Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

2. Uniform Convergence

一致收敛性

刚才第一小节

我们定义了函数项序列以及函数项级数

以及逐点收敛性

逐点收敛性呢就是说固定自变量来看它的收敛性

可见这个逐点收敛性

没有什么新的内容

但是有另外一个概念

就是我们下面要讲的一致收敛性

它是完全区别于前面的逐点收敛性的

我们看一下定义

Definition 2.1

A sequence of functions

fn(x) 现在呢给定了一个函数项序列

其中自变量是x

this sequence of functions is said to be

uniformly convergent to a function big L(x) on D

我们称这样一个函数项序列

一致收敛到某一个函数大写的L(x)在定义域D上

它满足什么条件呢

下面我们要用严格的ε-N语言来定义

我们要仔细地看一下

If for any ε positive

there exists some big N

对任意的ε大于0 存在某个指标N

使得什么呢

such that fk(x)-L(x) and take absolute value

is less than ε for any k bigger than big N

and for any x in D

也就是说

对于刚才事先指定的ε大于0

我们能找到一个统一的指标大N

从大N开始

所有的fk(x)与它的目标也就是它的极限函数L(x)的差

一致地小于ε

什么叫一致地小于ε呢

就是说对任意的x在定义域D中

都会小于ε

所以一致性就体现在这里

一致地对x而言

同学们

这个定义呢比较复杂

它的复杂之处呢在于它是用ε-N这种语言来定义的

可能有的同学有疑问了这个定义和我们前面

讲的逐点收敛性的差异在哪里

建议同学们把逐点收敛性的定义啊

翻译成ε-N语言就能看出来了

实际上原来我们在定义逐点收敛性的时候

是事先固定了x然后再取极限

现在呢一致收敛性的定义呢比原来

逐点收敛性要强的多

它的意思呢是这个fk

趋近于这个它的目标函数大L的过程呢是一致地快

总之呢这个一致收敛性是非常强的条件

它比逐点收敛性要强得多

为此呢我们引入一个特别的符号

In such a case

If the sequence of functions {fn(x)}

uniformly converges to

L(x) we write

如果刚才这个函数项序列一致收敛到L(x)的话

我们用一个特殊记号就是现在我们看到的

fn(x) double approaches

因为现在我们写的这个趋近号啊是强调了一下

它用了两个趋近放在一起这种方式

来强调这个趋近过程是一致收敛

double approaches L(x) for any x in D

as n goes to infinity

现在我们看到屏幕中最下面这一行这个式子

它的含义就是函数项序列一致收敛到大写的L(x)

在定义域D上

同学们刚才这个定义非常抽象

下面我们看一些具体的例子就能明白

一致收敛性与逐点收敛性的差异在哪里了

Example 2.2

Consider the sequence

fn(x)=x^n

and domain is [0,1]

现在我们考虑的这个

函数项序列呢是x的n次方

而它们的公共定义域是[0,1]闭区间

那么对这样一个函数项序列

我们来看一下

One can easily see that pointwisely

我们首先逐点地看

也就是固定x看一下这个序列它的极限

如果固定x的话

我们看它的极限是容易算出来的

我们现在已经在屏幕上写出来了

就是 fn(x) will always be approching to big L(x)

这个L(x)它依赖于x

如果小x取成1的话

那么这个函数项序列呢

就是常数1了那么它当然极限也是1

如果小x是介于0 1之间

只要它取不到1

x是一个严格小于1的数的话

那么x的n次方

当n趋于无穷的时候一定会趋于0

因此呢在x大于等于0小于1的情况下

fn(x)是趋于0的

可见刚才这个函数项序列

fn(x)等于x^n它的确逐点收敛

而且逐点收敛到的这个函数

这个L(x)它是一个逐段定义的函数

在x大于等于0小于1的时候

它取值为0

在x等于1的时候呢

它跳跃到了1

也就是大写的L实际上不是一个连续函数

但是fn(x)的确逐点收敛到L

但是我们断言

But {fn(x)} does not uniformly converge to L(x)

也就是说刚才我们看出来逐点的fn

的确是收敛到大写的L的

但是呢这个收敛过程并不是一致收敛

为什么呢

It suffices to show that

现在呢我们要证明一下刚才的过程实际上不是一致收敛

就需要把不是一致收敛这个条件把它写出来

我们这样写存在某一个ε大于0

there exists some ε positive

such that for any index big N

对任意的指标大N

there exists some x naught in D

and some k which is bigger than big N and

|fk(x0)-L(x0)|is bigger thanε

现在我们看到的这些条件

实际上就是我们刚才一致收敛的条件呢

重新反过来写了一下希望同学们呢

能够对比原来定义理解为什么我们现在是这样写

能不能找到这样的ε呢实际上可以的

In fact we may take ε to be a quarter

只要它取4分之1就行了为什么呢实际上

我们取ε等于4分之1的时候呢

就是这样的事情

for any big N

对任意的指标大写的N

there exists某一个x0

这个x0我们取成2分之1的开N+1次方根

我们来验证一下这个x0呢就满足我们前面要找的条件

请看

for k=N+1

还找另外一个小k取成N加1就行了我们来算一下

fk(x0)减去L(x0)的绝对值

看他是不是大于那个ε也就是4分之1

实际上因为现在fk和L呢都是固定的函数

我们直接代入就行了这个代入过程呢请同学们

对比前面的结果我们这里就省去一些细节

总之带入以后呢它就变成了

x0的N加1次方

恰好就是2分之1

2分之1呢当然大于事先指定的ε等于4分之1

于是它就满足了不一致收敛的条件

可见我们能够证明

fk这个序列的确并不是一致收敛的

大写的L 尽管它是逐点收敛的

同学们通过刚才的例子呢我们差不多明白了

逐点收敛性并不蕴含着一致收敛性

同样的我们对函数项级数也有所谓的一致收敛的问题

我们看定义

Definition2.3

A series of functions

一个函数项级数现在呢

注意是函数项级数

is said to be uniformly convergent to

its sum function S(x) on D

一个函数项级数

称作一致收敛到它的和函数大写的S(x)

在某一个定义域D上

满足什么条件呢

If 还是用ε的语言

对任意的ε大于0 存在某一个指标大N

for any ε positive there exists some big N

such that

关键就是现在我们看到的这个式子

它的意思是说

the difference of partial sum

它的意思是说fn这个函数项级数的部分和

请看小n从0加到小k 这是部分和

它与和函数的差减去S(x)

再取绝对值表示范围

让这个量呢永远小于ε

对任意的小k大于指定的那个指标大N

以及对任意的x在定义域中

我们还是强调所谓一致收敛

关键就在于现在我们看到的这个

不等式是对任意的x成立

因此我们把它叫做一致收敛

希望同学们把现在看到的

函数项级数一致收敛的条件

和刚才我们定义函数项序列一致收敛的条件对比一下

实际上他们说的就是一回事好了

还是我们引入一个特殊的记号

In this case

If fn the series of fn(x)

uniformly converges to sum function S(x)

如果刚才这个函数项级数

它一致收敛到它的和函数大写的S(x)的情况下

我们怎么记呢这样记就是

Σ n从0到无穷 fn(x)

double approaches为S(x)

for x in D

刚才呢在逐点收敛性的时候我们就直接写成

这样一个级数和等于大写的S(x)

而现在呢为了强调这个趋近过程是一致收敛的过程

把等号呢改成这样一个

双写的趋近的符号

它和刚才我们所用的

序列的一致收敛性的符号是一样的

好的我们还是给出一个例子来说明逐点收敛性

和一致收敛性的差别请看Example 2.4

Consider the series 现在我们考虑这样一个级数

它是函数项级数它的通项是x的n次方

其中呢 x属于0到1

但是x不要取到1 因为呢如果x取到1了

那么这个级数明显是一个发散的级数

好了我们先看一下现在这个函数项级数

逐点收敛到哪一个函数

这是很容易求的

因为这个就是一个几何级数的典型的例子

It can be easily seen that pointwisely

这个呢几何级数呢它的

收敛到的和函数是非常容易求的

我们前边呢已经算过了其实

现在呢我们只是把原来的结果重复一遍

就是

the sum function is S(x)=1/(1-x)

对任意的x在定义域[0,1)之中

注意我们还是强调现在我们看到的和函数

是指逐点收敛

pointwisely we have the sum function

好了下面我们说明这样一件事情

However these series functions

does not uniformly converge to

S(x) on this domain

刚才这个和函数

级数收敛到和函数是逐点收敛的

但是不是一致收敛的

事实上我们呢可以说明为什么

其实啊下面我们要说明这个事情啊

和我们前面那个例子也就是某一个函数项序列

它逐点收敛到一个函数

但不是一致收敛到那个函数的过程差不多

如果刚才把前边那个例子弄清楚了

现在这个例子你很容易明白了

我们取一个特定的ε等于4分之1

那么可以判定

for any big N 对任意的指标大写的N

总是能找到某一个x0

这样一个特殊的数它就是2分之1开N加2次根

怎样呢再取一个k等于N加1这样一个特殊的指标

而且我们可以看一下这个部分和式

就是n从0到k fn(x0)和它的目标函数

也就是它的和函数S(x0)

它的差距是不是大于事先指定的ε

实际上它的结果是很容易算出来的

这个地方因为所有的式子都是显式表达的

我们直接代入就可以了

最后代入的结果就是这么多

它大于4分之1

于是它的确不是一致收敛

好的我们刚才定义了逐点收敛性和一致收敛性

并且看到了逐点收敛性

并不蕴含一致收敛性

一致收敛性是非常强的条件

那我们为什么要引入一致收敛性呢

我们把这个问题要留在下一单元去解释

现在呢我给同学们看两个定理

这些定理呢我们将来后面还要再解释

在这两个定理中就用到了一致收敛的条件

我们先来预习一下后面再仔细讲

What is the benefit of uniform convergence

of a sequence or series of functions

对于函数项序列与函数项级数一致收敛

这个条件都有哪些好处呢

Below we state two theorems concerning

differentiation of sequences or series of functions

下面这两个定理说的是

对函数项序列或者级数

进行逐项微分的时候的一个定理

请看 Theorem2.5

Suppose that {fn} is a sequence of functions on [a,b]

假设现在{fn(x)}是一个函数项序列

它定义在闭区间[a,b]之上

If moreover 请看

如果我们满足什么条件呢

第一对任意的指标小n

fn(x) is continuous and differentiable

意思就是说

fn(x)它是连续的

而且是可导的

取完导数以后呢还是[a,b]闭区间上的连续函数

第二对任意的x属于[a,b]

这句话的意思是说逐点的fn(x)有一个极限值函数

fn(x)收敛到L(x)

就是大写的L(x)

逐点收敛好了

第三条另外fn的导数

它是一致收敛到某一个函数G(x)

on the closed interval [a,b]

第三个条件非常的关键

就是如果fn的导数它是一致收敛到另外一个函数

大写的G(x)的话

则结论是说 then

第一刚才逐点收敛的那个目标函数大写的L(x)呢

它一定也是连续可微的

第二刚才的逐点收敛呢就一定也是一致收敛

第三 L的导数不是别的就是大写的G

这个结论呢非常的强它告诉我们

对于某些特殊的满足刚才123条的那个函数项序列

我们真的可以做逐项求导

而且求导的过程和取极限的过程是可以互相交换的

类似的呢还有一个定理

这个定理是这样说的

它是关于级数的情况

Suppose that Σ n from 0 to infinity of fn(x)

is a series of functions on [a,b]

现在我们考虑的是函数项级数

对这样一个级数如果我们有下面这几条条件

第一还是对任意的指标fn是连续可微的

第二对任意的x这个函数项级数收敛到某一个函数S(x)

也就是说逐点地

函数项级数收敛到它的和函数

第三条非常关键也就是说

对每一项去求导数之后所构成的函数项级数

它呢是一致收敛的而且一致收敛到某一个函数

大写的T

当然都是指在这个定义域[a,b]之上

则我们的结论是说

刚才的和函数一定也是连续可微的

第二刚才逐点收敛的过程实际上

一定也是一致收敛的

第三 S的导函数就是T(x)

其实啊这个定理说的是什么呢

它说对于满足刚才123条的那样的函数项级数

我们可以先求导数

对每一项求导数然后去求和

这个结果呢和你先求和

再求导数是一样的

可见这个定理告诉我们一个非常有用的结论

同学们在这一讲中呢

我为大家介绍了两个新的概念

就是函数项数列与函数项级数

另外我还定义了两种不同的收敛性

逐点收敛与一致收敛

希望同学们能够体会出这两种不同收敛性的本质差异

这些知识呢我们以后要经常用到

所以希望大家能够认真复习相关的内容

在下一讲中呢我们将为大家介绍

判断一致收敛性的几种判别方法

好的我们下一单元再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

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Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

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-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

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-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

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-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

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--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

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Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

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--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

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-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

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--3-4讲义

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--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

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--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

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--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

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--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

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--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

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--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

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--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

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--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

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-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

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--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

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--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

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--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）在线视频