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2.2.3扩展阅读——实数

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

发展历史

在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001厘米），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414厘米）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：

任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。

正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击(见第一次数学危机)。

从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

实数基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

整数和小数的集合也是实数，实数的定义是：有理数和无理数的集合。而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数（即无理数），其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。

下一节:2.4 Binary arithmetic and logical operations

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开篇导读及常见问题

往届学长学习心得

-学习心得--融合新技术的知识架构

-学习心得--Office办公软件的学以致用

-学习心得--基于计算思维的问题求解大作业

计算思维问题求解竞赛

-【通知】计算思维问题求解竞赛活动

-第一轮开课获奖作品展示（一）

-第一轮开课获奖作品展示（二）

第1章计算文化与计算思维

-动画导入：国王的婚姻

-1.1 计算文化

--1.1.1 计算史-1

--1.1.1 ppt附件

--1.1.1扩展阅读——电子计算机的时代划分

--1.1.2 计算史-2及新型计算机

--1.1.2 ppt附件

--1.1.3 计算机的应用领域与计算思维

--1.1.1 Computer history and development Part I

--1.1.2 Computer history and development Part II

--1.1.3 Application of computers and computational thinking

-1.2 计算思维

--1.2.1 计算思维的本质与特征

--1.2.1 ppt附件

--1.2.2 如何利用计算思维进行问题求解

--1.2.2 ppt附件

--1.2.3扩展阅读——Computational Thinking

--1.2.1 the nature of computational thinking

--1.2.2 Problem solving using computational thinking

-第一章扩展阅读—量子计算综述

-第1章作业

-【讨论帖】你在生活中有过用计算思维解决问题的经历吗？

第2章计算机中的0和1

-动画导入：芯片眼中的世界

-2.1 数制

--2.1.1 ppt附件

--2.1.1扩展阅读——为什么计算机能读懂 0和 1？

--2.1.2 数制转换-1

--2.1.2 ppt附件

--2.1.2扩展阅读——二进制

--2.1.3 数制转换-2

--2.1.3 ppt附件

--2.2 Number conversion-1

--2.3 Number system II

-2.2 0/1世界中的数值

--2.2.1 二进制的算术运算和逻辑运算

--2.2.1 ppt附件

--2.2.2 无符号数和有符号数

--2.2.2 ppt附件

--2.2.3 原、反、补码和实数

--2.2.3 ppt附件

--2.2.3扩展阅读——实数

--2.4 Binary arithmetic and logical operations

--2.5 Signed and unsigned numbers

--2.6 sign-magnitude,one's complement,two's comliement representation and real munber

-2.3 0/1世界中的字符

--2.3.1 0/1世界中的字符

--2.3.1 ppt附件

--2.3.1扩展阅读——ASCII编码

--2.7 Characters in digital world

-2.4 0/1世界中的图片、声音和视频

--2.4.1 0/1世界中的图片、声音和视频

--2.4.1 ppt附件

--2.4.1扩展阅读——计算机图像处理技术

--2.4.2扩展阅读——计算机数字视频处理技术

--2.4.3扩展阅读——数字音频技术

--2.8 Images, sounds and videos in digital world

-2.5 条形码

--2.5.1 条形码

--2.5.1 ppt附件

--2.5.2扩展阅读——二维码

-第2章作业

-【讨论帖】关于二进制思想的趣味思考题

第3章算法与编程基础

-动画导入：过河问题

-问题导入拓展阅读——从数学角度来研究过河问题

-3.1 算法概述

--3.1.1 算法概述

--3.1.1 ppt附件

--3.1.2 算法的描述

--3.1.2 ppt附件

--3.1 Overview of algorithms

--3.2 Description of algorithms

-3.2 典型算法

--3.2.1 枚举法和递推法

--3.2.1 ppt附件

--3.2.2 递归法和迭代法

--3.2.2 ppt附件

--3.2.3 分治法和回溯法

--3.2.3 ppt附件

--3.3 Typical algorithms enumeration and induction

--3.4 Typical algorithms recursion and iteration

--3.5 Typical algorithms divide-and-conquer and backtracking

-3.3 Python语言编程基础

--3.3.1 Python语言概述、安装和使用

--3.3.1 ppt附件

--3.3.2 Python基础语法及编程示例1-基本语法、条件语句

--3.3.2 ppt附件

--3.3.3 Python基础语法及编程示例2-循环语句、内置函数

--3.3.3 ppt附件

--3.3.4 Python基础语法及编程示例3-自定义函数

--3.3.4 ppt附件

--3.3.5 Python基础语法及编程示例4-海龟绘图

--3.3.5 ppt附件

--【讨论帖】分享你的海龟绘图作品

--3.3.1 Introduction to Python

--3.3.2 Python I basic syntax and conditional statements

--3.3.3 Python II loop statements and built-in functions

--3.3.4 Python III user-defined functions

--3.3.5 Python IV drawing with turtle

-第三章扩展阅读—Python实现贝叶斯分类

-第三章扩展阅读—网络爬虫

-第3章作业

-【讨论帖】排序算法

第4章计算机硬件环境

-动画导入：CPU的故事

-4.1 计算机的硬件系统

--4.1.1 图灵机模型

--4.1.1 ppt附件

--4.1.1扩展阅读——图灵机快速入门

--4.1.2 冯•诺依曼体系结构及计算机的硬件组成

--4.1.2 ppt附件

--【讨论帖】Alan Turing传记电影《模仿游戏》

--4.1.1 Turing machine

--4.1.2 Von Neumann architecture and computer organization

-4.2 计算机的基本工作原理

--4.2.1 计算机的基本工作原理

--4.2.1 ppt附件

--4.2.1扩展阅读——指令系统详述

--4.2.1 Basic working principles of computers

-4.3 现代微机构成及性能指标

--4.3.1 现代微机构成及性能指标

--4.3.1 ppt附件

--4.3.1扩展阅读——常用输入输出设备简介

--4.3.3扩展阅读——硬盘转速

--4.3.1 Composition and performance of modern computers

-第4章作业

-【思政讨论帖】鸿蒙初开，任重道远。加油华为，加油中国！

第5章计算机软件环境

-动画导入：“我”的一天

-5.1 计算机软件概述

--5.1.1 计算机软件概述

--5.1.1 ppt附件

--5.1.1扩展阅读——计算机软件发展历史

--5.1 Overview of computer software

-5.2 系统软件

--5.2.1 系统软件1-操作系统

--5.2.1 ppt附件

--5.2.1扩展阅读（1）——操作系统的历史

--5.2.1扩展阅读（2）——Windows的历代版本

--5.2.1扩展阅读（3）——Mac OS的历代版本

--5.2.2 系统软件2-语言与编译系统、数据库管理系统

--5.2.2 ppt附件

--5.2.1 System software I_operating system

--5.2.2 System software II programming language, compiler and DBMS

-5.3 应用软件

--5.3.1 应用软件

--5.3.1 ppt附件

--5.3 Application software

-第5章作业

第6章计算机网络环境

-动画导入：“笑话”还是“预言”？

-第六章扩展阅读—文件检索及管理

-6.1 计算机网络平台

--6.1.1 计算机网络的概念和发展

--6.1.1 ppt附件

--6.1.2 计算机网络的分类和拓扑结构

--6.1.2 ppt附件

--6.1.2扩展阅读——Internet在中国的发展

--6.1.3 计算机网络的体系结构和数据通信

--6.1.3 ppt附件

--6.1.3扩展阅读——无线网络分类

--6.1.5扩展阅读（1）——OSI参考模型各层功能

--6.1.5扩展阅读（2）——OSI参考模型与TCPIP的比较

--6.1.6扩展阅读（1）——多路复用技术对比

--6.1.6扩展阅读（2）——三种数据交换技术对比

--6.1.6扩展阅读（3）——网络传输介质

-6.2 局域网技术

--6.2.1 局域网技术

--6.2.1 ppt附件

--6.2.2扩展阅读——无线局域网

--6.2.1 LAN technology

-6.3 Internet及其应用

--6.3.1 IP地址及域名

--6.3.1 ppt附件

--6.3.1扩展阅读——顶级域名分类

--6.3.2 Internet接入与应用

--6.3.2 ppt附件

--6.3.1 IP address and domain name

--6.3.2 Access and application of the Internet

-6.4 网络安全

--动画导入：“想哭”病毒全球爆发，你“想哭”了没？

--6.4.1 网络安全概述

--6.4.1 ppt附件

--6.4.2 网络攻击的主要方法-1

--6.4.2 ppt附件

--6.4.2扩展阅读（1）——ARP欺骗

--6.4.2扩展阅读（2）——WannaCry勒索病毒

--6.4.2扩展阅读（3）——灰鸽子、冰河木马

--6.4.2扩展阅读（4）——拒绝服务攻击

--6.4.3 网络攻击的主要方法-2

--6.4.3 ppt附件

--6.4.3扩展阅读（1）——加密传输和数字签名完整过程

--6.4.3扩展阅读（2）——身份认证的方式

--6.4.3扩展阅读（3）——置换加密解密过程

--6.4.4 网络安全防御技术-1

--6.4.4 ppt附件

--6.4.5 网络安全防御技术-2

--6.4.5 ppt附件

--6.4.2 Cyber attack I

--6.4.3 cyber attack II

--6.4.4 Cyber defence I

--6.4.5 Cyber defense II

-第6章作业

-【讨论帖】子网划分问题

第7章数据管理与数据库

-动画导入：谁要贷款？阿里知道

-第七章扩展阅读—数据管理技术

-7.1 数据管理

--7.1.1 数据管理和数据模型

--7.1.1 ppt附件

--7.1.1扩展阅读——信息技术

--7.1.2扩展阅读——数据管理阶段

--7.1.1 Data managment and data models

-7.2 结构化数据库

--7.2.1 结构化数据库

--7.2.1 ppt附件

--7.2.2 创建本地数据库

--7.2.2 ppt附件

--7.2.3 SQL语法

--7.2.3 ppt附件

--7.2.3扩展阅读——数据库技术

--7.2.4 数据定义命令

--7.2.4 ppt附件

--7.2.5 数据查询命令-1

--7.2.6 数据查询命令-2

--7.2.5/7.2.6 ppt附件

--7.2.7 数据操作命令

--7.2.7 ppt附件

--7.2.1 Structured database

--7.2.2 Creating a local database

--7.2.3 SQL grammer

--7.2.4 Data definition language

--7.2.5,7.2.6 Data Query Command

--7.2.7 Data manipulation language

-7.3 大数据

--7.3.1 大数据

--7.3.1 ppt附件

--7.3.1扩展阅读——大数据技术

--7.3.2扩展阅读——NoSQL数据库

--7.3.1 Big data

-第7章作业

第8章计算机前沿技术

-动画导入：人工智能时代到来了！

-第八章扩展阅读—虚拟现实技术

-8.1 人工智能

--8.1.1 什么是人工智能

--8.1.1 ppt附件

--8.1.1扩展阅读——Siri的功能

--8.1.2 人工智能技术

--8.1.2 ppt附件

--【思政讨论帖】人工智能，赋能智能新时代！

--8.1.1 What is AI

--8.1.2 Artificial intelligence

-8.2 物联网

--8.2.1 物联网及其关键技术

--8.2.1 ppt附件

--8.2.1扩展阅读—物联网技术

-8.3 云计算

--8.3.1 云计算技术与服务

--8.3.1 ppt附件

--8.3.2扩展阅读——云计算体系结构各层功能

--8.3.1 Cloud Computing

-8.4 区块链

--8.4.1 区块链技术

--8.4.1 ppt附件

--8.4.1扩展阅读—初识区块链

--【讨论帖】央行DCEP vs Facebook Libra：数字货币你了解多少？

--8.4.1 Blockchain

-第8章作业

第9章 Windows操作系统

-动画导入：你了解你的计算机吗？

-9.1 Windows基本操作

--9.1.1 基本操作演示

--9.1.1 ppt附件

-9.2 Windows程序管理

--9.2.1 程序管理及操作演示

--9.2.1 ppt附件

-9.3 Windows文件管理

--9.3.1 文件管理及操作演示

--9.3.1 ppt附件

-9.4 Windows设备管理

--9.4.1 设备管理及操作演示

--9.4.1 ppt附件

-第9章作业

第10章 Word字处理

-动画导入：论文排版，不在话下！

-10.1 Word基本操作

--10.1.1 Word基本概念

--10.1.1 ppt附件

--10.1.2 Word基本格式设置

--10.1.2 ppt附件

--10.1.3 修饰文档外观

--10.1.3 ppt附件

-10.2 论文排版

--10.2.1 论文排版-章节与目录

--10.2.1 ppt附件

--10.2.2 论文排版-页眉与页脚

--10.2.2 ppt附件

--10.2.3 论文排版-图、表、公式

--10.2.3 ppt附件

--10.2.4 论文排版-参考文献

--10.2.4 ppt附件

--论文排版素材

-10.3 修订文档

--10.3.1 修订文档

--10.3.1 ppt附件

-第10章小结

-第10章作业

第11章 Excel电子表格

-动画导入：数据可视化，我也能！

-11.1 Excel基本操作

--11.1.1 录入原始数据

--11.1.1 ppt附件

--11.1.2 修饰表格

--11.1.2 ppt附件

-11.2 公式和函数

--11.2.1 公式和函数-1

--11.2.1 ppt附件

--11.2.2 公式和函数-2

--11.2.2 ppt附件

--11.2.3 公式和函数-3

--11.2.3 ppt附件

-11.3 数据分析和处理

--11.3.1 排序

--11.3.1 ppt附件

--11.3.2 筛选

--11.3.2 ppt附件

--11.3.3 分类汇总

--11.3.3 ppt附件

-11.4 数据可视化

--11.4.1 图表

--11.4.1 ppt附件

--11.4.2 数据透视表

--11.4.2 ppt附件

-第11章小结

-第11章作业

第12章 PowerPoint演示文稿

-动画导入：演讲、报告、论文海报，展现自我的舞台！

-12.1 PowerPoint基本操作

--12.1.1 演示文稿与幻灯片

--12.1.1 ppt附件

--12.1.2 幻灯片动态效果

--12.1.2 ppt附件

-12.2 论文展板制作

--12.2.1 论文展板制作

--12.2.1 ppt附件

-第12章小结

-第12章作业

2.2.3扩展阅读——实数笔记与讨论

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