当前课程知识点：微积分-2 > Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part) > Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3) > Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
Section 3 Straight Lines and Flat Planes
也就是 直线与平面
在三维欧式空间中呢
我们经常要和很多的几何对象打交道
最简单的呢 就是直线
首先我们看一下 直线是如何表达的
The expression of a straight line in E3
现在我们给出第一种方法 就是
首先 Given a point 也就是
给定一个点 这个点呢 我们把它视作
某个向量的终点 比如说
the end point of some vector r naught
注意我们现在强调这个r是一个向量
因此我们在它的符号上面呢
加了一个箭头 r0 表示一个固定的向量
它的终点呢 就是我们现在给定的那个点
好 接下来
choose a direction
现在呢 就选择一个方向 v
还是强调这个v啊 是一个向量
因此呢 它的符号上有这个箭头
那么这个方程 也就是
r(t)等于r0加上t乘以v
其中呢 t跑遍所有的实数
注意这是一个参数方程
它就表示从r0的端点出发
沿着v方向的那条直线
So it denotes a straight line in E3
这种表达方法呢 就是
给定点和给定方向
给出的是一个参数方程
参数呢 是t
好的 下面呢 我们把这个方程呢
形式呢 再写得更清楚一点
If r naught equals x naught y naught z naught
也就是我们把r0这个向量的
三个分量分别写出来
是x0 y0 z0
另外呢 指定的方向v
的三个分量也写出来
比如说 它是a b c
then the expression obtained is
前面 刚才用向量式写的
这个直线方程呢
现在呢 把它用分量写开 就是
R(t)等于
x(t) y(t) z(t)
分别等于
x0加ta y0加tb z0加tc
这里边还是有一个参数就是t
t呢 是跑遍实数的
如果我们消去这个参数
也就是把t从参数方程中消去的话
就变成了一个隐式方程
这个方程呢 可以写成下面这个样子
就是 x(t)减去x0比a等于
y(t)减去y0比b等于z(t)减去z0比c
最后一个方程的好处呢
就是其中呢 不再含着参数t
但是这里头 我们要明白
连等的三个比例式
如果其中某一个地方的分母等于0的话
那么我们同时要求分子也恒等于0
这就是我们通常关于比例式的约定
刚才呢 我们介绍了 给定一个点
和通过这个点的一个方向
决定一条直线的方法
另外呢 我们还知道
在欧式空间中
给定两个点就能决定一条直线
那么 它相应的数学表达式是什么呢
现在我们来看一下
Given two vectors u and v in E3
where u is not equal to v
给定三维欧式空间中的两个向量
假设这两个向量不相等
那么现在呢 就观察这两个向量的端点
所确定的两个点
那么通过这两个向量的端点的
那条直线的表达式是怎样的呢
the straight line that passes through the
end points of u and v is given by the following
现在我们就给出它的解答
就是L 它是一个集合
它表示全体这样的向量的终点
这样的向量呢 是t乘以u加上s乘v
其中呢 t和s都是实数
但是要求t和s加起来要等于1
如此这样全体向量的终点
把它们构成一个集合 记成L
这个L呢 就是我们要找的那条直线
Or in its parametric form we write
如果我们把刚才这样的一个用集合形式
表达的直线呢 用参数方程来写的话
它应该是这样写的
就是 t乘以u加上1减去t乘以v
这里的t呢还是跑遍所有的实数
如此这样的全体向量
它们的端点就构成一条直线
这就是我们要找的直线
同学们 刚才我们学习了
三维欧式空间中直线的表达
直线呢 是非常简单的构形
比直线再复杂一点 就是平面了
我们来看一下如何表达一个平面
The expression of a flat plane in E3
第一种方法呢 就是给定一个点
以及通过这个点的一个平面的法向
来决定这个平面 好
Given a point suppose it is the end point
of the vector r naught
还是假设这个指定的点呢
是向量r0的端点
另外呢
given a normal direction n
指定一个法向n
当然这个法向不能等于0了
那么以r0的终点为参考点
通过这个点 并且以n为法向的
这个平面该怎么表达呢
我们现在给出它的解答 就是
P equals such a set
P呢 是这样的向量的端点所构成的集合
就是全体这样的向量r
它 r减去r0 和n做内积等于0 如此r
这句话的意思可以这样理解
就是说 所有这样r
r和r0的差 也就是从
r0的端点出发到达r的端点这样的向量
这样的向量呢
当然要和我们指定的法向n垂直
因此呢 我们写出来的方程就是
r minus r naught
the inner product with n equals 0
因此呢 这个表达式是很容易理解的
so it denotes a plane in E3
另外呢 我们看 还有这样的表达式 就是
Given a b c which is not 0
假设现在呢 有一个向量
它的三个分量是a b c不等于0
d是某一个实数
the equation ax plus by plus cz equals d
denotes a plane in E3
也就是说ax加by plus cz等于d
这样一个线性方程的全体解的集合
构成了E3中的一个平面
注意 这个原因啊
就是由前面我们讲的1导出来的
而这里的a b c呢
实际上 恰好就是刚才我们在1中
指定的那个法向的三个分量
so a b c gives the normal direction of this plane
同学们一定要把刚才1中
那个P这个集合的表达式呢 具体写开
就是我们现在看到的
这样一个方程ax加by加cz等于d
另外啊 我们还知道
在三维空间中 三点决定一个平面
那么我们来看一下
这个是如何用数学来表达的
Given three vectors a b c they are in E3
首先要假设这三个向量a b c
满足一定的条件 请看
它的条件是这样写的
b减a 叉积 c减a不等于0
这个意思呢 实际上是说
a b c三个向量的终点呢不共线
我们要知道
三个不共线的点才能决定一个平面
因此我们要求
b minus a cross product with c minus a
is not 0
这个条件呢 也可以换一种写法
就是 我们把这个条件呢展开
它就变成了
a cross b plus b cross c plus c cross a
is not 0
好的 在这个条件下
我们可以给出通过a b c的三个
端点的平面的方程
我们呢 用参数方程来表达
t s parametric equation
r(t s) 现在呢 我们要表达这个平面呢
用r(t s)这样一个参数方程 它写成
t times b minus a plus s c minus a
plus a
什么意思呢 也就是说
我们把其中一个向量a固定下来
把它作为参考点
然后呢 以b减a 和c减a
作为两个线性无关的向量
然后 做线性组合 也就是
t乘以b减a加上s乘以c减a
在加上起点a
当这里边的t和s跑遍所有的实数的时候
那么它就张成了整个平面
同学们一定要在草稿纸上画一个草图
就明白这个式子的含义了
当然我们可以把这个式子呢 再简化一下
就是1 minus t minus s times a
plus t times b plus s times c
当t s跑遍全体实数的时候
如此这样的向量
它们的终点的全体就构成了
我们所要找的平面
so it gives the plane
that contains the three end points of a b c
刚才这个平面呢
我们也可以换一种写法来写
Such a plane is also denoted by
P equals the set of all such vectors
μa plus λb plus γ times c
全体a b c这样向量的组合
组合的系数呢 是μ λ γ
要求μ加λ加γ恒等于1
如此全体的向量的终点构成的集合
记作P
就是我们刚才所写的那个平面
同学们 刚才呢
我们给定三个不共线的点
确定呢 一个平面
那么我们现在考虑另外一个问题
还是给定三个向量a b c
这三个向量呢
还是满足不共线这种条件
也就是它们的三个端点不共线
b minus a cross c minus a is not 0
好的 我们现在呢 考虑这样的集合
what does the set
那么下面这个集合T
是这样定义的
T是a b c三个向量的线性组合
其中线性的系数呢 是μ λ γ
还是要求μ λ γ的和等于1
但是我们额外要求μ λ γ
要永远介于0与1之间
so we see that this T is the part of previous P
我们前面已经介绍了P
就是通过a b c的三个端点的那个平面
现在这个T呢
明显的 它是P的一部分
那么它是哪一部分呢
what does T represent in E3
希望同学们自己思考一下这个问题
实际上 这里的这个T啊
它表达了以a b c的三个端点
为顶点的那个三角形
同学们自己一定要在空间中
画一下这样的图形
就能明白它这个为什么是这样的了
好 下面呢 我们考虑另外一个问题
Given two planes
假设我们现在有两个平面
一个是P ax plus by plus cz等于d
另外呢 一个是Q
αx plus βy plus γz equals η
假设这是两个不同的平面P Q
what is the plane that passes through
the intersection line of P and Q
我们知道 给定两个不重合以及不平行
的平面P和Q
它们之间呢 一定要交出一条线来
那么我们现在的问题是
通过这条线的全体的那些平面
我们应该怎么表达
注意我们这里条件呢 还是要求
α β γ这个向量和a b c这个向量呢
要线性无关linearly independent
同学们一定要思考一下为什么
这里我们要要求这个条件
其实啊 它就相当于是说
P和Q既不要互相平行
也不要互相重合
这呢 是简单的线性代数知识
同学们自己呢 一定要思考一下为什么
好的 下面我们给出这个问题的答案
The answer is
t times ax plus by plus cz minus d plus
1 minus t times αx plus βy plus γz minus η
equals 0
这样的一个方程
注意 这个方程中呢 t是参数
x y z是待解的那个自变量
t is determined by some extra condition
再加额外的条件就可以决定
其中的参数t了
只要参数t固定 那么
我们现在看到的这个方程呢
实际上就表达了
某一个通过P和Q的交线的那个平面
接下来 我们考虑一个
稍微复杂一点的问题 就是
Given a plane P
ax plus by plus cz equals d
假设现在呢 我们在空间中
给定了一个平面
它的方程是ax+by+cz=d
现在呢 我们另外给定一个点
就是
p naught equals x naught y naught z naught
which is not in P
给定一个不在P中的点
它呢 是由向量p0的端点所决定的
那么 我们现在问题是
what is the distance between p naught and P
就是从p0到这个平面P的距离是多少
这该怎么求呢 这个问题呢
同学们一定要自己先思考一下
下面呢 我们再给出答案
实际上 我们给出的方法呢 很简单
是这样 就是
首先要找到法向 平面的法向
我们把它记作n
n equals a b c over square root
a square plus b square plus c square
注意我们以前说a b c啊就给出了法向
现在呢 我们还要除以
a平方加b平方加c平方的根式
这个呢 就是单位化
使得我们现在看到的这个n啊
是一个单位向量
and then choose any vector v equals
x y z in P
在平面P中啊 任取一个向量v
那么我们现在就可以计算
我们所要的距离了
The distance that we want to calculate is
也就是从p0到P 它们之间的距离
是多少呢 它等于
The inner product of p naught minus v
with n and then take the absolute value
这个地方啊 同学们一定要思考一下
为什么是这样
就是我们先用p0减去v
这样的话 就得到空间中的某一个向量
然后呢 让它和n做内积
现在呢 因为n啊 是单位向量
也就是它的长度是1
这个和单位长度为1的这个向量做内积
它的几何含义呢就是
向这个向量v呢 去做投影
做完投影以后 我们取完它绝对值
就给出了这个距离
于是 下面呢
我们来继续计算一下这个表达式
给出的值是多少
同学们 最好呢 自己去把
p0的表达式 v的表达式 n的表达式
全部代入刚才这个内积
然后求绝对值的公式
经过仔细的化简之后呢
它就变成了下面这个式子
它的分母呢
是 ax0 加 by0 加 cz0 减去 d
然后求绝对值
再除以the square root of
a square plus b square plus c square
这个就是我们要求的答案
同学们 在这一讲中
我们重点学习了 三维欧式空间
包括其中的很多基本结构
比如 内积 外积 它也叫叉积
以及范数 直线 平面等等
这些概念呢 理解起来比较容易
我们后面呢 也要反复使用
因此呢 同学们
一定要牢记这些基本概念
在下一讲中呢 我们将学习
欧式空间中的曲面以及
与向量值函数有关的内容
请同学们提前预习一下
好的 我们下一讲再见
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）
--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Exercises-2-5（section 2）
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)
--Power Series (幂级数）(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义
