Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们这一讲中

我们要重点关注一致收敛性

特别是一致收敛性的各种判别方法

另外我们知道一致收敛是比逐点收敛更强的条件

所以一致收敛性会导出很多很强也很有用的结论

所以我们要给出这些结论

希望同学们能从中体会出一致收敛的优越性

那么下面我们就从一致收敛的判别法讲起

Chapter 2 Infinite Series

无穷级数

Unit 5 Uniform Convergence

一致收敛性

1 Tests of Uniform Convergence

一致收敛性的判别法则

同学们在前一个单元

已经接触过了逐点收敛性与一致收敛性

我们知道一致收敛性是非常强的条件

也是很重要的条件

那么我们自然要问如何找到一致收敛性的判别方法

那么我们这一个小结专门研究这个问题

第一个定理它叫做柯西准则

也就是关于一致收敛的柯西准则

请看它的陈述

A series of functions

一个函数项级数

我们现在把这个函数项级数记成fn(x)

求和n从0到无穷

This series of functions is uniformly convergent on D

If and only if 下面就是柯西准则的陈述了

它还是用我们经典的ε-N语言

for any ε bigger than 0

对任意的ε大于0

there exists some big N which is a fixed index

我们总能找到某一个固定的指标大N

使得下面这个不等式成立

也就是片段和

请看它就是从fn一直加到fn+p

这么一个片段和作为一个函数

它绝对值要小于ε

注意这里要求什么呢

对任意的小n大于大N

对任意的p 对任意的x

所谓一致收敛性就关键在最后一个任意的x

也就是说这个不等式的成立与x取在哪里没有关系

同学们以前我们见过各种类型的柯西准则

比如说数列极限的存在性柯西准则

以及函数极限存在性的收敛准则

以及广义积分级数等等

现在呢我们见到了这个柯西准则呢

是关于函数项级数一致收敛性的柯西准则

它实际上是我们把以前学过的各种柯西准则

再加强了一下而已

希望同学们能够深刻理会这里边它的具体含义

好的下面呢我们看一个例子

Example 1.2

Previously, we have seen that

the series of functions x to the n

take summation n from 0 to infinity

以前我们见过这个函数项级数

就是x的n次方

n从0加到无穷

这个函数项级数它是逐点收敛的在哪呢

在从0到1半开半闭区间上

而且它的和函数我们以前求过就是1除以1减x

但是我们当时说了这个收敛性呢

pointwise convergence 逐点收敛

而且 It is not uniformly convergent

同学们在上一个单元的学习中已经见过这个例子了

这里我们就不重述了

但是我们现在要强调下面的事情

就是尽管这个函数项级数在

[0,1)这样一个半开半闭区间上

并不一致收敛到它的和函数但是

只要我们把这个域也就是范围变小一点点

它就变成了一致收敛

However, we can show that

such a series functions

uniformly converges to 1/1-x on

请看现在我们新的定义域变小了

它变成了从0开始包括0

一直到1减去δ

1减去δ是一个严格小于1的界

在这样一个闭区间内

刚才的函数项级数就一致收敛到它的和函数

当然这里δ是事先指定的某一个比较小的数

δ is in between 0 and 1

为什么呢

In fact

我们可以证明一下

对任意的x在0到1减δ之间

在这个新的区域中

我们来计算一下

we have what

也就是部分和k从0到n x的k次方

把这个部分和和它的和函数做差以后再取绝对值

我们看一下这个量

把它估算一下

它会等于这么多就是x的n加1次方除以1减x

这个具体计算希望同学们自己做一下

总之现在我们可以估算了

它就会小于等于1减δ的n加1次方除以δ

注意在最后一个小于等于号的右边

这个式子和x没有关系

而且更重要的是什么呢

是当n趋近于无穷的时候

这个right hand side就是右侧

这个上面这个不等式的右侧

1减δ的n加1次方除以δ这一项呢

它会趋近于0

而且这个趋近于0的过程跟x没有关系

于是我们可以套用一致收敛的定义

就可以直接证明在区间0到1-δ这个闭区间上

的确刚才这个函数项级数一致收敛到1除以1-x

好

接下来呢我们讲一个非常实用的判断一致收敛的方法

它叫Weierstrass M test

韦斯特拉斯的大M判别法

它是这样陈述的

If there exists a sequence of positive constants

a0 a1 a2 and so on

如果我们现在能够找到一串正的常数

它构成一个数列

使得什么呢使得我们事先考虑的某一个函数项序列

也就是fn(x)

每一个fn(x)

都被an所控制这是我们第一个条件

意思就是说 fn(x)取绝对值小于等于an

对任意的x在定义域中而且对任意的指标都对

这就叫做每一个fn通项呢被an这个常数项所控制

好第二个条件

而且呢这一串数列所构成的级数

无穷项加起来它是收敛的

则结论是说fn(x)所构成的函数项级数就一致收敛了

uniformly converges on domain D

这就是韦斯特拉斯大M判别法

它告诉我们如果我们想判定某一个函数项级数fn(x)

它是不是在区域D上一致收敛

只要我们把每一项在D上都放大成某一个序列an

然后只要这个an所构成的无穷项级数是收敛的

那么原来这个函数项级数就一致收敛

好的

我们看一个具体的应用韦斯特拉斯大M判别法的例子

Example 1.4

Show that this series and that series

They are both uniformly convergent on R

注意现在我们看到的这两个

函数项级数都是依赖于x的

我们要说明它们在整个实轴上都是一致收敛的

我们用大M判别法

In fact for any x in R

实际上对任意的在定义域R中的x

我们都可以把通项放大

我们看一下

sinnx除以n平方取绝对值可以放大到n平方分之1

类似的cosnx除以n平方的绝对值也可以放大到n平方分之1

那么因为n平方分之1这个数列所构成的无穷项级数

它是收敛的根据大M判别法

we conclude that the two series of functions

sinnx/n^2 summation and cosnx/n^2 summation

they are both uniformly convergent on R

同学们我们还记得以前在学习广义积分的时候

有狄利克雷判别法阿贝尔判别法

我们在学习级数的时候呢

也有狄利克雷判别法阿贝尔判别法

现在对函数项级数

我们要判定它的一致收敛性

也有一个狄利克雷判别法与相应的阿贝尔判别法

它呢和我们原来的这种判别法非常的像

同学们对以前的判别法熟悉的话

马上就能明白我们下面要讲的这些判别法

请看第一个

狄利克雷判别法

Theorem 1.5

For a series of functions Σ n from 0 to infinity

an(x) times bn(x)

现在呢我们考虑的函数项级数是这样的

an(x)乘以bn(x)

它的通项是两项的乘积

好了我们现在根据每一项的条件来判定

这个函数项级数是否一致收敛

第一条

If Σn from 0 to k bn(x) is uniformly bounded

这句话的意思是说

bn(x) 的部分和是一致有界的

它的意思是说

存在某一个M 这个M是事先指定的

它跟x跟小k都没有关系

使得从小n从0到小k

bn这个部分和

它被大M所控制

而且不管其中x取在哪里

因此呢我们把它叫做一致有界

第二个条件

固定的x an(x)都是单调减或者单调增的

monotone increasing or decreasing for each x in D

第三条

an(x) approaches 0 uniformly on D

第三条很关键

要求这个an这个函数列它是一致收敛到0

好了如果有以上三条的话结论是说

这个我们考虑的函数项级数

an(x)乘以bn(x) 求无穷和

它就一定是uniformly convergent on D

同学们可以把现在我们所列的123条和以前我们所讲的

级数的判定收敛的狄利克雷法则对比一下

是完全相应的只是现在我们多了一些一致性的条件

好的我们看一个例子吧

请看Example1.6

The series of functions sinnx over n

is uniformly convergent on δ to 2π-δ

注意啊我们现在呢把这个区间呢没有取成从0到2π

而是取成了从δ到2π减δ

其中这个δ是某一个比较小的数

后面我们马上明白为什么要这样取

我们来看一下

用狄利克雷判别法是如何断定这样一个函数项级数

在如此的区间上是一致收敛的

In fact we have what

请看第一

我们把其中一项算一下部分和

就是sinnx做部分和n从1加到k

这个技巧啊我们以前在类似的例子中用过

就是分子分母同乘以一个sin2分之x乘以2

然后呢用积化和差公式

这个技巧我们不再重复了总之呢

通过这样一个简单的三角函数的技巧

我们可以把这样一个和式

给它化简

化简成我们现在看到的屏幕上最右边这个式子

对这个式子我们来估算它的最大的界

它会小于等于2除以2倍的sin2分之δ

也就是把分子中的两个项全部放大到1

因此它是有界的

注意因为我们δ不是0

那么这个数它是一个固定的数

它就是一致有界对任意的x

which implies that it is uniformly bounded

好了这样就满足狄利克雷条件中的其中一个了

另一个另一项是n分之1

n分之1根本不依赖于x

而且它还是单调减的又趋近于0

所以它自然也就是一致收敛到0了

因此我们用狄利克雷判别法就断定

sinnx除以n它是一致收敛的

在哪里呢在刚才那个区间上就是从δ到2π减δ

与狄利克雷判别法相仿的呢就是阿贝尔判别法

我们把它也讲一下

请看 Abel Test

For a series of functions Σ n from 0 to infinity

an(x) times bn(x)

现在呢我们还是考虑同样类型的函数项级数

我们分别观察an和bn

第一条

If bn构成的函数项级数

bn(x) summation n from 0 to infinity

is uniformly convergent on D

注意第一条比刚才的狄利克雷判别法变强了

就是要求bn(x)构成的函数项级数

本身是一致收敛的

第二 an(x)对固定的x而言

是monotone increasing or decreasing

这个还和刚才狄利克雷判别法的条件是一样的

第三条 an(x) is uniformly bounded on D

就是an(x)在这个区间D上

它是一致有界的那么结论

则an(x)bn(x) is uniformly convergent on D

这个阿贝尔判别法和我们以前见到的级数

广义积分等等的阿贝尔判别法是完全相仿的

只是多了一些一致收敛的条件

好的我们看一个例子

Example 1.8

Consider this series

-1 to the n over n times x to the n

然后呢区间取成[0,1]

我们说这样一个函数项级数

Is uniformly convergent

它在[0,1]闭区间上一致收敛

为什么呢我们用阿贝尔判别法

In fact

其中一项就是-1的n次方除以n

这一项单独拿出来看

然后取它的无穷项级数和

它就是收敛的

而且呢里面根本没有x自变量

因此它自然也就是一致收敛的了

It is independent of x

第二

对任意的x在这个闭区间[0,1]中

x^n当然是一个单调的降序列

第三条x^n一致有界为什么呢

对任意的x处于[0,1]

它永远小于等于1

因此it is uniformly bounded

于是我们现在可以根据阿贝尔判别法断定

负1的n次方除以n乘以x的n次方

它是一致收敛的实际上它在[0,1]区间上一致收敛

它收敛到哪里呢

Actually it converges to -ln(1+x)

这个它为什么收敛到-ln(1+x)

这个我们要在下一章解释

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）在线视频