当前课程知识点：多元微积分（先修课） > 第二章 多元函数的极限理论 > 第二节 多元函数的极限 > 二重极限的性质
同学 你好
欢迎来到中国大学先修课
《多元微积分》MOOC课堂
我是中国科大微积分老师宣本金
网上人称“笨笨熊”老师
本讲我们来学习二重极限的性质
上一讲
类比于一元函数极限的语言描述和精确定义
我们引出了二元函数的
二重极限的语言描述和精确定义
由此可以发现
二重极限与一元函数极限
它们的本质思想是一致的
都是定量刻画两个“很接近”
表达形式也是极其相似的
那么 二重极限是否具有
与一元函数极限类似的性质
与一元函数极限的唯一性类似
二重极限如果存在
则一定唯一
如何严格论证
唯一性的论证
通常都是利用反证法
假设有两个
通过逻辑推理
导出矛盾
从而说明反证假设不成立
完成唯一性的证明
当然 论证的关键是如何找到矛盾
假设存在极限L1≠L2
不失一般性
假设L1 由二重极限的ε-δ语言定义 以及二重极限的几何意义 选取特定的ε 比如 ε=(L2-L1)/2>0 则L1 +ε=L2-ε 由此可以推出矛盾吗 同学 请参考一元函数极限的唯一性证明过程 自己动手写一写 二重极限唯一性的严格证明过程吧 类似于一元函数极限情形 极限存在 表示函数具有一个明确的变化趋势 因而 函数在极限点的附近局部有界 这就是二重极限的局部有界性 由二重极限的ε-δ语言定义 有不等式L-ε 那么 L+ε和L-ε 可以作为函数f(x,y) 在极限点附近的上下界吗 由于二重极限的ε-δ语言定义中 ε是任意给定的 感觉还有一定的任意性 L+ε 和L-ε作为上下界 心里不再踏实 那么将它固定住 比如取ε=1 存在一个正数δ 使得当自变量在极限点的δ-去心邻域变化时 有不等式L-1 此时 固定的数L+1和L-1 就是函数f(x,y)在极限点附近的上下界 首先观察两个实例 二元多项式x²+y²在原点 和点(1,0)处的极限分别为0和1 由此 你可以抽象出什么样的一般性结论 因为二元多项式x²+y²取值总是大于等于零 因此 它在任意一点处的二重极限值都是大于等于零的 这个性质具有一般性吗 也就是 从函数取值的正负性 可以推出二重极限值的正负性吗 反之呢 从二重极限值的正负性 可以推出函数取值的正负性吗 二元多项式x²+y²点(1,0)处的二重极限值 严格大于零 因此 它在点(1,0)附近取值都是严格大于零的 那么在原点附近呢 二重极限值大于等于零 函数取值也大于等于零 这个结论具有一般性吗 我们再来考察另外一个二元的多项式x²-y² 只是改变了一个加减号 它在原点的二重极限值还是为零的 但是在原点的任意一个邻域内 多项式都既取正号 也取负号 这个反例说明 从二重极限值等于零 推不出函数取值的确定符号 此时需要极限值严格大于零 或者严格小于零 假设有两个二元函数 它们在固定点处的二重极限都存在 那么它们的和或者差 在该点的二重极限也存在吗 如果存在极限值分别等于多少 对比一元函数极限情形 猜测它们的和或者差的二重极限也存在 并且极限值就等于各自极限值的和或者差 如何证明这个结论 我们只要估计 两个函数和或者差的取值 与极限值的和或者差之间的距离 是不是“要多小就有多小”即可 为此 只要作适当的分组 再利用绝对值的三角不等式 以及各自极限存在的ε-δ语言叙述 就可验证 同学 自己动手写一写 到学习讨论区 与小伙伴们交流交流吧 假设有两个二元函数 它们在某个固定点处的二重极限都存在 那么它们的乘积 在该点的二重极限也存在吗 如果存在 乘积函数的极限值等于多少 同学你有什么样的猜想 如何证明你的猜想 这里我们只要估计 乘积函数的取值 与极限值乘积的距离 是不是“要多小就有多小” 由于两个乘积之差 没有公因子可以提取 我们采取减一项加一项的策略 再分组讨论 使得每一组都有一个公因子可以提出去 最后再利用二重极限的局部有界性 和二重极限的ε-δ语言叙述 可以完成证明过程 同学自己动手写一写 假设有两个二元函数 它们在某个固定点处的二重极限都存在 那么 它们的商在该点的二重极限也存在吗 如果存在 商的极限值等于多少 同学你有什么样的猜想 如何证明你的猜想 可以猜测它们的商的二重极限也存在 并且极限值就等于各自极限值的商吗 还需要其它什么条件 对 分母不能为零 那么 这个条件怎么提 分母f2 (x,y)和L2都要求不为零吗 其实 只要L2不为零 以及二重极限的局部保号性 就可以保证分母f2 (x,y)在极限点附近不为零 进一步地 为了验证商的二重极限等于二重极限的商 只要通分 在分子上 利用减一项加一项的技巧 和二重极限的局部保号性 可以推出二重极限的除法法则 有了上述的分析过程 同学 自己动手写一写严格的推导过程 假设有二元函数f(x,y) 以及x=φ(u,v) y=ψ(u,v) 它们可以构成一个复合函数 f(φ(u,v) ψ(u,v)) 它是一个关于变量u,v的二元函数 如果当(x,y)趋于(a,b)时 二元函数f(x,y)的二重极限等于L 而当(u,v)趋近于(α,β)时 φ和ψ分别趋近于 但不等于a和b 那么 当(u,v)趋近于(α,β)时 作为变量u,v的二元函数极限也存在 并且极限值也为L 同学 你能够利用ε-δ语言 严格叙述推导上面的过程吗 假设有二元函数f(x,y) 以及一元函数x=φ(t) y=ψ(t) 它们可以构成一个复合函数f(φ(t) ψ(t)) 它是一个关于变量t的一元函数 如果当(x,y)趋近于(a,b)时 二元函数f(x,y)的二重极限等于L 而当t趋近于c时 φ和ψ分别趋近于但不等于a和b 那么当t趋近于c时 作为变量t的一元函数f°r(t)的极限也存在 并且极限值也为L 同学 你能够利用ε-δ语言 严格叙述上述的推导过程吗 为了判定和计算一个二元函数的二重极限 可以利用类似于一元函数的两边夹定理 也就是 构造两个辅助函数 构成一个两边夹的不等式关系 并验证上界下界函数的二重极限存在 并且极限值相等 由此 可以推出中间的二元函数的二重极限也存在 并且等于上下界的共同的极限值 如何严格证明二重极限的两边夹定理 与一元函数极限的两边夹定理验证思想 和过程类似 关键在于由两边夹不等式关系 可以推出函数取值与极限值之差的上下界 在利用上下界函数的 二重极限的ε-δ语言叙述 即可以完成证明过程 同学 自己动手写一写严格的叙述过程 到学习讨论区 与小伙伴们交流交流 本讲 我们比照着一元函数极限的性质 探究了二元函数的二重极限的性质 例如 唯一性 局部有界性 局部保号性 四则运算和复合运算 以及两边夹定理等 二重极限的唯一性 保证了计算二重极限方法的多样性 而利用二重极限的四则运算法则 和复合运算法则 可以将一些复杂的函数的极限问题 约化为若干简单函数的极限问题 再加以解决 有关二重极限的计算 请听下回分解
-第一节 空间直角坐标系
--平面初等几何
--平面解析几何
--空间直角坐标系
--空间图形与方程
-第一节 空间直角坐标系--作业
-第二节 空间向量及其运算
--向量及其几何表示
--向量的代数表示
--向量的数量积
--数量积的应用
--平面方程及其应用
--向量的向量积
--向量积的应用
-第二节 空间向量及其运算--作业
-第三节 空间解析几何
--空间曲面方程
-第三节 空间解析几何--作业
-第一节 多元函数
--平面点集及其分类
--多元函数
-第一节 多元函数--作业
-第二节 多元函数的极限
--二重极限的定义
--二重极限的性质
--二重极限的计算
-第二节 多元函数的极限--作业
-第三节 多元函数的连续性
--多元函数的连续性
-第三节 多元函数的连续性--作业
-第一节 偏导数与方向导数
-第一节 偏导数与方向导数--作业
-第二节 多元函数的一阶可微性
-第二节 多元函数的一阶可微性--作业
-第三节 一阶微分的应用
-第三节 一阶微分的应用--作业
-第四节 多元函数的高阶可微性
-第四节 多元函数的高阶可微性--作业
-多元微分学总结
--多元微分学总结
-第一节 直角坐标系下的二重积分
-第一节 直角坐标系下的二重积分--作业
-第二节 二重积分的计算
--二重积分的换元法
--二重积分计算举例
-第二节 二重积分的计算--作业
-第三节 二重积分的应用
-第三节 二重积分的应用--作业
-第四节 直角坐标系下的三重积分
--三重积分计算举例
-第四节 直角坐标系下的三重积分--作业
-第五节 其它坐标系下的三重积分
-第五节 其它坐标系下的三重积分--作业
-第六节 三重积分的计算与应用
--三重积分的换元法
--三重积分应用举例
-重积分总结
--重积分总结
-第一节 第一型曲线积分及其应用
--平面曲线弧长
-第一节 第一型曲线积分及其应用--作业
-第二节 第一型曲面积分及其应用
--曲面的面积
-第二节 第一型曲面积分及其应用--作业
-曲线曲面积分总结
--曲线曲面积分总结
