Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 3

Calculating surface integrals using 2-forms

使用2形式计算面积分

同学们刚才这一小节呢我们详细介绍了

第二型曲面积分的定义

它的定义还是比较复杂的

但是在实际计算中呢

我们通常不会用定义式去计算

下面我们引入一种新的计算方法

就是通过2形式来计算曲面积分

第二型曲面积分

首先呢我们说

形式这个概念我们在上一个单元已经讲过了

如果同学们对它还不熟的话

一定要温习一下

好下面我们就直接使用2形式来定义

所谓的第二型曲面积分

The type two surface integral we defined above

首先前边已经定义的这个第二型曲面积分呢

是这个样子

也就是一个积分号

F后面点乘dσ箭头

那么

it is usually quite hard to compute by definition

这是通常用直接的计算式比较困难的

因为它的定义很复杂

而且其中要去参数化等等等等

这个计算量很大

Below we introduce another way

to calculate such integrals

下面呢我们用微分式来计算就会简化一些

怎么简化呢请看

Let us first define oriented double integrals

为了引入

刚才我们说的要用二形式来计算曲面积分呢

我们先对普通的二重积分呢引入

所谓的方向这个概念

On the (u,v)-plane

a region D subset E^2 is assumed to be oriented

with the normal pointing to the reader

好这是一个重要的约定

通常对一个曲面我们有它的法向的指定

那么现在就考虑(u,v)平面

比如说假设我们的读者就是面对着(u,v)平面的话

那么它的定向我们统一约定

就是指向读者的这个方向为法向

这是我们通用的约定

Then we define the oriented double integral

也就是说在这样指定定向的含义下

也就是我们默认的指定定向的含义下

在某一片区域D上

这个D呢是(u,v)平面的一部分某一个区域

在这个D上做普通的积分

也就是普通的二重积分

我们要给予一个定向的含义

也就是我们现在看到这个等式的右边

是在D上做普通的二重积分f(u,v)dudv

这个时候呢我们把它改写成等号左边的样子

这是我们的定义

等号左边呢就是一个定义式

它定义什么呢 f(u,v)du wedge dv的积分

定义成右边式也就是普通的那个二重积分

注意我们这个等式的左边啊

它原来是没定义过的

因为左边

这里边积分号后边跟的是一个二形式

我们看到f(u,v)du wedge dv

这是一个二形式

那么一个二形式

它的积分的含义是什么意思呢

就是我们现在所看到的这个式子

当然我们这里要求f是一个可积函数

好了这个约定

就是我们约定了u在前头 v在后面

因为我们指定 u是第一个坐标

v是第二个坐标

这个时候呢法向呢是指向读者的

所以一定要按这个顺序去理解这个定向

这样我们就约定好了这种uv的二形式

它积分的含义

We thus see that the oriented double integral

for any f integrable on D has this formula

我们现在看到这样一个公式啊

这个公式实际上就是根据

我们刚才约定的定向而来的

好还是原来这个f(u,v)

但是呢如果我们把dv写在前边

写成 dv wedge du

那么这个二形式和原来的f(u,v)du wedge dv

它的关系是差一个负号的

这种情况下按照我们的约定

它就会等于负的二重积分D f(u,v)dudv

也就是说

当我们做关于uv的二形式的积分的时候

我们严格按照普通的这个

二形式运算的法则把它规划成最后一步也就是

f(u,v) 乘以du wedge dv这种样子

然后再直接写成这样一个二重积分

这里边的符号一定要保留

也就是说我们约定了u在前边

v在后面是正确的定向

那么最后一步就可以直接转化成二重积分了

类似的呢我们还可以定义定向的三重积分

In E^3 with the coordinates (x,y,z)

a region V is assumed to be oriented

现在在三维空间中的某一个区域比如说V

我们也指定它的定向

所谓定向呢就是说指定坐标的次序

现在坐标的次序是x在前 y在后 z在最后

这个次序不能变

这就是指定一个定向

The order of frames being x y z

意思就是说这个坐标轴的次序是x y z

好的

we define the oriented triple integral

现在这个时候

定义所谓的带定向的三重积分

这个思想还是跟刚才那个一样的

也就是说

首先我们看一下普通的那一个三重积分

就是在等式左边的这个量

它是在D上做三重积分f(x,y,z)dxdydz

因为f是可积函数

当然这个量是存在的

那么把它直接就定义成

我们现在要做的一个对三形式积分的结果

这就是等式左边的量

一个积分号底下画一个V

表示在这个区域上去做三重积分

但是是什么样呢是定向好的

它定向了那么它所做的对象呢就不是函数了

而是一个三形式

这个三形式就是

f(x,y,z)dx wedge dy wedge dz

也就是说只要dx wedge dy wedge dz这个顺序

和坐标的是一样的

x在先 y在后 z在最后的话

那么它的值就直接定义成普通的

三重积分的结果

同学们刚才我们做了很多的约定

这些约定的目的呢就是为了下面我们把这个

第二型曲面积分的定义式

或者说计算方式呢给它简化

请看

previously we have defined

so called type two surface integral

前面我们定义了第二型曲面积分

它的定义是这样的

在S上对f这个向量场做积分

它的等于它的值

等于在D上做一个二重积分

它就是F r(u,v)和r_u叉r_v做内积

然后乘以dudv

做二重积分

这里的r(u,v)呢是一个

admissible parametrization

which is compatible with the orientation of S

也就是说这里的参数化 r呢是允许的

而且和方向n呢是一致的

Now we derive another fomula

就是根据刚才这个定义式

我们来把它转化成某种形式的积分

好请看我们怎么转化

首先把r(u,v)给它写开

r(u,v)假设三个分量是x y z

那么每一个x y z呢都是依赖于u v的二元函数

这个时候呢我们来检查一下

dx 把x看成二元函数

那么它的全微分我们知道

dx实际上是partial x partial u

du 加上 partial x partial v dv

类似地dy dz这种形式都可以按照du dv这种形式写开

也就是说 dx是一个一形式

它展开呢就是我们现在看到屏幕中的这三个形式

它们都是一形式

好接下来我们计算什么呢 dx wedge dy

因为同学们现在已经对微分式比较熟悉了

我们直接做这个两个一形式之间的外积

也就是dx wedge dy

注意 x y分别是u v的函数

那么根据刚才的算式呢我们把这个展开式代入

这个计算过程呢并不长

我们在屏幕上已经全部列出来了

建议同学们呢把每一步检查一遍有没有错误

那么最后要消除掉那些零项

把同类项合并就会得到现在我们看到的

第二个等号右面的式子

partial x partial u 乘以partial y partial v

减去 partial x partial v

乘以partial y partial u

du wedge dv

那么这个du wedge dv 前面这一项啊

实际上我们前边都计算过

它就是partial(x,y) partial(u,v)

这个Jacobian行列式的值

也就是det partial(x,y) partial(u,v)

这个应该比较熟悉

好的所以呢 dx wedge dy实际上展开式呢

我们现在已经把它写开了

它最后呢规划成了(u,v)

关于(u,v)的一个二形式

接下来我们类似的把其它类型写出来

也就是说还有dy wedge dz dz wedge dx

这么两个二形式

我们都把它划归成关于(u,v)的二形式

同学们我们看到 dy wedge dz

实际上就是 det partial (y,z) partial(u,v)

du wedge dv

以及 dz wedge dx

就是 det partial (z,x)

partial(u,v) du wedge dv

这些算式呢同学们最好都检查一遍

如此我们利用这些算式来做一个简化

别忘了我们前边用这样一个量就是r_u

r_u就是partial r partial u

好按定义呢它的三个分量分别是

partial x partial u partial y partial u partial z partial u

类似地有r_v这边我就不给同学们念一遍了

然后呢我们以前还算过

r_u 叉乘 r_v

r_u 叉 r_v的结果我们以前得到过

也就是现在这个公式的右边

它的三个分量分别是

det partial(y,z) partial(u,v)等等等等

好利用这些结果我们来进一步计算

现在对这个指定的向量场F

它的三个分量是P Q R

我们来看一下

当我们定义这个第二型曲面积分的时候

也就是现在我们看到这个算式

等号后面的第一个

二重积分在D上做二重积分

然后是内积F(r(u,v)) r_u叉r_v dudv

我们现在呢把其中的每一个量全部代入

因为我们前边已经算过r_u叉r_v的结果

以及F都是知道的

那么展开式就是现在我们看到的等号

第二个等号右边的量

也就是P乘以

det partial(y,z) partial(u,v) 加上

Q det partial(z,x) partial(u,v)

加上 R det partial(x,y) partial(u,v) dudv

这么一个二重积分式这是具体展开

按照我们现在前边定义过的定向的那个情形呢

我们把u v看成正确的次序

也就是直接把最后一个式子可以写出来

它就变成了D这个平面上可定向区域的

上面一个二重积分也是个二形式的积分

就是P det partial(y,z) partial(u,v)

加上 Q det partial(z,x) partial(u,v)

加上 R det partial(x,y) partial(u,v)

乘以dudv

这么一个二形式在D上去做积分

好的那么这样有什么好处呢

我们把前边这个得到的结果再重新整理一下

请看我们刚才得到这个式子啊

再给它合并一下也就是把

det partial(y,z) partial(u,v) 和 du wedge dv

乘起来这一项呢

按照我们前边计算结果

它不是别的恰好是 P dy wedge dz

而 Q乘以det partial(z,x) partial(u,v)乘以dudv呢

恰好是Q乘以dzdx

类似地最后一项实际上是R dx wedge dy

这样的话我们就已经明白了

刚才所定义的第二型曲面积分

经过我们做的参数化

实际上最后最后呢

可以划归成这样一个二形式的积分式

好了基于以上的推导

我们现在呢把第二型曲面积分呢重新改写一下

For this reason

we shall also use the following notation to denote

the surface integral of the vector field F

which is (P,Q,R) on the oriented surface S

也就是说原来我们定义的在S上

对向量场F做第二型曲面积分

它的结果呢可以用现在这样一个积分式来表达

就是在S上对P(x,y,z) dy wedge dz

加上 Q(x,y,z) dz wedge dx

加上 R(x,y,z) dx wedge dy

这么一个二形式去做积分

当然到此为止呢我们仅仅是把

这样一个第二型曲面积分的形式给它改写了一下

这里边具体的它的意义所在呢就是说

如果我们选定了与S定向曲面

的定向一致的参数化的时候

我们直接把这个参数化代入这个二重积分里边

也就是P(x,y,z)dy wedge dz等等

这些项的这个积分里边

最后呢就变了一个关于dudv的一个积分式

这个过程呢

就比原来我们所定义的

第二型曲面积分地过程要简化很多

When calculating such an integral

One must choose an admissible and

compatible parametrization

也就是说

我们要计算这个第二型曲面积分的时候

首先要选这样一个 admissible 允许的

然后呢 compatible 就是和定向一致的r(u,v)

这样一个参数化 parametrization

and substitute everything into the integral

把所有的项全部代入积分

Eventually it becomes

an ordinary double integral

最后呢它一定会转化成底下这个式子

底下这个式子就是说

在D上去做一个普通的二重积分

当然我们直接用最后一个式子

定义曲面积分也是可以的

或者拿它来直接做计算也可以

当然我们建议同学们在做的时候呢

最好不要直接跳到最后一步

因为跳到最后一步的时候这里边的量还是太多

我们来看一个具体例子

就理解为什么要这样做第二型曲面积分了

请看 example 3.1

Find such an integration

现在这个曲面是S

一看到它是一个对二形式的积分

就知道它一定是第二型曲面积分

Where S is the surface of the ellipsoid

Ellipsoid就是椭球面

好这个椭球面呢

是x平方除以a平方加上y平方除以b平方

加上z平方除以c平方等于1

其中 a b c呢是常数

whose normal points outward

我们别忘了一定要指定它的定向

这里已经指出了

它的这个normal也就是法向场是朝外指定的

当我们算这种东西的时候呢

最好就是把每一步都写出来

Use the following parametrization

就是用经典的这种球坐标

但是这个球坐标呢跟我们以前学的球坐标呢

还是有点儿区别因为现在是一个椭球面

我们相应做一点点调整就可以了

就是令x等于a倍的sinφcosθ

y等于b倍的sinφ sinθ

z等于c倍的cosφ

其中这个a b c啊是常数

这样的话同学们直接代入就可以发现

这恰好就是旋转曲面的一个参数化

其中 φ是从0到π θ从0到2π

而且它是一个与定向一致的

好现在我们来看这样几个式子

也就是det partial(x,y) partial(φ,θ)

这就是我们刚才说了

第二型曲面积分计算的时候

最后一步一定会算到这个式子

所以呢我们不妨提前把它算出来

因为这个x y z都已经明显的写出来了

我们直接计算就可以

它最后的结果呢就是absinφcosφ

类似的呢我们可以算出其他几个

好现在呢我们先算其中一项

z的三次方 dx wedge dy

在S上做积分

刚才我们已经把dx wedge dy 的量写出来了

dx wedge dy 实际上就是

我们前一页那个算的结果

就是partial(x,y) partial(φ.θ)

然后取det 再乘以dφdθ

那么现在呢直接算出来

代入这个二形式的这一项里边去

你看我们现在呢

已经把它写成了在S上对dφdθ

这种形式的二形式做积分

根据我们指定的定向

φ和θ的次序是对的

φ是第一个 θ是第二个

那么现在直接就可以转化成二重积分了

二重积分里面呢把常数全部提出来

也就是ab乘以c的三次方

后面呢就是普通的对于φ和θ的积分

这个结果呢很容易做

我们直接写出最后的结果就是

五分之四πabc的三次方

这是刚才我们要求的积分式中的一项

接下来另外几项我们都可以算出来

这个算的方法是完全一样的

x三次方dy wedge dz y三次方dz wedge dx

都可以用这种方法算出来

所以呢最后总的结果就是这三项之和

我们合并一下就会变成

五分之四πabc乘以a平方加b平方加c平方

所以我们看到啊

实际上在计算这个例子中啊

我们就是直接把这个参数化代入了那个表达式

同学们有一种特殊的情况

就是这个曲面呢是某一个二元函数给出的图像

In the particular case

that the surface S is of this form

z equals f(x,y)

f作为一个二元函数给出空间中的某一个曲面

那么它的orientation呢假设pointing outward

也就是它的定向呢指向朝上

Then 这个时候我们来算一下

z等于f(x,y) 这个函数它本身的全微分

它就是partial f partial x dx

加上partial f partial y dy

Hence we can write

这个时候啊

假设我们现在对这个曲面S上

去做一个第二型曲面积分

也就是对某一个场它的分量是P Q R

直接写开就是

Pdy wedge dz Qdz wedge dx Rdx wedge dy

这么一个形式二形式去做曲面积分

那么我们把x y看成参数

z用刚才z等于f(x,y)代入的话

就直接可以把它简化了

现在我们看一下这个简化过程

那么这里边我们假设了

x y的变化范围是定义域D

因此在第二步的时候我们已经把这个积分式呢

换到D上去了

只保留 dxdy有关的项

所有的dz呢都被代入了

好现在这个计算过程呢

同学们不妨一步一步跟下来

也就是把dz

刚才我们算的那个求和公式呢代入

然后呢合并同类项

就会得到第二个等式后面这个算式

就是D上的积分

R减去P倍的偏f偏x 减去Q倍的偏f偏y

dx wedge dy

而且我们已经约定好了

现在这个曲面的定向是朝上的

那么x y的定向就是x在先 y在后

只有这样那么根据右手法则我们可以看出来

这个曲面定向的确是朝上的

所以在最后一步呢

我们就把它直接转化成了正确的二重积分

也就是R减去P倍的偏f偏x减去

Q倍的偏f偏y乘以dxdy

这样一个普通的二重积分

好我们看一个具体的例子

Find the flux of such a vector field

F(x,y,z)等于(x,2y,z)

这个场很简单它的分量是(x,2y,z)

across the part of the surface

z equals x plus y square

with upward pointing normal

that lies within the box

也就是现在这个曲面啊

就是z等于x加y平方它所定义的曲面

x y的范围分别是 x在0与3之间 y在2与5之间

所以呢它底下的这个D 也就是它的定义域啊

实际上是一个长方形

这个解法呢很简单就是把所有的量直接代入

那么这个时候呢

我们只需要把z的关于x y的表达式代入就可以了

经过一段代入之后呢

我们可以把它转化成我们现在看到的这个积分式

我们一共转换了两步

同学们自己把中间这些跳跃的步骤呢把它弥补回来

那么最后做普通积分的结果是负的351

这就是整个积分的值

这个过程呢非常简单

但是我们一定要正确地理解每一步的含义

同学们以上就是这一讲的全部内容

在这节课中呢我们学习了第二型曲面积分

注意

第二型曲面积分一定是对可定向曲面而言的

对可定向曲面我们首先用参数化把它表示出来

然后我们给出了好多种不同的

第二型曲面积分的表达方式

我们要留心这里边的定向

如果定向错了最后的结果就会差一个负号

目前我们已经学习了二重积分三重积分

曲线积分曲面积分

那么有一个很自然的问题

这些积分之间有什么关系

这就是我们下堂课要学习的内容

好的希望同学们提前把下一堂课

我们要讲的各种定理呢预习一下

好的这节课就到这里

我们下堂课再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)在线视频