Field Theory (场论) (section 3)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 2 Maxwell Equations

麦克斯韦方程组

同学们在这一小节呢

我们使用前面介绍的场论的一些知识

来解释电磁场中的一些方程

这些方程呢就是所谓的麦克斯韦方程

In electromagnetism theory

在电磁场理论中我们有这样一条定律

叫做高斯定律 Gauss’s law states that

Theorem 2.1.

The net electric flux

through any closed surface

is equal to 1 over εnaught times the net electric

charge enclosed within that closed surface

ΦE 等于沿着S做通量

就是这个场E做通量

场E呢表示电场

也就是电场的通量

我们把它记成ΦE

它呢一定会等于Q除以ε0

Q呢表示这个面里面所包围

的电荷的总量

除以ε ε0呢是电场常数

Here E is the electric field 电场

S is a closed surface with outward

Oriented normal and Q is the total

Charge enclosed within S

Q是S里面所包围的全部的电荷总量

and ε naught is the electric constant

这就是电磁场中的高斯定律

运用刚才的高斯定律

我们来看会得到什么结果

首先沿着S做场的积分

也就是求它通量

它会等于在V中关于E的散度

去求一个三重积分

这是根据我们前面讲过的高斯定理

现在呢它又等于Q除以ε0

Here V is the region enclosed by S

V就是S所包围的那个体

另外呢 Q作为电荷

它应该是所有的电荷密度的积分

也就是它是在V中求ρ这个函数

电荷密度这个函数的积分

因此呢我们可以比较这两个式子

就会得到下面的结果

We thus get 在V中

对电场求散度的积分等于

1除以ε0 对电荷密度求三重积分

因为这里的V是任意的

by arbitrariness of V

我们就会得到这样一个公式

就是电场的散度

等于电荷密度除以ε0

这个呢也是高斯定律的另外一种表达

It is also called the Gauss’s law

现在呢我们讲一个注记

Remark 2.2.

The above Gauss’s law is equivalent to

Coulomb’s law 叫库仑定律

实际上高斯定律啊

就是由库仑定律等价推导出来的

The reader is suggested to show the

equivalence between them

We also have Gauss’s law for magnetism

下面呢我们介绍一个

跟高斯定律非常像的定律

就是关于磁场的高斯定律

for a magnetic field B

假设现在我们讨论的是一个磁场

它在物理中的符号通常是B

那么实验定律告诉我们

任何一个磁场它沿着任何一个闭曲面

去求通量的话一定等于0

for any closed surface S

这就是所谓的关于磁场的高斯定律

It can be equivalently described as

B的散度等于0

这个推导过程和刚才我们推导那个

电场的高斯定律过程是一样的

也就是说任何一个磁场

它的散度恒等于0

The meaning is that

there are no magnetic monopoles

为什么会发生这种现象呢

这是因为我们到目前为止

还没有发现磁单极子

因此呢没有电荷相应的概念

也就是磁荷

所以呢自然就会有这种现象

同学们不妨认真思考一下

or the total magnetic flux piercing

a closed surface is always zero

等价的刻画就是说

任何一个磁场的通量永远等于0

接下来呢我们看一个定律

它叫做Faraday’s law of induction

首先呢我们画一个图

这个图我们以前见过

就是沿着某一个面∑去求通量这件事情

首先这个∑指定了它的法向n

以及边缘的定向右手法则

把它记成 partial∑

那么这个定理告诉我们

As indicated in the above figure ∑

is a Surface bounded by the closed partial ∑

E is the electric field

and B is the magnetic field

好假设∑ partial∑如前

另外呢我们考虑一个电场E

以及一个磁场B

我们有这样的关系就是

在这个空间中 E和B一定是关联起来的

这就是法拉第定律

它告诉我们沿着∑去求E的环量

它会等于负的在这个面上

去求partial B比partial t 也就是B的关于t的

导数这个场的通量

这就是我们现在看到这个公式

它就叫做法拉第定律

If the surface ∑ is not changing in time

有的时候呢我们固定这个∑

不让它随着时间变化

那么刚才这个定律呢可以写成这样

就是沿着partial ∑这个边缘呢求电场的环量

它会等于负的d/dt

因为这个时候∑ 本身不变了

我们把这个partial partialt就提到外面去

就变成了d dt 里面呢是

关于∑的通量就是磁场B本身的通量

好它告诉我们这两个量是相等的

换句话说就是磁场B的通量的变化

会等于E沿着这个边缘做积分

也就是它的环量

In other words the induced electromotive force

in any closed circuit is equal

to the negative of the time

rate of change of the magnetic flux

enclosed by the circuit

我们现在使用一下

我们学习过的Stokes定理

Applying the Stokes’ theorem we get

沿着∑ 求电场的旋度做积分

也就是电场旋度的通量

它会等于沿着这个∑面的边缘

求电场E的环量

这是Stokes定理

另外我们前面讲了法拉第定律

它会告诉我们

它会等于负的沿着∑求这个B

这个磁场的变化量

关于t的变化量的通量

这是一个恒等式

那么根据∑的任意性

As ∑ is arbitrarily chosen

我们知道中间必须被积函数相等

there must hold 也就是说

E的旋度 ▽叉乘E必须等于

负的partial B over partial t

也就是这个磁场关于t的导数

这个呢也是叫做法拉第定律

We also recall the Ampere’s circuital law

另外呢在Maxwell方程组啊

还有一个定律叫做安培定律

好它是这么说的

Ampere’s circuital law

electric currents and changes in electric

fields are proportional to the magnetic

field circulating about the area they pierce

意思是说电流和电场的变化

are proportional to the magnetic field

和磁场环绕着这个面的circulation

就是环量是成正比关系的

这就是我们下面说的这个定理

Let J 注意这里的J是一个向量场

be the electric current density

electric current 电流电流密度

∑ any oriented surface with boundary

curve partial ∑ and μ0 the magnetic constant

这里的μ0呢是磁场常数

好那我们就有下面的公式

这个公式的左边呢是磁场的环量

就是沿着∑边界做环量它会等于

∑ ∑是这个面上去求通量

谁的通量呢请看

μ0倍的J也就是μ0倍的电场密度

这个场再加上μ0 ε0 乘以谁呢

partial over partial t E 也就是电场的变化

关于时间的变化这个场求通量

这个就叫做安培环路定理

刚才这个定理呢我们可以再进一步

使用Stokes定理来分析一下

Again using Stokes’ theorem

这个过程啊和我们刚才

这个推导过程呢非常像

我们不妨再重复一遍

在∑上 B的旋度求通量

它会等于B沿着这个∑面

的边缘求环量

这是Stokes定理

Comparing with the above formula

根据前面这个公式啊

我们再比较一下马上就可以得到

这样一个等式

利用∑的任意性

这个过程呢跟前面是一样的

我们就不做详细解释了

总之结论是说

B的旋度一定会等于J乘以μ0

再加上μ0 乘ε0

然后呢是E关于时间的偏导数

这个公式呢也很重要

这就是Maxwell方程组的无穷小形式

In a region with no charges

在特殊的情况下假设在这个空间中

即没有电荷分布也就是ρ恒等于0

也没有电流密度这个函数J恒等于0

比如说在真空中吧

这个时候呢只有电场和磁场相互作用

这个时候 Maxwell’s equations

它就会变成下面这种形式

我们现在看一下就是

E的散度等于0

B的散度等于0

E的旋度等于负的B关于t的偏导数

B的旋度会等于c平方分之一

E关于时间的导数

这里的c啊实际上就是

1除以根号下μ0 ε0

那么它的具体值呢我们也给出来啦

实际上这个c呢它和光速

是完全重合的一个量

好的现在我们看到

屏幕中这四个等式呢

就是真空中电磁场的运动方程

好的对刚才这几个方程中呢

我们去利用这个curl算符

也就是旋度算符

我们再继续推导一下

而且呢要使用这样一个恒等式

我们以前用过就是

任何一个场 X 它的curl也就是旋度

再取一次curl旋度

连续取两次旋度会等于什么呢

等于先对这个场X 取散度

然后呢再取梯度再减去X的△算符

我们看一下运用刚才我们刚才得到的

真空中的电磁场方程

我们马上会得到下面这个等式就是

c平方分之一电场E关于时间t的二阶导数

减去E的拉普拉斯算符会恒等于0

类似的磁场它的关于时间t的二阶导数

除以c平方减去磁场B自己的拉普拉斯算符

会等于0

这两个方程呢同学们在今后

学习数学物理方程的时候

会知道它们是波动方程

那前面系数c分之一呢

恰好告诉我们这个场运动的速度

which indicates that electromagnetic waves

are traveling with the speed of light c

恰好告诉我们真空中电磁场运动的速度

就是光速c

这在科学上是一个非常伟大的发现

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Field Theory (场论) (section 3)在线视频