3.2 Logistic模型在线视频

同学们好

我们上节课

讲过了

Malthus模型

通过六大假设或者六大非常强有力的假设

我们才能得到一个非常简单的一个微分方程模型

dn dt 等于r乘n

那么接着我们今天给大家介绍一个叫Logistic 模型

六大假设我们来仔细再看一下

首先是个体的同质

那我们说第二

那是规模巨大

第三呢

是群体的封闭

第四呢

只考虑平均效应

第五呢

是考虑增长是恒定的

跟时间没关系

第六呢

是增长是独立的

谁跟谁之间也没关系

那么这么一来的话

我们可以得到一个Malthus模型

那么关于Malthus模型的话

我们来对它进行一些

可适用的讨论

我们可以发现

Malthus模型

在初期变化的时候

模型还是正确的

但是随着时间往下再延伸下去的话

我们发现Malthus模型就有点问题了

那么一个非常简单的一个例子呢

就是我们上节课说过的

在第二章里面讨论数据模型的时候

讨论我们国家人口数量变化的时候

我们就发现

随着时间往下推延的话

Malthus模型意识的人口数是越来越大

对吧越来越大

所以我们要随着时间往下延伸

Malthus模型

它有它的一些不适用的地方

同时呢

我们开始来看一看dn dt等于rn

如果我们说那个 r呢

是大于0的

那当然变成一个指数函数

指数函数那么对于r大于0的话

那么它是一个增长的

随着人口数量就越来越多了

反过来说

如果r要小于0的话

那我们可以看出来数量的将是越来越少的

数量越来越少的话

大家回忆一下是不是跟我们中学物理里面说的

放射性衰减是一个道理

进一步来说真的是衰减的话

那么什么时候变成一半呢

那么就变成我们的半衰期的概念的半衰期的概念

当然在这地方多说一句

如果r要大于0的话指数函数增长的

那么就开始过一段时间

什么时候变成翻了一倍

就是我们说的倍增期的概念了

倍增期的概念了

那么从这种角度来说的话

我们说Malthus模型

有它的可适用的地方

在种群变化的初期或者说Malthus模型

还可以来表示我们的放射性衰减的这么一个事实

那么这地方也验证了我们的一个道理

所以同样一个数学模型可以来反映不同的客观实际

不同的客观实际

但是它的缺点体现在呢

我们说当做时间延长以后

我们说它的表现的不是那么完美了

并且呢

我们说模型的假设呢

就非常非常强了

那么很自然的话

我们就开始要考虑这种问题

对这个模型我们能不能做一点点改进

让它能够更贴近我们的一些实际

那么在这边呢

我们首先看两个实验室的数据

首先第一个数据呢

是我们说草履虫在实验室种群的一种动态

那么这个数据里面可以发现我们说数量呢

刚开始很少

慢慢慢慢就开始增长

增长到一定的时候呢

就开始趋于平衡了

也就开始稳定下来了

这是我们说的

草履虫一个实验室的准确数据

那么接下来再看一个数据

我们的酵母细胞

也是实验室里面二十个小时里面

他的种群发生了一种变化

它的动态行为

那么从这个图里面也可以看得出来

种群的数量刚开始也是很小

慢慢慢慢就可以增长增长到一定的时候呢

就开始去

就开始趋于稳定下来了

那么很自然的话

我们的问题就来了

什么样的一个模型能够刻画这两种

我们的行为的动态

行为的动态或者说种群数量的变化呢

那么接下来我们试着想用Logistic模型

来进行讨论 Logistic模型进行讨论

这两类事情上表明是什么啊

表明 是说

在有限的资源里面

生物种群

我们是不可能无限增长的

为什么不可能无限增长呢

增长到一定时候它就开始要趋于一个稳定下来

我们说

一定会存在某一个饱和的水平

或者某一个极限值

使得什么使得它的增长速度

就开始慢慢慢慢的就开始要缓下去

或者说慢慢慢慢的就开始趋于零了

那这个说明什么事情呢

说明我们说 个体的增长呢

它就不像我们刚才说的那样是独立的

独立的是表示什么

你增长跟我增长就没关系

那么证明呢那不是独立运存吗

你长跟我长

咱们俩之间就有关系了

甚至我们可以开玩笑说

那么我们俩之间就变这种竞争的关系了

你胃口你多吃了

我就少吃了

所以变成这么一种实现了

所以说不像我们刚才说的个体的增长是独立的

那么这么一来的话

大家可以设想

那我们现在就可以考虑

把我们的第六条假设我们进行一个修改

修改成个体之间的增长

它是相互竞争的

也就是说有你的就没我的了

也就换句话说

这个是r(n)这个函数呢

它就不是个常数

它是N的一个减函数

那大家可以设想一下一个函数是减函数

这种函数就太多了

那么在这地方

我们就开始选择一种最简单的减函数

也就是说

线性减函数

来处理来考虑

选择我们的线性减函数来考虑问题

也就换句话说

r(n)这个函数呢

我把它选择为a减去bN

好的 我们做一点点处理

我们可以把a提出去

那就a提出以后的话

等于a乘上1减去a分子b再乘上N了

那么把这个表达式呢

我们带到刚才的里面来看

那我们就可以写成

dn dt 等于

结论是

a提出来 我把a呢

那就看着r跟刚才统一起来

那就是r乘上一个什么东西

乘上1减去k分之n 乘上N

那k是谁呢

k刚才我们提出来k我们说是有个a分之b吗

我们把它翻个个

那就是我们说的b分之a了

于是呢得到了这么一个微分方程

dn dt等于r倍的1减去

k分之N乘上一个N

把这个模型称之为Logistic 模型

那我们首先来看一下这个Logistic 模型

跟Malthus模型之间的区别

Malthus模型里面缺的是缺

1减去k分之n一下

那么

如果我把这个模型变过去的话

又会呈现什么事情呢

如果我们的K趋于无穷的话

那么k分之n是不是就趋于到0上去了

那么 1减去0呢

是不是就变成1了

所以呢

Logistic模型也就回到

我们说Malthus模型里面去

k等于无穷那是什么意思呢

我们接下来会说

k等于无穷实在就是我们刚刚说的那个稳定的那个值了

就是我们刚刚在曲线里面看到了稳定的那个值了

也就是说k可以到无穷上去

还稳定啥就不用就稳定了

所以我们说Logistic模型

我们说可以看到是Malthus模型一种推广

或者说是Malthus模型

是Logistic模型的一种特殊情况

好的接下来

我们开始说对Logistic模型进行一些数学处理了

那么数学处理首先第一个

我们来看一下

考虑一下

dn dt等于r倍的乘上(1减去k分之n)乘上N

那么在这里面的话

我们说r跟k呢都是个参数

那么这次参数里面我们来看看 对吧

里面有个1减去k分之n

那大家可以设想一下

如果a要大于k的话

那么k分之n

它就会大于1的数了

1减去它就会小于0了

1减去它小于0呢话

意味着它左边倒数候就看成小于0了

倒数小于0按照我们的数学里面来理解

那就是说函数就开始减函数了

换句话说

这个种群数量就开始要减下去了

这意味着说

如果刚开始种群数比k 要大的话

那么我们说这个种群数量

就开始减下去就会减函数

第二个我们来看看

如果n要等于k的话

n要等于k的话 那k分之n不就等于1了吗

k分之n等于1的话

1减1就等于0了

所以它倒数就等于0了

倒数等于零

意味着什么东西呢

意味着它种群数量就不变了

就变成一个恒值了

那大家都等于k了

这是我们说第二个 第三个来说

如果n要小于k的话 n要小于k的话那好说

那k分之n就小于1

1减去它就大于零

所以这个时候倒数就大于0

倒数大于0意味着什么东西

意味说我们说种群数量

它是增长的了

于是呢

我们可以发现这个k还挺重要

对吧它掌管的我们说

这个曲线倒置式增长的还是衰减的

还是不变的

这是我们说的

对它的参数做一个分析

那么接下来呢

我们还可以对这个模型进行求解

那么这个模型的是一个

微分方程模型微分方程模型的话

那我想大家可以使用微分方程里面的分离变量

这种方法来对它求解

那么求解的话思路很简单

第一步的话

把跟n有关的搁到一块去

把跟t有关的搁在一块去

也就是说

把所有跟n有关的摔到左边去

把所有跟t有关的

挪到右边来 就得到我们的第二行

(n分之1加上k减n分之1)dn

然后呢

两边起求积分两边求积分

那么n分之1求积分就变得奥根了

那么这边rt求积分呢叫rt加c

第三步

那就是说

今天是对数

在这地方我们就开始把对数去掉的话

那就两边取它的子数

两面取它的子数是我给它整理出来

那么nt呢就等于k除以1加C乘上e的负rt次方

那么从这里面

我们说数学上的分析它我们也可以发现

那么在这里面有三个参数

一个是k一个是c

一个是r

好的对这个函数呢

我们开始做进一步的数学的分析

首先第一个的话

我们说

假设它的倒数为0的话将是什么一种状况

如果倒数为零的话

意味着

就说无用方程

它的平衡解了 导数为零的话

那有两种情况

一种呢N等于0

一种呢N等于k

那么大家可以想象

如果是在0这个地方表示什么种群数量为零的话

那么稍微给点种群给点人数是不是

它立马就开始变出去了

所以我们可以看出来0这点呢

它肯定就不稳定的

那么在k这点呢怎么样呢

在k这一点的话

我们刚才直观上告诉我们

它们会是稳定的

为什么是稳定的呢

如果a要小于k的话

它是个增长的函数

增长的极限是k 如果a是大于k的话

我们

n呢是个衰减的函数

它的极限也是大于k 也是大k

所以我们说呢

n等于大k这地方

我们说它是一个

稳定性的n在0这点呢

稳定性的n在0这点呢

它就是个不稳定的事情了

这是我们说的第一个想法

那么

另外一个想法关于我们这个微分方程

我们在说一些话

那么这个微分方程

它的数学特征非常非常

类似于我们刚才说的对吧

两个实验室的种群动态的一种变化

一个是我们的酵母细胞

一个是我们草履虫

一个是草履虫

一个是酵母细胞

也就换句话说

Logistic模型

非常好的解释了我们说的草履虫的一种数据动态行为

或者说我们的酵母细胞的一种动态的行为

第三个我们要说的Logistic模型

它具有一种非常好的一种可解释性

它可以用在我们很多的方面

比如我们的学习行为

利用我们的记忆行为等等这方面的一些事情

那么

关于这方面的心理学的解释

我最好就不再多说了

最后的话

关于微分方程模型它的平衡关系

我们这边稍稍做一点点解住

我们实际上的话考虑的是一个连续型模型

它的一种组建的方法是考虑它在一个△时间 t

这样一个时间段

△t这个时间段里面

它得从量化的关系

根据这种量化的关系得到一种平衡的想法

然后开始让它把这个区间段越来越小

我们在利用极限再用微分方程的这种思想

来刻画我们的数量的变化

从而得到一个微分方程的模型

当然

这是关于连续的情况

那么很自然的话

如果我们把微分方程在离散化的话

那么将会得到我们微分方程的一种理想的模型

也就是我们以后要说的一种

差分方程的模型差分方程的模型

我想这节我们就说到这里吧

下课

再见