Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

2 Improper Integrals of Unbounded Functions

无界函数的广义积分

同学们刚才那一小节呢我们讲的是

在一个无穷区间

有的时候是从a到正无穷

有的时候是从负无穷到某一个特定的b

这两种无穷区间上的

有界函数的广义积分

我们呢还有另外一种类型的广义积分

它呢是有界区间上的

无界函数的广义积分

我们先要回顾一下黎曼积分

以前呢我们讲过

有界区间上一个函数

是黎曼可积的充分必要条件呢

有两个一个呢就是要求函数是有界的

另一个呢是要求

它的不连续点呢是一个零测集

现在呢我们把其中一个条件就放松了

就是要求函数呢可以无界

那么这时候呢

就不能做普通的黎曼积分了

我们做的呢就是广义的积分

好我们下面看一眼定义

Definition 2.1

Let f(x) be a function defined

on the interval from a to big B

注意这里是一个有界的区间

我们特意呢用两个不同的字母

一个小写的a 一个大写的B

来表示这个函数

在这两个端点处不同的特性

注意是半开半闭区间

If for all a less than little b

less than big B

对任意的小a小于小b小于大B

注意这里我们选了一个小b

这样一个中间变量小b

好如果对任意这样一个小b

它介于小a和大B之间

f(x) is Riemannian integrable

on a little b

从小a到小b这样一个闭区间上

做f的黎曼积分如果它存在的话

也就是它Riemannian integrable

on such an interval

and 关键是下一条

The limit as b goes to B minus

同学们回顾一下我们极限的符号

B minus 的意思是b从左侧趋近于B

也就是

limit little b goes to big B minus

注意这里头有两个b

小b呢趋近于大B-

是什么意思呢

就是小b这个中间变量啊

它在趋近于大B的时候呢

是从左侧趋近的

也就是小b永远比大B要小

在这个极限过程中取的极限

请看还是对哪个量呢

一个积分

从a到小b f(x)的这个量取极限

如果这个极限的结果存在的话

那么我们就说

We call the integration

from little a to big B f(x)dx

It’s defined to be

such a limit

也就是说

把刚才这个极限值的结果

就直接记成了

从小a到大B的积分

这个积分呢就是广义积分

The improper Riemann integral

of little f over a to big B

同学们一定要注意

这里头呢我们其实并没有假设

f在从小a到大B

这样一个闭区间上黎曼可积

而只是假设了

在稍微小一点的区间上

也就是从任意一个

小a到小b区间上可积

然后呢极限存在

才叫这样一个广义积分存在

这就是另外一种形式的广义积分

好的同学们刚才呢

我们提到了另外一种类型的

广义积分

它是在有界区间上做的

它呢也是一个极限的过程

那么在这个极限过程中呢如果

In such a case the limit exists

也就是说极限是存在的

We say that f is

improperly Riemannian integrable

on a to big B

在这样一个区间上

f是广义的黎曼可积

注意之所以称为广义

就是我们一开始并没有假设

f在从小a到大B

这样一个闭区间上可积

因此呢我们说现在定义的是

广义黎曼可积

The improper integral

that we defined

in the previous page

刚才在那一页我们定义的

这样一个极限值呢我们把它记成了

从小a到大B的广义积分

如果它是存在的话

It is said to be convergent

那么就叫这个广义积分呢是收敛的

另外这个呢有这样一个特殊的点就是

我们用B-来标记的这个点

它呢叫做这个广义积分里面

所对应的那个奇点也叫瑕点

Singular point of this generalized

or improper integral

广义积分的奇点也叫瑕点

同学们刚才我们定义了

这样一种广义积分

它是从小a到大B其中大B-呢是一个奇点

也叫瑕点好的我们考虑呢

另外一种类型的广义积分的定义

它呢是这样定义的

If f(x) is a function on the interval (A, b]

注意啊我们这里呢还是用两种不同字母

来表示两种不同的端点

其中大写的A它表示啊

f在大写的A这点呢它没有定义

而小b注意它是个半开半闭区间

小b呢在f的定义域之中

如果f是这样一个函数的话

我们呢

We can similarly define

the improper integral of the form

下面看到的这个形式

就和我们前面定义的广义积分呢

样子是对称的

只不过端点处的性质是不一样的

所以它的定义呢稍微有点区别请看

The integration

from big A to little b f(x)dx

is defined to be the limit

注意这是一个极限

从小a到大B的积分 f(x)dx

我们呢还是取了小a这个中间变量

当做完从小a到小b的

黎曼积分之后呢

令小a趋近于A+

As a approaches A plus

Little a approaches big A plus

回忆以前我们的符号

小a趋于大A+的意思是

小a在趋近于大A的过程中呢

小a是从大A的右侧趋近大A的

也就是说小a要永远大于大A

这就是右侧极限

如果这样一个右侧极限存在的话

我们就把它定义成

我们屏幕中看到的左侧的这样

In this case

A plus is the singular point

在这种定义的广义积分中呢

A+是一个奇点

注意之所以我们把这样的积分呢

叫做广义积分

原因呢还是因为一开始

f在大A这个点是没有定义的

因此我们不能说

f在从大A到小b这个区间上

是黎曼可积的

但是呢我们可以考虑上述极限的过程是否存在

如果这个极限过程是存在的

我们就把刚才定义的这个值呢

叫做广义积分的值

同学们刚才呢我们定义了两种不同的

但是是完全对称的广义积分

它们都是在有界的区间上做的

每一个区间呢都带了一个奇点

也就是我们前面写的B-和A+

通常呢我们只感兴趣的广义积分的情况

是f在趋近于这两个奇点的时候呢

是一个无界的函数

这种情况下的广义积分呢

是真正有价值的也就是说

We are only interested

in the following situations

第一种也是我们前面定义的

从小a到大B f(x)dx这样一个广义积分

其中呢是取的中间变量b

b在趋近于大B-的过程中

所定义的广义积分

如果这里边f(x) is unbounded

as x approaches B-

也就是说f在趋近于大B

从左侧趋近的过程中呢

f是一个无界函数

in other words the limit of f little b

with absolute value

is getting to plus infinity

not the usual limit

but the upper limit

注意啊我们说的不是通常的极限

而是上极限

f的绝对值在趋近于B-的过程中的上极限

是正无穷也就是说f是一个

在趋近于B-的过程中无界函数

如果同学们对这个上极限有一些疑问的话

希望同学们回顾一下我们微积分1中讲过的

上极限这个概念就明白为什么这里

我们要取上极限而不是取普通的极限了

好另外一种跟它对称的就是下面这种

In the improper integration

on big A to little b f(x)dx

它呢是这样定义的

The limit of the integration

from little a to b f(x)dx

and then take

a approaching big A plus

小a在趋近于大A+的过程中的这个极限

在这个极限中呢

我们感兴趣的情况是这样的

f(x) is unbounded

as x approaches A plus

也就是f从右侧

趋近于A的过程中

f是一个无界函数

in other words it means

the upper limit of

absolute value of little a

as little a approaches big A plus

the result is plus infinity

也就是说以上这两种情况下

如果这两个奇点的附近呢

f都是一个无界函数

这时候所定义的广义积分呢

是有价值的那么如果f在这两个端点处

也就是刚才写的B-和A+处

是有界函数那广义积分又怎样呢

同学们要思考一下

其实啊如果f是有界的情况下

在刚才所定义的广义积分啊

实际上它就退还成

我们通常的黎曼积分了

因此呢就无需借用广义积分

这样一个比较复杂的概念

因此呢通常我们说广义积分啊

在有界区间上的广义积分呢

出现奇点的情况呢

都是指在这两个不同类型的奇点附近呢

是无界的函数

好的我们来看一个例子就明白了

请看

Integration from minus one to zero

x square the reciprocal of x square

也就是x平方分之1这个函数它的广义积分

我们说啊这个广义积分呢它发散

是为什么呢我们来看一下请看

首先我们要看出来啊

在刚才这个广义积分中呢

哪个点是奇点很明显在-1附近啊

x平方分之1是有界函数

而在0附近 x平方分之1呢

是无界函数

因此呢 0是一个singularity 奇点

那么在0附近呢

我们按定义

我们需要看一下下面这个极限

The limit as

δ approaches zero minus

δ从左侧趋近于0

然后呢做积分 -1到δ

对原来这个函数

x平方分之1做积分

做完以后我们取极限看极限是否存在

当然这个过程呢

我们现在已经写出来了

从-1到δ的积分结果是

负的δ分之1减1

然后再取极限很明显

如果δ趋近于zero minus的话

那么这个极限的结果实际上是什么呢

是无穷也就是它是发散的

因此我们说

The improper integration

from minus one to zero

of one over x square diverges

这是一个发散的广义积分

好的下面呢我们再看一个收敛的例子

请看积分限还是从-1到0

积分函数变成这样的了

就是one over x cube root

x的三次根式分之1

这样一个函数做积分

我们说啊它是收敛的

而且它的具体值呢

我们这里给出来了是负的二分之三

这是为什么呢我们来检验一下

请看

In fact again we notice that

zero minus is the singular point

一定要注意到这里头

0-是一个奇点

那么我们要考虑

下面我们所写的这个极限式

从-1到δ

还是原来的函数做积分

只是呢对δ趋近于zero minus

好的我们看到

从-1到δ这一段区间上

做积分的结果是多少呢

等于二分之三乘以

δ的三分之二次方再减1

当然这个具体计算过程呢

同学们自己在草稿纸上完成一下就可以了

关键是我们要注意到

As δ approaches zero minus

What is the limit

当δ趋近于0-的时候

这个式子中的极限是什么呢

很明显就看出来啦

其中δ三分之二次方这一项呢

会趋近于0因此呢

总的极限呢是负的二分之三

也就是说这样一个极限是收敛的

Such a limit really converges

and it converges to

minus three halves

所以我们说这个例子中的

这个广义积分呢它也是收敛的

它的收敛值呢就是负的二分之三

在这一讲中啊我们学习了

无穷区间上的有界函数

与有限区间上的无界函数

这两种不同的广义积分

这些内容呢都很新

而且很重要

在下一讲中呢

我们还要给出这两种不同的

广义积分的典型的例题

以帮助同学们更好地理解和掌握

广义积分的知识和计算

好的我们下一单元再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)在线视频