Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC微积分在线课程

在上一个单元

我们详细学习了第一型曲面积分

并且引入了一个新的数学工具

就是微分形式和外微分运算

在这节课中啊

我们要继续学习曲面积分

我们要学习的是第二型曲面积分

注意

第二型曲面积分都是针对可定向曲面而言的

所以下面第一小节

我们先学习什么是可定向曲面

Chapter 5 Multiple Integrals

第五章重积分

Unit 5 Surface Integrals(II)

第五单元

第二型曲面积分

Section 1 Orientability

可定向性

同学们我们前面提到过

对第二型曲面积分而言

所做的曲面积分的对象必须是在一个

可定向的曲面上

那么什么是曲面的可定向性呢

这就是我们下面要解释的内容

For surfaces embedded in the Euclidean space E^3

an orientation is specified by the choice

of a continuously varying surface normal n

at every point

第一段话的意思是说

如果我们要讨论一个定向曲面的话

假设这个曲面是嵌入在三维欧氏空间中

所谓它的一个定向

就是说如果我们能够找到一种方式

在这种方式下

在这个曲面上的每一个点都能够连续地指定

一个surface normal

它的含义是法向

也就是说如果能够在这个曲面上

成功地在每一点指定一个法向

那么这个曲面就叫做可定向的

From now on we always assume

that the normal is unitary that is

the norm of n equals 1

而且我们这里通常假定的这个法向

都是unitary 也就是单位向量

If such a normal exists everywhere

then there are always two ways to select it

n or -n

这段话的意思是说

如果在某一个可定向的曲面上

我们找到一种方式来定向

也就是说每一个点

指定了一个特定的法向

而且这种指定方式是随着曲面连续变化的

那么

另外一个人就可以选择另一种指向

就是把所有的方向反过来

so an orientable surface

admits exactly two orientations

换言之

对任何一个可定向曲面来说

我们总有两种方式来指定它的定向

我们只需要选择其中一种

就可以指定一个定向

如果你选择另外一种

那么它一定是和原先指定的定向是反过来的

Most surfaces we encounter in the physical world

are orientable

Spheres planes and tori

plural of torus are orientable

for example

我们现在呢来看一个例子

这个例子呢

是一个叫做torus的曲面

torus在中文中的翻译是轮胎面

那么现在看到就是这样一个轮胎面

很明显

我们可以在这个面上指定一个定向

比如说所有的法向指向外部

也可以指定它的反向

也就是所有的法向指向内部

那么在实际的世界中

我们见到的很多曲面都是可定向的

比如刚才提到的spheres球面

plane平面

Roughly speaking

an orientable surface is a surface with two sides

A non-orientable surface is

a surface with only one side

这呢我们再总结一下

Roughly speaking 意思是说笼统地讲

好笼统地讲

一个可定向曲面可以理解成这样的一个曲面

它有两面 it has two sides

那既然有可定向曲面

自然就会有不可定向曲面

non-orientable surface

所谓non-orientable surface 意思就是说

这个曲面我们只能找到它的一面

For a typical example of non-orientable surfaces

we consider a Mobius strip

一种特别典型的不可定向的曲面

就是所谓的莫比乌斯带

好的下面我们来看一下什么是莫比乌斯带

首先我们来描述一下

Take a strip of paper half-twist it

when join the ends of the strip

and you get a Mobius strip M

我们选择一个纸条 strip of paper 纸条

然后呢把这个纸条呢

half-twist意思就是说转一圈

when join the ends of the strip

就是把它转180度

然后呢再两端粘起来

这时候你得到的就是莫比乌斯带

我们图中看到的就是我们粘起来莫比乌斯带的效果

我们画的呢是有立体效果的

那么同学们自己不妨拿一个纸带子粘一下

粘出来就一定是这个样子

那么我们看到现在这个面啊它实际上只有一面

它是不可定向的

比如我们解释一下为什么不可定向

Let P be a point on M

随便我们选一个点比如说M

在这个刚才这个带子上

Fix n_p a normal vector of M on P

在这个点P处呢我们指定一个法向

比如说n_p 比如说我们无论指定哪一面都可以

你就找一个法向来指定它

说这个地方是这个面的一个方向

好了然后呢

Then move the point P along the strip

and you will find that n_p

will point to the opposite direction

when it returns to the origin

这句话的意思是说

如果我们现在呢让p点现在动起来

沿着这个曲面本身呢走一圈

along with the strip

you will find that n_p will point

to the opposite direction

就是说当我们沿着这个面走一圈

而且连续地挪动这个法向的话

当它回到原处的时候恰好就指向了

刚才指定那个方向的反面

同学们

我们现在看一下图中所画的那个圈

然后呢自己

比划一下就能明白为什么走一圈会指向反面了

好的我们再解释一个其他的事情

Since we refer to the orientation of

a surface by a local normal

which is continuously defined everywhere

now we see that the Mobius strip

does not have an orientation

because there is no way to determine

such a normal vector field on M

之所以我们称

刚才那个莫比乌斯带是不可定向的

就是因为

如果要指定定向的话

必须是能够连续指定定向的

在处处都可以做到

那么在莫比乌斯带上就做不到

为什么呢因为

当你在一个点指定某一个方向的时候

那么连续地挪动它

最后连续地

一圈回来那么就指向了另外一个方向

于是呢我们看出来

这样连续指定特定的方向是不可能的

好的我们再解释一下

Note that locally

an embedded surface always has two sides

也就是说局部地看

任何一个面我们总是能看到两面

但是整体的不一定

so a near-sighted ant

crawling on a one-sided surface

would think there is an other side

意思就是说

假如我们把自己比作一只蚂蚁趴在这个面上

非常小的范围内我们总是看到这个曲面有两面

The essence of one-sidedness is that

the ant can crawl from one side

of the surface to the other without

going through the surface or flipping over an edge

but simply by crawling far enough

这段话的意思是说

所谓只有一个面的曲面

或者说不可定向曲面

它的本质含义意思就是说

这只蚂蚁它可以跑到这个曲面的另外一面去

它并不需要在这个曲面上挖一个洞

或者呢从这个曲面的边缘翻过去

而只要在这个平面上连续地移动

最后就能跑到这个曲面的对面去

那么这样的面就是所谓的不可定向面

同学们刚才我们见到的是莫比乌斯带

那么有没有其他类型的不可定向曲面呢

有的

同学们我们现在看到图中所展示的这个曲面呢

它叫做克莱因瓶它也是一个不可定向曲面

there are other types

of non-orientable surfaces as well

below is the illustration if a Klein bottle

Klein bottle就是克莱因瓶

我们看到的是一个立体的图形

它实际上是一个闭合曲面

如果我们同学把自己比作一只蚂蚁

在这个面上爬一爬的话就会发现

总可以从里面爬到外面从外面爬到里面

因此呢它的确是一个不可定向曲面

同学们刚才我们见到了

可定向曲面的定义

以及几个不可定向曲面的例子

下面我们就开始定义所谓的第二型曲面积分

We shall define type II surface integral

only on orientable surfaces

我们只可以在可定向的曲面上去做

第二型面积分

好假设

Let S contained in E3 be an orientable surface

假设S是这样一个三维空间中的可定向曲面

Fix an orientation on S

因为我们假设S是可定向的

那么我们就可以固定一个定向

当然另外一个定向就是它的反向

So fix such an orientation

and assign a normal vector everywhere

于是呢我们在每一个点都

带着一个事先制定的法向

so We have the normal vector field

n=n(x,y,z) on S

也就是说

在这个曲面上有这样一个向量场

它的名字就叫做法向向量场

它会依赖于x,y,z坐标

Here is a typical example

the torus with orientation pointing outside

好了我们拿一个前面举过的例子

前面我们说过torus也就是轮胎面

它是可定向的

现在呢我们就指定一个定向

在这个轮胎的表面的每一点都指向一个法向

这个法向呢朝外指

当然每个点指向是不一样的

但是整体而言它就是这个

曲面上的一个法向向量场

同学们

下面我们给一个与定向有关的非常重要的定义

Definition 1.1

Let r=r(u,v)

我们现在假设有这样一个参数化

也就是它的自变量是u v

定义域在D上取值为S

it is an admissible parametrization of the surface S

假设我们所讨论的这个可定向曲面S

现在取了一个允许的参数化表示

It is said to be

compatible with the orientation S

因为我们的

曲面S是事先指好定向的比如说是n

我们称现在所取的这个允许的参数化

它是和原来指定的定向n是相容的

compatible就是相容的或者说是融洽的

If 下面是条件

if for any (u,v) in D^o 也就是对任意D

这个集合中的内点任何一个内点

(u,v)比如说这个点

我们都有什么呢

partial r partial u

corss partial r partial v not equal to 0

这什么意思呢

同学们回顾一下我们以前学过u线v线

partial r partial u,partial r partial v呢

分别是u线和v线的切向量

好了现在例子是说

这两个切向量在任何一点互相做叉积的话

一定不等于0 这是第一个条件

另外呢 and

it is pointing to the direction of n everywhere

也就是说

不但它做完叉积以后不等于0

而且做完叉积以后这个向量和n的方向是一致的

In other words

for any (u,v) in D^o

也就是说对任意的(u,v)这个点

我们都有什么呢

ru 叉 rv

然后做规范化

也就是让它除以ru 叉 rv自身的模长

它就一定和原来的n是同一个向量

It is exactlly that of n at that point

这就是我们最后写的这个公式

换言之现在所谓的这个法向向量场n呢

它是可以用ru叉 rv做规范化以后得到的

In general an orientable surface S

is the union of finitely many peices

S=S_1 union S_2 union so far until Sn

也就是说

一般而言啊所谓的一个可定向曲面

它总是很多有限的片拼起来的

where each Si is smooth

and admits an admissible parametrization

and the intersection of any pair S_i and S_j

i not equal to j is a one dimensinal object on E3

这里的S我们分解成S_1一直到S_n

每一片Si都是光滑的可定向的

而且呢它有一个允许的参数化表达

An orientation on S

is to assign normals on each S_i

so that they are consistent along the borders

所谓一个S的定向

就是说在每一片上都指定一个法向场

而且它们这些片之间

沿着他们的border也就是边缘呢是互相一致的

比如我们现在看一个例子吧

For example

the cylinder below is oriented outward

It consists of three pieces of smooth surfaces

现在我们看了一个柱面

这个柱面呢实际上有三个面贴起来

中间是圆柱的一部分

圆柱的表面上下有两个底面

上底面和下底面

那么这三个拼起来就得到一个圆柱的表面好

那么在每一片上我们都指定一个定向

在它们边缘也就是它们缝合的地方

要求他们一致

也就是按右手法则指向是一致的

那么这就叫做一个定向一致的定向

好接下来我们看这种情况下允许的参数化

Definition 1.2

For the above S=S_1

union S_2 until the last one S_n

对前面所提到的这样一个分片光滑的曲面

假设它是很多片拼起来的

a family of compatible parameterization

is to assign on each S_i an

admissible parametrization

r_i

which is compatible with n

现在我们要定义的是

所谓在这种很多面拼起来的曲面上来定义一个

与定向相容的参数化

意思就是说

在每一片上都要指定一个参数化r_i

r_i必须是admissible 必须是允许的

而且compatible with n 意思就是说它和

指定的事先那个指定定向n是相容的

换言之在每一个i

指标

都有r_(i,u) 叉乘 r_(i,v) 然后进行规范化

恰好就是n在那个点的指向

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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