用的描述方法

这时我们可以用正向和负向辐射强度

来表达辐射热通量和入射辐射

在这里

同样用离散求和代替全立体角空间方向的积分

这是用辐射热通量表示的边界条件

也可以说是辐射热通量边界条件

当直接计算系统中的辐射热通量分布时

就可以用到这个边界条件

我们用一个例子来说明

DOM法求解辐射问题的过程

这是一个关于一维问题的例题

两个无限大 灰性漫反射 等温平板相距L

温度和辐射率分别为T1 ε1和T2 ε2

中间介质是灰性 发射 吸收

线性各向异性散射介质

并给定了折射率等于1

消光系数和散射反照率都为常数

假设介质处于辐射平衡态

用S2近似来确定两板间的辐射热通量

S2近似是DOM法中最简单的一种

我们用它作为例子

在S2近似中我们只有一个正向辐射强度

一个负向辐射强度

和舒斯特-史瓦西近似是一致的

由于介质处于辐射平衡态

所以介质中各处的辐射热通量应该相同

并且任意一点的黑体辐射强度

应该等于该点的入射辐射除以4π

这是辐射平衡态假设提供给我们的关键条件

在这里黑体辐射强度是由温度决定的源项

而入射辐射是辐射强度积分得来的

取决于传递过程

因此这个方程将源项和传递过程联系了起来

为什么我们经常讨论辐射平衡态

因为在这时没有其他换热形式发生

并且辐射平衡态假设

可以给我们提供额外的已知条件

如果没有辐射平衡态的假设

那么温度分布将不仅仅取决于辐射传递过程

也会受其他形式的传热过程的影响

或者包含其他形式的热量的产生的影响

比如在燃烧过程中

所以只有在辐射平衡态

我们可以不考虑其他类型

独立 封闭地求解辐射传热问题

如果没有辐射平衡的条件那我们怎么办呢

那我们就需要将辐射传递求解

和热流体能量平衡分析结合起来

辐射热通量和热源是这种结合的桥梁

而温度分布将是这种结合的结果

我们在第二章建立辐射传递方程时阐述过

对于S2近似

有对称和非对称两种不同的离散方向选择方式

不同的离散方向是选择规则不同带来的

但这影响不大

下面的表格是一维情况下S2近似的

离散方向及其权重系数两种近似中

离散方向的权重系数都是2π

因为只有两个方向总的立体角又是4π

两种近似的极角分别为54.73度和60度

我们只有一个正向辐射强度

一个负向辐射强度

因此可以像这样

把辐射热通量和入射辐射用正向

负向辐射强度表示出来

进一步用G和q表示I+和I-

把正向辐射强度 负向辐射强度的表达式

代入到辐射传递方程

我们就可以得到

以辐射热通量和入射辐射作为变量的方程

下面我们怎么做呢

根据第一个方程

因为热通量q对光学厚度τ的导数为0

因此q为常数

在此基础上对第二个等式做积分

就可以得到G和q的关系式

这是分析过程中最关键的一步

这个关系式中还有常数C

所以我们一共有3个未知数

我们正好可以利用两个边界条件

加上这个方程来进行求解

将用G和q表示的I+和I-

带入边界条件得到用G和q表示的边界条件

这里因为辐射平衡假设穿过边界的表面热通量

应该和介质中的热通量相等

所以我们可以利用边界条件

确定整个系统中的热通量

将G用q和C的表达式替换 两式相减

我们就得到这个无量纲热通量ψ的表达式

由于我们不知道J1和J2的大小

所以只能用这样一个相对量来作为结果

这就是介质内部

也包括两个表面处的辐射热通量

利用辐射热通量为常数这一结论

我们还可以得到分别用J1和J2表示的热通量

消去J1和J2

我们还可以得到用边界温度

T1和T2所表示的无量纲的辐射热通量

考虑各向同性散射介质

由于有两种S2模型

所以我们就有两种无量纲辐射热通量的结果

对称S2模型和非对称S2模型

虽然他们并不一样

但这两个结果都是正确的因为都是近似

在实际问题中

有时我们不一定要得到精确解

因为有些问题的模型永远也不可能精确知道

近似解也很有意义

对各向同性散射介质

采用非对称S2近似模型

我们也能得到辐射热通量和入射辐射的关系

这个关系和辐射平衡时的

舒斯特-史瓦西近似的结果是一致的

这验证了前面提到的观点

舒斯特-史瓦西近似是低阶的DOM离散坐标法

从这个例子我们初步认识了

DOM离散处理方向辐射强度计算的方法

这是吸收 散射无发射介质辐射传递DOM方程

如果我们要考虑发射

我们就要加入黑体辐射项

我们已经介绍过S2模型

S2模型是最简单的模型

但其近似并不精确

因为其离散方向数太少

我们想要通过DOM法得到更精确的结果

就要使用更高阶的近似方法

这是边界条件方程

我们在两个节点中间求解离散方程时

利用差分的表达式

和求和的平均的表达式

来计算注意Ijm中的m代表离散方向

j代表离散坐标位置

在类散射求和项中入射辐射方向m一撇用k表示

Im一撇用Ij加二分之一k来表示

而Ij加二分之一k这个量

等于二分之一Ij加1k加Ijk

也就是用两个节点的辐射强度的平均值

来代表节点中间的辐射强度

在两个节点中间求解离散方程

就可以得到离散坐标方程的差分形式

这个差分形式提供了

如何从一个节点的辐射强度

计算下一个节点的辐射强度的方法

由于数字方法是离散的

我们就是一点接一点的更新不同位置

不同方向的辐射强度

初始值从边界条件中计算得到

事实上实际计算时一般也是从边界开始的

开始计算时我们没有辐射强度在空间位置

和方向的分布的任何信息

因此计算式右边的反射项是没有办法计算的

因此可以先设为0

由于边界一定有初始的温度Ib1

因此我们可以得到Im的初步估计

所有的空间离散点的不同方向的离散辐射强度

有了第一遍的计算结果以后

第二遍开始计算后

就能计算表面反射项和介质散射项的贡献了

直到最后收敛

在这个数值格式中

正坐标方向和负坐标方向的离散方程是不同的

迭代方向也是不同的

但是推导过程相似辐射计算总是从壁面开始的

所以在计算负向辐射强度时

我们要从右壁面开始计算

而计算正项辐射强度时

我们要从左壁面开始计算

两个边界的净辐射通量可以这样来计算

对于一个数值格式

稳定性是其最关键的问题

我们必须保证计算过程的稳定性

由于辐射强度的数值总是大于0

我们不允许计算中出现小于0的辐射强度

由于分子第二项和分母都恒大于0

所以我们只需要保证分子第一项大于0即可

这样就可以导出离散方向

和光学厚度步长之间的稳定性的条件

这是一维问题中他们需要满足的最基本的关系

当我们使用更高阶的DOM模型时

最小的离散方向余弦趋于零

此时为了满足稳定性的条件

光学厚度的步长也必须趋于零

这就是说我们要使用更小的光学厚度步长

来保证计算过程的稳定

这个例题利用S6模型下的DOM方法进行求解

S6模型比起S2模型复杂得多

所以我们这个课提供了一段fortran的原程序

S2 S4模型计算的结果

得到的辐射热流就是热通量

与精确解的对比在这个表中给出

从这个表可以看出S2模型的最大误差16%

S4模型的最大误差小于1%

S6 S8模型的精度有所提高

但提高的幅度不是很明显