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网系统的语义就是个网结构

你看啊有了P/T系统

有了P/T系统的性质

活性啊 公平性啊 有界性啊等等

那么我们怎么分析它呢

一个我们要把所有可能的状态找出来

一个我们要用数学的方法来处理它

还有我们提到过的

这个s不变量t不变量

那么怎么来找这个网系统里面的

这个s不变量或t不变量呢

这些需要我们用数学的方法

我们不能光凭直观的用眼睛来看

我们先介绍数学方法

就是用一个数学的东西

来表示这个网

而不是把它画成一个图

不是直截了当的把它写成一个

三元组 四元组 六元组

而是要用一个数学对象

一个数学的东西

来描述这个结构描述它的权

和相互之间的依赖关系

这个东西呢就叫做一个矩阵

这个矩阵就叫做关联矩阵

s元素或t元素是怎么关联的

这个呢就是关联矩阵

既然是矩阵 关联矩阵

我们就只能讨论有限的

有限多个s元素有限多个t元素

如果有无穷多个t元素

那我们就要是无限的这个矩阵

这个我们没办法处理

所以只考虑有限的

所以我们t元素呢n个

s元素呢有m个

这个矩阵呢

是m乘n的这么一个矩阵

这个m呢是s元素个数我讲了

那么这个矩阵的元素是什么呢

在这一行这一列

第i行第j列的这个矩阵元素

是怎么算出来的呢

这个算出来我们底下有公式

这一行它的物理意义

就是这第j列这个t_j这个变迁

对S_i这个库所

它发生一次对

它的S_i里面的token的数量

到底改变了多少

那么当然就是你消耗几个产生几个

所以它的变化的量是多少呢

你产生的减掉你消耗的

所以这就是这个定义

我们这个关联矩阵

描述的只是它的结构

包括它的网的结构

包括它的权函数

这样的一个静态结构

跟初始标识无关

它是一个静态的东西

就是固定在那儿的

就好像是一个舞台上

有桌子有板凳固定在那儿了

然后呢就等着演员上台来表演

我们看看例子

那么这个网系统呢

一共有两个t元素四个s元素

而我们没有给初始标识

因为这个关联矩阵呢

只描述它的结构

与这个初始标识无关

那么这个呢

所以四个s元素两个t元素

这样一个矩阵

这个地方这个负1呢

就是t1发生的时候

要去掉h里面的一个token

而不产生token所以说是负1

底下负2呢就是要减去l里面的

两个token没有增加

所以是个负2等等

其它的这个数呢

大家也可以从这个图上

跟这个关联矩阵的元素对应起来

下面呢是另外一个例子

这个例子是三个s元素三个t元素

那么这个例子呢

我就不仔细的来一个一个的说

怎么算出来

那个很简单对吧

讲起来就没意思了

怎么来利用这个关联矩阵

所以我们提出来的这个概念就是

s向量或t向量

什么叫做s向量

那个s元素有m个

所以呢s向量呢

是一个m为的一个向量

那个向量的元素的都是正整数

零或者是其它的正整数

另外那个t向量就是

一个n为的一个向量

这个向量呢都是行向量

也就是说是平的

这个t向量呢也是整数

零或者1234这个这样的整数

行向量呢经过转置操作

这是数学上的操作

可以变成列向量

就是片子上所写出来的

把这个一做转置操作呢就竖起来了

有了这个关联矩阵

有了这个向量以后

我们就给出这个描述系统行为的

叫做状态方程

这个状态方程是什么呢

M_0是它的初始标识

然后加上这个矩阵A

乘以T相量的一个转置

因为T相量的转置呢

才能够做矩阵乘法

大家应该学过那个数学的

应该都知道这个矩阵运算

我不去细说

这个呢就叫做矩阵状态方程

这个t向量的含义是什么呢

t向量不是有n个整数排成的一个向量吗

这个向量里面的第一个元素

就是t1发生的次数

第二个元素就是t2发生次数

它都是整数

这个第n个数呢就是tn发生的次数

那么这个观念矩阵的

这个状态方程的意思是什么呢

如果你这个系统里面

所有的变迁按照这个

t向量给出的次数发生的话

不管你的顺序是什么

你只要按照那么多次发生了

一个一个都是这么多次给定的次数

那么它的最后的

那个可以大大的标识就是m

这个m怎么计算呢

就是用这个方程来进行计算

因为我们的这个网系统是个线性系统

所以这个发生的顺序

对这个最后的状态不会有改变了

这就是状态方程

说如果你要想计算

你说我这里面已经发生了

是这么发生的

它的状态是什么呢

我们不必一步一步的

说第一个发生了

第二个发生了

第三个发生了

把所有的中间状态都算出来

然后才知道最后是什么

我们只要用这个矩阵运算

知道它的次数

然后用这个状态方程呢

就把它的最终的状态算出来了

所以这就是它的作用

那么关联矩阵还有别的作用

可以帮助我们来计算

t不变量和s不变量

t不变量和s不变量怎么计算呢

用这个关联矩阵

如果用这个θs

表示元素全为零的s向量

用θt表示分量全为零的t向量

那么我们就可以这样来计算

你看啊

什么叫做一个t不变量

就是这个按照t不变量里面

给定的次数来发生的话

它应该回到原来的状态

这就是我们的这个t不变量的定义

就是你给定说这个发生多少次

那个发生多少次

它们真的那么发生以后

会把你的状态

从你出发的状态

回到你出发的状态不会改变

你们这个就叫t不变量

那么根据我们状态方程

这样发生以后可以用状态方程

来计算它最后到达的

所以呢就变成

M_0等于M_0加上那个关联矩阵乘以t向量

把M_0去掉那么就等于是

矩阵跟t向量的乘呢是一个零向量

这个零向量是一个0_S向量

S_0向量

S_0向量什么意思啊

就是所有的s元素了的token

数目都没有改变

这就是t不变量的定义

所以t不变量可以怎么计算呢

解一个线性方程组

解一个其次线性方程组

就是a乘以t不变量的转置等于θs

这就是t不变量的计算方法

减这个线性方程组

你可以把所有的t不变量找出来

t不变量里面呢

有一些不是真的t不变量

为什么

你给定的那个次数啊

在这个系统里面不可能那么发生

只有你给定的这个次数

你的那个系统真的能够发生

那么这个才叫做这个系统的t不变量

我们讲了这个关联矩阵呢

跟初始变量无关

但是这个系统的t不变量呢

是跟初始状态有关的

因此你算出来的那些解

其中有一部分

跟那个初始标识M_0联系起来以后

就不是t不变量了

不是你这个系统的t不变量了

虽然它是那个线性方程组的解

那么线性方程组大家都知道

它的解呢有一些基本的解

还有线性组合组合出来的解

那么我们要想找它t不变量呢

只需要找那些基本的解就行了

也就是说它不是由其它的解组合出来的

那么s不变量的含义是什么呢

s不变量的含义

是不管你这系统里面变迁怎么发生

若干个s元素里面的

token的总数是不变的不改变的

这个叫做s不变量

跟它一开始初始状态

这里面有几个token没关系

那么这个呢就是s不变量

那么跟t不变量一样

我们也可以解这个线性方程组

就可以把它找出来了

这个细节呢我也不去说了

特别要说明的是

这个分量全为零的

肯定是这个线性方程组的一个解

因此按道理来讲

它应该算一个t不变量

什么事情都不发生

当然它的状态不会改变是不是

一般来讲

不会把它叫做一个t不变量

只有在什么时候呢

只有在这个系统有

不全为零的t不变量的时候

我们才把这个全为零的这个向量

称为t不变量

我们的目的是要使一个命题成真

就是所有t不变量的线性组合

仍然是t不变量

如果它有非零的t不变量

那么这个全零的也是t不变量

如果它有非零的s不变量

那么它也有全为零的那个s向量

也是一个s不变量

这样呢我们就用代数的方法

计算一个网系统的这个性质

那么我们看看这个例子

这个例子我跟大家说一下它的背景

这个描述的什么呢

虽然这有四个s元素两个t元素

但实际上它是一个咱们小学就学的

鸡兔同笼那个问题

一个网描述

这个h是什么呢

我们这没给token啊

h里面的token数

就是已知的鸡兔的头数

我数数看有几个头

那么这个有几个头

就在h里面放几个token

那个l是什么呢是腿

腿的数目

说鸡和兔子一共有几条腿

然后呢t1呢是数鸡的

你看一个头两条腿是一只鸡对吧

所以h减掉一个腿减掉两个

那边加一个

那个c的就是鸡的数目

然后这个t2是数兔子

一个头四条腿是一只兔子

所以那个权呢一个是1一个是4

那边也是1

我不知道你们小的时候

有没有问过这个问题

说你看见头

还不知道它是鸡是兔子吗

还用得着来算嘛对不对

你一看这是鸡头是只鸡

哪怕缺了一条腿呢

它也是鸡是不是啊

那么这个呢就是数

t1和t2怎么样

并发的

两个人数

你数你的我数我的

所以这个呢

就是这个网系统的关联矩阵

你看数兔子去掉一个头

去掉两条腿加上一只鸡这是数鸡

数兔子去掉一个头去掉四条腿

加上一只兔子

这就是这个矩阵的意思

这样大家就好记了

那么这个系统里面有什么不变量啊

没有t不变量

因为数来数去这里面token肯定变了

但是有s不变量

s不变量呢有两个

你数来数去这个一共有多少只头

仍然是多少只头

你只要把一只鸡算成它有一个头

一只兔子算成它有一个头

所以这里面的token

加上这里的token加上这里的token

是一个常数

就是你已经给我的那个头数

然后这里乘4 这里乘2

加上这里的

这就是已知的腿数

所以这是一个加权的s不变量

所以你看1 2 4

这就是那个s不变量

这个物理意义啊

一个是头不变

头数不变

你怎么数都是那么多头

你怎么数都是那么多腿

所以这个是个不变的关系

下面这个例子

就没有什么物理意义了

这就是一个纯粹的

这个画出来的那么一个

没有什么物理背景的网系统结构

只谈它的结构

因为我们讲

关联矩阵都跟初始状态无关

就是它只是描述它的结构

这个计算 矩阵计算

咱们这儿也不去算它了

你去看看

如果我算错了你可以告诉我

那么我来纠正

如果没算错呢

那你也算过一遍

你也有收获对吧

那么你作为练习你去看看

教堂婚礼那里面的s不变量是什么

我以前已经说过

现在我们用这个术语来表示

s不变量呢就是一个向量

t不变量呢就是一个向量

那么你把这个向量写出来

就是教堂里面有几个s不变量

如果你用EN系统来表示

它有三个S不变量

如果你用P/T系统来表示

它就只有两个S不变量了

所以我刚才已经说过

当我们提高系统的层次的时候

我们有得会有失

失去了一些细节的东西

另外这个鸡兔同笼

显然数的可能会数错

有的人快

数鸡的快它只要两条腿吗

这一个红豆两个绿豆

它就数一只鸡了

那么它可能数得快

结果红豆头数完了腿剩下了

因为数兔子的慢吗

那么这个时候怎么来调整呢

我怎么能够最后数的准呢

那么所以刚才

我们那个鸡兔同笼的那个网系统呢

就还需要补充调整的变迁

我怎么来调整我数错了以后

没头了但是腿剩下了

这个时候我怎么把

那个数错了的鸡再恢复成兔子呢

那么这个就需要两个调整的变迁

这个作为练习也可以请大家去

这个自己补充出来

你就会有收获了

这个求解不变量呢

刚才我已经说过了

就是这个两个方程式

这是刚才我已经说过的

这两个方程式呢就可以来

其次方程这都是零

所以这是其次线性方程

解这个线性方程组呢

就可以得出s不变量t不变量

你注意我只关心其中基本的那些

它不是用其它的

能够线性组合出来的

好 这个用数学的方法

来研究一个网系统

我就说这么多

一个是矩阵叫做关联矩阵

一个是向量是t向量s向量

一个是状态方程

我们避免计算中间状态

可以直接用数学的方法

把最终的状态计算出来

还有s不变量t不变量它的定义

以及它的计算方法

所以这个呢是通用的

一切的这个网结构

网系统的结构

都可以用关联矩阵来表示

都可以有它自己的状态方程