Field Theory (场论) (section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

The physical interpretation of the divergence of F

刚才呢我们从数学上定义了什么是一个向量场的散度

下面我们从物理的角度来解释

nabla点乘F等于divF

这就是散度的符号

我们刚才定义过它就是

partia P partial x加上

partial Q partial y加上partial R partial z

好的下面我们解释一下它的物理含义

it gives the rate of flow of the vector field F

from an infinite small volume

around each point (x, y, z) in U

从物理角度来解释

那么散度就是这个场F

F呢想象成某种物质的流动所产生的流速场

好 flow of the vector field

这个场在流动

那么它在某个点处呢就会沿着某个面

就有它的通量流出

流出来这些场呢除以这些

面所包围的体积的极限值

我们刚才解释过就是散度

所以呢我们说这个散度

给出了这个

rate of flow from an infinite small

volume around each point

因此这个散度呢实际上呢它也叫源

In other words

it measures the magnitude of a vector

field’s source or sink

at a given point in terms of a signed scalar

也就是说给定向量场F之后

它的散度场它的每个点

measures the magnitude

它就给出了这个程度

这个场它在这个地方流入或流出的强度

source or sink就是指流出源或者流入sink

在那个点它发生这种现象的强度

the magnitude of such behavior

in terms of a signed scalar

它会给出一定的符号

如果它是正号的话表示它流出

负号就表示它流入

More technically

the divergence represents the volume density

of the outward flux of a vector field from

an infinitesimal volume around a given point

换而言之所谓散度啊实际上告诉我们

一个场F它在一个点的无穷小的体积内

流入或流出的物质的量

我们解释一下这个散度的一些运算

散度运算呢它有下面一些性质

nabla点乘F1加上c倍的F2

两个矢量场叠加它有线性性质

nabla作用在场的叠加上就等于

作用在分别每个场上然后再叠加

nabla作用在F1上

再加上c倍的nabla作用在F2上

where c is a constant

注意这里边c是一个常数

如果F这个矢量场前面乘了一个标量场φ

for any scalar fieldφ

这个时候我们求它的散度

nabla点乘φF的时候会等于什么呢

我们给出这样一个公式

就是先求φ的梯度 nablaφ

然后点乘F 再加上φ乘以F的散度

这就是散度的另外一个公式

同学们自己推导一下就很容易证明这个公式

由散度和梯度引出的另外一个算符呢

叫做Laplace算符

它在物理中呢非常地常用

我们简单介绍一下

The Laplace operator or simply Laplacian

Laplace算符也叫Laplacian

它怎么定义呢?

它的符号在数学中呢通常是△

△表示nabla点乘nabla

也简记成nabla平方

这都是符号

它具体定义呢我们马上解释一下

is an operation on functions

也就是说给定某一个数量场以后

我们来求它的Laplace算符是这样定义的

假设这个场是f 也就是标量场f

△f表示f的Laplace

它等于先对f求梯度

再对f的梯度场求散度

也就是说我们现在看到的这个结果

partial平方f除以partial x平方

再加上partial平方f除以partial y平方

再加上partial平方f除以partial z平方

换言之就是f的三个方向的二阶导数

然后求和

这里呢我们没有验证这个结果

同学们一定要把f的具体表达式代入之后验证一下

这就是Laplace算符的最终结果

如果对某个特殊的场标量场f

它的△f 也就是Laplace恒等于0的话

我们称f是一个harmonic function 调和函数

这个同学们在后面学习调和分析的时候

一定会遇到这样的函数

我们学习了什么是Laplace算符

其实Laplace算符呢不仅仅可以作用在标量场上

对于向量场它也可以作用

下面我们简单解释一下

There is also the Laplace operation

on vector fields

假设某一个场F是一个向量场

它的分量是P Q R

而且每一个P Q R呢都是C2类的函数

这个时候呢

我们定义这个场F的Laplace算符的结果

就是把Laplace算符呢作用在每一个分量上

对P做一下Laplace 对Q做一下对R做一下

所以呢对于一个向量场而言

做完Laplace算符以后呢还是一个向量场

这就是我们的定义

我们来看一个例子吧

比如我们还是考虑刚才用过的这个函数r

它的定义式是根号下x平方加y平方加z平方

我们考虑这个函数r

我们还要考虑1/r

我们说1/r这个函数啊

is harmonic in E^3 except zero

在去掉原点之后

1/r这个函数就是一个调和函数

这一点呢我们可以验证一下

首先我们计算1/r关于x的二阶偏导数

偏平方除以偏x平方

这个结果呢同学们直接计算就可以了

我们已经给出它的具体表达式

同学们在草稿纸上认真计算一下

另外我们算一下1/r关于y的二阶偏导数

以及它关于z的二阶偏导数

有了以上这三个结果

我们把这三个算式全部加起来

恰好等于0

于是我们说1/r在Laplace算符底下等于0

也就是说1/r是一个调和函数

Hence 1/r is a harmonic function

in the region E^3 except zero

刚才我们学习了梯度和散度

另外一个重要的场论的量就是旋度

in vector calculus the rotation

or curl of a vector field

is a vector operator

that describes the infinitesimal

of a 3-dimendional vector field

在向量场场论中

所谓旋度啊实际上是一个算符

它呢总是作用在一个三维的向量场上

At each point n in the field

the curl of that point

is represented by a vector

对指定的一个向量场

所谓它在某个点的旋度啊

实际上就是指定了一个新的向量

这个向量呢就告诉我们

这个场它的旋转的性质

The attributes of this vector

length and direction

characterize the rotation at that point

也就是说旋度场在每个点指定的那个向量啊

它就告诉我们

原先指定的这个场f

它在特定点的旋转方向以及强度等等信息

好的下面我们解释一下

Definition 1.14

Let F be a given C1 vector field on

some open region D in E^3

假设F等于F(x,y,z) 它的分量是PQR

是一个事先指定的向量场F

它是C1里的向量场

The rotation or curl of F

这个场F的旋度啊

英语中呢叫做curl

也叫作rotation

它直接定义是这样的

首先我们引入它的符号

它的符号通常写成nabla叉乘F

或者呢记成rot rotation of F

或者直接写成curl of F

具体写开就是这样一个向量场

这个向量场呢有三个分量

非常的长我们来具体看一下

第一个分量呢是

partial R partial y 减去 partial Q partial z

第二个分量是partial P partial z

减去 partial R partial x

第三个分量是partial Q partial x 减去

partial P partial y

这样呢我们就定义了什么是旋度场

但是这样定义呢非常的抽象

下面我们来逐渐解释一下它的具体含义

首先要引入三个极限量

就是ijk ijk打箭头表示向量

它们分别是x轴y轴z轴的单位向量

The rotation can be denoted

by the following determinant

刚才我们定义了旋度现在我们换一种写法

就是nabla叉乘F 它可以看成det

也就是某一个矩阵的行列式

这个矩阵呢是

第一个这个矩阵的第一行呢

是ijk三个基向量

第二行呢是partial partial x

partial partial y partial partial z

三个基本算符

然后呢是PQR 也就是场的三个分量

对这个矩阵我们求形式的determinant

最后算出来恰好就是刚才我们定义的那三个分量

这一点同学们自己验证就可以了

刚才呢我们把旋度场换了一种写法

现在呢我们用微分形式来表达

In terms of differential forms

we consider the 1-form

F点乘ds 带箭头

这个我们前面用过

所以一点都不陌生

它就是Pdx+Qdy+Rdz

这个1-形式对它求外微分

就得到这样一个算式

就是partial R partial y 减去

partial Q partial z dy wedge dz

和剩下的项

这个算式呢我们以前见过

我就不一一给同学们解释了

总之对这样一个简单地1-形式求外微分之后

变成2-形式

它的三个分量恰好和旋度场的三个分量是一致的

换言之我们可以把它写成

F的旋度场点乘dσ带箭头

dσ带箭头我们以前解释过

总之呢从外微分这个角度来看

旋度场一点都不难理解

它就是1-形式求外微分之后的三个分量

刚才我们形式上解释了旋度场

下面我们从具体的几何或物理的含义来解释旋度场

首先我们要回顾一下我们以前讲过的Stokes定理

它也叫Kelvin-Stokes定理

比如说我们现在考虑这样一个曲面

空间中的曲面我们用图中的图形来表示

它是一个定向好的

带有法向n的曲面S

它可能有一些边界

边界上呢我们已经画好了定向

Stokes定理呢我们以前说过

它也叫旋度定理

它说什么呢它说

if S包含在某个区域D中

是一个

piecewise smooth and oriented surface

如果曲面S是带定向的逐片光滑的曲面

Then we have the following formula

下面这个公式呢就是Stokes定理的公式

它告诉我们说

沿着partial S 也就是曲面S的边缘

关于场F求第二型曲线积分

等于什么呢

等于沿着S曲面去做一个2-形式的面积分

这个2-形式呢就是d作用在F点乘ds这个1-形式上

结果当然就是nabla叉乘F 也就是F的旋度

这个场沿着S去做面积分

这就是以前我们解释过的Stokes定理

应用Stokes定理来解释一下旋度它的含义

下面我们看这个注记

the rotation nabla 叉乘 F

describes the circulation of the vector field F

我们说旋度啊它实际上描述了一个场

F它的circulation

这个呢在物理中呢叫做环量

In fact 实际上

假设我们现在选定一个方向r

它是一个单位方向

the projection of the curl

of F at p onto r is defined to be

假设我们把F场的旋度投影到r这个方向

当然也就是作内积啦

to be limiting value of a closed

line integral in a plane

orthogonal to r as the path

used in the integral becomes

infinitely small close to the point

p divided by the area enclosed

刚才这句话很长

现在呢我们用个公式就能理解啦

首先看这个公式

它的左边是一个内积

内积的第一项是nabla叉乘F

也就是F的旋度

和r做点积表示投影到F上的值

好等于什么呢

它会等于一个极限值

A趋近于0 A表示在这个点附近呢

取一个面这个面的面积趋近于0

然后让这个面呢和r的方向保持垂直

好了沿着这个面的边缘

也就是C做第二型线积分

这个结果就叫环量

也就是沿着C做积分这个量

做完量之后呢除以A

也就是A的绝对值这个表示面积的量

然后取极限让A这个小面呢趋近于0

这个结果呢就是刚才我们看到的

nabla叉乘F投影到r的值

这个呢实际上就是应用Stokes定理的结果

我们来解释一下

One can easily see this fact

by the previous Stokes’ theorem

要解释刚才那个公式啊

我们就套用一下Stokes定理就可以了

In fact if S is a small piece of surface

near p and is perpendicular to r

假设沿着r我们取了一个垂直于它的面

这个面的边缘是S

这个面呢很小

r is the normal of S

这个时候呢我们把r呢看成这个曲面S的法向

好的这个时候呢我们看一下

沿着S对F的旋度求面积分

也就是nabla叉乘F点乘r

因为r是法向做第一型面积分

好的我们来看一下

这里边出现了nabla叉乘F也就是旋度

假设这个旋度在p点取值啊

这个p呢和这个面呢相距非常小

于是呢我们可以把nabla F提出来

把这个值提出来

和r作内积然后乘以剩下项做面积分

也就是S所包围的那个面的面积

我们把它记成A的绝对值

于是我们看到换一种方式写就是

nabla叉乘F点乘dσ

这么一个第二型面积分啊

它会等于沿着S的边界去求F的环量

也就是F的第二型线积分

when abs value of A tends to zero

we see the previous formula

利用刚才这个等式

也就是利用了Stokes定理以后的这个等式呢

我们就可以看出来当A

也就是S所包围的面的面积趋近于0的时候

马上就可以得到我们前面那个极限式

这样我们就解释了

为什么旋度沿着某个方向的投影

就是环量取极限的结果

接下来我们介绍旋度的一些运算公式

We have the following properties

of curl operator

首先第一条请看线性

也就是说对任何两个场F1 F2的线性组合

注意c是常数我们求它的旋度的时候

可以按线性展开

第一条呢比较简单我就不详细解释了

第二条如果这个场乘了一个标量场ψ

那么这个时候对它求旋度的结果等于

先对ψ求梯度然后和F这个场做叉积

再加上这个场F先求旋度

然后再乘ψ

这个地方呢需要同学们自己去验证一下

同学们把它作为练习是比较好的

再看如果我们先有一个标量场ψ

对这个标量场ψ求梯度

再求旋度

结果一定恒等于0

这里呢同学们一定要验证一下这个结果

也就是说

梯度场它求旋度一定恒等于0

换言之梯度场是无旋的

好再看这一条

F1叉乘F2

两个场做叉积之后再求旋度

有这样一个公式

等于F1求旋度点乘F2

减去F2求旋度点乘F1

这个呢也是需要同学们验证一下

类似的还有下面这个公式

就是F先求旋度

再求一次旋度

等于什么呢

等于F先求散度

再求梯度减去后面这个量是△F

也就是F的Laplace算符

所以这个公式呢

同学们要推导一下的话

还是比较复杂的

作为练习比较合适

同学们最好亲手动手一下

好最后一条

就是F先求旋度

然后呢再求散度结果等于0

也就是说

如果F先求了旋度以后得到的这个场

再求散度的话一定等于0

也就是说旋度场实际上是无散的

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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